概率统计综合复习题及答案

高二数学练习

一、选择题 1．已知10

21001210(1)

(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a ＝（）

A ．180-

B ．45

C ．45-

D ．180

2．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）

A ．24种

B ．18种

C ．48种

D ．36种

3．已知一组数据X 1，X 2，X 3，…,X n 的方差是S 2

,那么另一组数据2X 1-1，2X 2-1，2X 3-1，…,2X n -1 的方差是（）

A ．122

-s B ．2s 2 C ．2

s D ．24s

4．高三某6个班级从“照母山”等6个不同的景点中任意选取一个进行郊游活动，其中1班、2班不去同一景点且均不去“照母山”的不同的安排方式有多少种（） A ．2

54C A B ．2456C C ．2454A A D ．24

56A

5．已知复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（）

A ．

1142π-

B ．3142π+

C ．112π-

D ．11

2π

+ 6．若251

()(1)x a x

+-的展开式中常数项为1-，则a 的值为

A ．1

B ．8

C ．1或9

D ．1-或9-

7．设随机变量X 的概率分布列为则(|3|1)P X -==（）（A ）712 （B ）5

12 （C ）

14 （D ）16

8．已知()23012331n

n n x a a x a x a x a x -=++++???+（n *

∈N ），设()31n

x -展开式

的二项式系数和为n S ，123n n a a a a T =+++???+（n *∈N ），n S 与n T 的大小关系是

（）

A ．n n S >T

B ．n n S

C ．n 为奇数时，n n S T

D ．n n S =T

9．某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数学成绩（满分150分）

抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图．若从数学成绩高于120分的学生中抽取3人，分别到三个班级进行数学学习方法交流，则满足理科人数多于文科人数的情况有（）种

A ．3081

B ．1512

C ．1848

D ．2014

10．向边长分别为5，613M ，则该点M 与三角形三个顶点距

离

都

大

于

的

概

率

为

（） A ．118

B ．112

C ．19π-

D ．14

π- 11．设k 是一个正整数，1k

x k ??+ ???

的展开式中第四项的系数为116，记函数y=x 2

与y=kx

的图像所围成的阴影部分为S ，任取x ∈[0,4]，y ∈[0,16]，则点（x,y)恰好落在阴影

区域内的概率为（）

（A ）

1796 （B ）532 （C ）16 （D ）748

12．2015年4月22日，亚非领导人会议在印尼雅加达举行，某五国领导人A 、B 、C 、

D 、

E 除B 与E 、D 与E 不单独会晤外，其他领导人两两之间都要单独会晤．现安排他们在两天的上午、下午单独会晤（每人每个半天最多进行一次会晤），那么安排他们单独会晤的不同方法共有

A ．48种

B ．36种

C ．24种

D ．8种

二、填空题

13．设n a （2n ≥，*n N ∈）是(3)n x -

的展开式中x 的一次项系数，则

2318

333a a a +++=L ． 14．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率是．

15．某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：[)[)[)[)50,70,70,90,90,110,110,130，[]130,150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低于90分的人数是_____．

16．给出下列结论:

①扇形的圆心角o

为120，半径为2，则扇形的弧长43

π是；

②某小礼堂有25排座位，每排20个，一次心理学讲座，礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的所有25名学生进行测试，这里运用的是系统抽

样方法；

③一个人打靶时连续射击两次，则事件“至少有一次中靶”与事件“两次都不中靶”互为对立事件； ④

123123,,821,21,2121n n x x x x x x x x ++++L L 若数据的方差为，数据16的方差为；

⑤0,tan sin 2

x x x x π

>>若则．

其中正确结论的序号为．（把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题

17．设有关于x 的一元二次方程0222=++b ax x ．

（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

（2）若a 是从区间[]3,0任取得一个数，b 是从区间[]2,0任取的一个数，求上述方程有实根的概率．

18．在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分．现从这个盒子中，有放回地先后摸出两球，所

得分数分别记为x ，y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为()2,x x y --，记2

ξ=OP u u u r ．

（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

19．（本题满分12分）为了解某校学生暑期参加体育锻炼的情况，对某班M名学生暑期参加体育锻炼的次数进行了统计，得到如下的频率分布表与直方图：

组别锻炼次数频数（人）频率

120．04

2110．22

316

4150．30

620．04

[合计1．00

（1）求频率分布表中M、d、e及频率分布直方图中f的值；

（2）求参加锻炼次数的众数（直接写出答案，不要求计算过程）；

（3）若参加锻炼次数不少于18次为及格，估计这次体育锻炼的及格率。20．（本小题满分12分）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动。这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人．

求：（1）选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；

（2）选出的3人中，语文教师人数X的分布列和数学期望．

21．已知)n

二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比

为8：3

（1）求n的值；

（2）求展开式中3x项的系数

（3）计算式子012310

1010101010

2481024

C C C C C

-+-++

L的值．

22．（本小题满分12分）

为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n 名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n 名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[)30,0，②[)60,30，③[)90,60，④[)120,90，⑤[)150,120，⑥[)180,150，⑦[)210,180，⑧[)240,210，得到频率分布直方图如下，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人：（1）求n 的值并补全下列频率分布直方图；

（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的

名学生，完成下列列联表：利用时间充分利用时间不充分总计走读生住宿生 10

总计

据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？

（3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列及期望；

参考公式：()22

1221112

211222112n n n n n n n n n k -=

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：，因此其展开式的通项为

D．

考点：二项式定理的应用．

2．A

【解析】

试题分析：由题意，第一类，大一的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个学生要来自不同的

年级，然后从选择的两个年级中再分别选择一个学生，

剩下的4人乘坐乙车．

第二类，大一的孪生姐妹不在甲车上，则从剩下的三个年级中选择同一个年级的两名同学在

甲车上，然后再从剩下的两个年级中分别选择一人，这时共有

A．

考点：排列组合．

【易错点晴】本题主要考查的是排列组合，属于容易题．解题时一定要弄清楚是用分类加法计数原理还是用分步乘法计数原理，否则很容易出现错误．

3．D

【解析】

为

考点：方差

4．D

【解析】

试题分析：1班、2剩余4

各安排方式，故选D．

考点：计数原理．

5．A．

【解析】

1的

圆及其内部，

如下图所示，即可知所求概率为

11114242πππ

=-，故选A ．考点：1．复数的性质；2．条件概率．

6．C

【解析】

试题分析：2

522511

()(

1)(2)(1)x a x ax a x x

+-=++-，而根据二项式定理可知，5

1(1)x -展开式的通项公式为5151

()

(1)r

r r T C x

-+=??-，

251

()(1)x a x

+-的展开式中常数项由三部分构成，分别是22

,2,x ax a 与51

(

1)x

-展开式中各项相乘得到，令3r =，则3

23452

11()(1)10T C x x =??-=-?，则

2211010x x ?

??-?=- ??

?；令4r =，则

4145511

()(1)5T C x x

=??-=?

，

则

12510ax a

x ??

??= ???

；

令

r =，则

05651()(1)1T C x =??-=-，则()221a a -=-g ，所以2(10)10()1a a -++-=-，即

21090a a -+=，解得：1a =或9a =．

考点：二项式定理． 7．B 【解析】

试题分析：根据概率分布的定义得出：

11111,3464

m m +++=∴=，随机变量X 的概率分布

列为

31425

P X P P ∴-==+=

（）（）（），故选：B ．考点：离散型随机变量及其分布列． 8．C 【解析】

试题分析：1x =0122n n n S a a a a =++++=L 0x =0(1)n

a =-所以

1230(1)n n n n n T a a a a S a S =+++???+=-=--，所以当n 为偶数时，1n n n T S S =-<，

当n 为奇数时，1n n n T S S =+>，故选C. 考点：二项式定理. 9．C 【解析】

试题分析：成绩高于120分的学生共有理科8人，文科9人，从中抽取3人，满足理科人数

多于文科人数的有三理零文和二理一文，所以有3213

8893()1848C C C A +??=种情况，故选C ．

考点：排列组合综合题． 10．A 【解析】

试题分析：设13所对的角为θ，5

6521365cos 22=??-+=

θ以三角形的三个顶点分别为圆心做半径为1的圆，圆与三角形相交部分的面积等于2

12121π

π=??=

s ，三角形的面积是95

6521=???=

?s ，所以概率等于18

1929ππ

-=-

=p ．

考点：几何概型

11．C 【解析】

试题分析：根据题意得 3

1116x

k C k ??= ??? 解得：k=4或 45k =（舍去），解方程组 24y x y x ?=?=?

，

解得：x=0或4

∴阴影部分的面积为，

()4

340

132

423

x x dx x

x -=-=

? ，所以点（x,y)恰好落在阴影区域内的概率为32

34166

=?.

考点：1.二项式定理；2.几何概型. 12．A 【解析】

试题分析：五国领导人单独会晤的有AB 、AC 、AD 、AE 、BC 、BD 、CD 、CE ，共八场,现在将八场会晤分别安排在两天的上午和下午进行，每个半天安排两场会晤同时进行．因为能同时会晤的共有（AB ，CD ），（AC ，BD ），（AD ，CE ），（AE ，BC ）和（AB ，CE ）、（AC ，BD ），（AD ，BC ），

（AE 、CD ）两种情况，故不同的安排方法共有4

4248.A ?=

考点：排列与组合． 13．17 【解析】

试题分析：∵n a （2n ≥，*

n N ∈）是(3)n x -的展开式中x 的一次项系数，

∴22

3n n n a C -=，

∴2318

2318333a a a +++=L 231816232323(1)3(1)3(1)n n n n n n ???+++---L

18181821321718=

+++???L 1111

18(1)1722318

=-+--=L ，故答案为：17

考点：二项式系数的性质；数列的求和．

14．【解析】

试题分析：，所以．

则所求概率为．

考点：1定积分；2几何概型概率． 15．65 【解析】

试题分析：根据频率分布直方图，得该批学生中成绩低于90分的概率是

()0.00250.0150200.35+?=，所以该批学生中成绩不低于90分的概率是1-0．35=0．65，

所以该批学生中成绩不低于90

考点：频率分布直方图 16．①②③⑤

【解析】

确；②符合系统抽样的定义，所以正确；③一个人打靶时连续射击两次，所有基本事件为：

两次都不中，中一次，中二次，而“至少有一次中靶”包括中一次和中二次，所以和“两次都不中靶”互为对立事件，所以正确；④

的方差为

故正确的有①②③⑤

考点：1

．弧长公式；2．系统抽样定义；3．对立事件概念；4．方差性质；5．三角函数线 17．（1（2

【解析】

试题分析：（1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（

2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可能性．(4)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形．

试题解析：（1

构成事件的区域为如图阴影部分，其面积

考点：1、古典概型求随机事件的概率；2、几何概型求随机的概率．

【思路点睛】本题考查的是古典概型的概率计算公式和几何概型的概率计算公式，属于中档题．解题的关键是理解题目的实际意义，把实际问题转化为概率模型，把相关的知识点转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算；注意判断是古典概型还是几何概型，与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，先求试验全部结果构成的区域面积，再求所求的基本事件构成的区域面积，从而求解．

18．（15；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据的取值，可得的范围，从而可得

（2）根据

0，1，2，5时的概率，从而可得其分布列，根据期

望公式可求得其期望值．

试题解析：解：（11，2，3，

22(2)()5x x y ξ=-+-∴≤，且当1x =，3y =或3x =，1y =时，5ξ=．因此，随机变量ξ的最大值为5．

∵有放回地摸两球的所有情况共有339?=种，

(5)9

P ξ==∴．

（2）ξ的所有取值为0，1，2，5． 0ξ=∵时，只有2x =，2y =这一种情况；

1ξ=时，有1x =，1y =，或2x =，1y =，或2x =，3y =，或3x =，3y =四种情况；

2ξ=时，有1x =，2y =，或3x =，2y =两种情况．

1(0)9

P ξ==∴， 4(1)9P ξ==

， 2(2)9

P ξ==

∴．则随机变量ξ的分布列为：

1422

()012529999

E ξ=?+?+?+?=．

考点：1古典概型概率；2分布列，期望．

【易错点晴】本题主要考查的是古典概型概率，属中档题．本题的易错点在于容易忽略有放回地先后摸出两球即,x y 的取值可以相同而出错．结题时应加以注意．

19．（1）50，4，0．08，0．08；（2）12；（3）12% 【解析】试题分析：（1）利用频数/样本容量=频率，求得M ；再求得d ，e ，f 的值；（2）根据众数是最高小矩形底边中点的横坐标求解；（3）及格率为第五组第六组的频率之和

试题解析：（1）

32.05016==

c ，08.0432.0==f ，08.050

==e

（2

（3）（0．08+0．04）×100%=12% ， ∴估计这次体育锻炼的及格率为12%

考点：1．古典概型及其概率计算公式；2．频率分布直方图 20

．（1

（2

【解析】试题分析：（1）设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A ，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A 1“恰好选出2名语文教师“为事件A 2，”恰好取出3名语文教师”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2∪A 3；分别计算出事件A 1，A 2，A 3的概率再由概率和公式计算出事件A 的概率；

（2）

的所有可能取值，显然k=0,1,2,3，然后分别计算出k 的每一个取值时试题解析：（1）解：设“选出的3名教师中语文教师人数多于数学教师人数”为事件A ，“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”为事件A 1“恰好选出2名语文教师“为事件A 2，”恰好取出3名语文教师”为事件A 3由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A=A 1∪A 2

∪A 3而

（A 2）=P （X=2）

（A3）=P （X=3）

所以选出的3

名教师中语文教师人数多于数学教师人数的概率为 P （A ）=P （A 1）+P （A 2）

+P （A 3）

（2）解：由于从10名教师中任选3

从10名教师中任取3人，其中恰有k

那么从10人任选3人，其中恰有k 名语文教师的概率为P

（X=k ）．

X 的数学期望考点：1、和事件的概率公式；2、分布列与数学期望．

【易错点晴】本题考查和事件的概率公式、分布列与数学期望，属中档题．解题时一定要注意弄清事件与事件之间的关系，否则容易出错；再就是计算一定要准确无误． 21．（1（2）180；（3）1. 【解析】

试题分析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于基础题．第一问，

n的值；第二问，在二项展开式的通项公式中，令x的幂

指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3

开式中，令x=1

试题解析：（1）由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8：3

（2

（3

所以令x=1

考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．

【解析】

试题分析：（1）根据频率分布直方图，并利用频率=频数/

第④组的频率，并补全频率直方图即可；（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以

（3）首

然后由古典概型分别计算其对应的概率，

的分布列与数学期望即可．

试题解析：（1）设第组的频率为,由图可知：

∴学习时间少于60

又因为

频率分布直方图如图：

（注：未标明高度1/250扣1分）

（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的

有40人，

（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3

11/1/1/11/

11/

所以

．

考点：1、频率分布直方图；2、离散型随机变量的分布列．