郑州市第一中学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试卷(有答案解析)

一、选择题

1．下列条件中不能确定ABC 为直角三角形的是（ ）． A ．ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3 B ．ABC 中，222AB BC AC += C ．ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠= D ．ABC 中，1,2,3AB BC AC ==

=

2．如图，在数轴上，点A ，B 对应的实数分别为1，3，BC AB ⊥，1BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴正半轴于点P ，则P 点对应的实数为（ ）

A ．51+

B ．5

C ．53+

D ．45-

3．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）

A ．73厘米

B ．10厘米

C ．82厘米

D ．8厘米

4．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=?，12AC cm =，9BC cm =，将斜边

AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）

A ．4cm

B ．5cm

C 17cm

D ．

94

cm 5．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是说：已知矩形门的

高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设门的宽为x 尺，根据题意可列方程（ ） A ．222(6)10x x ++= B ．222(6)10x x -+= C ．222(6)10x x +-=

D ．222610x +=

6．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）

A ．93

B ．30

C ．120

D ．无法确定

7．有四个三角形，分别满足下列条件，其中不是直角三角形的是（ ） A ．一个内角等于另外两个内角之和 B ．三个内角之比为3：4：5 C ．三边之比为5：12：13 D ．三边长分别为7、24、25

8．如图，90ABC ?∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

9．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，则小正方形的面积为（ ）．

A ．21cm

B ．22cm

C ．42cm

D ．23cm

10．如图，在等腰Rt △ABC ，90ABC ∠=?，O 是ABC 内一点，10OA =，

42OB =，6OC =，O '为ABC 外一点，且CBO ABO '?△△，则四边形AO BO '的面积为（ ）

A ．10

B ．16

C ．40

D ．80

11．如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是12，小正方形的面积是2，直角三角形的短直角边为a ，较长的直角边为b ，那么(a+b)2的值为（ ）

A ．144

B ．22

C ．16

D ．13

12．下列条件能使ABC （a ，b ，c 为ABC 的三边长）为直角三角形的是（ ）

A ．a b c +=

B ．::4:5:3a b c =

C ．2A B C ∠+∠=∠

D ．::5:12:13A B C ∠∠∠=

二、填空题

13．如图，ABC 中，AB 5=，BC 6=，BC 边上的中线AD 4=，则

ADC ∠=________．

14．如图，在等腰ABC 中，13AB AC ==，AD 是ABC 的高，12AD =，

10BC =，E 、F 分别是AC 、AD 上一动点，则CF EF +的最小值为______．

15．如图，△ABC 是等边三角形，边长为2，AD 是BC 边上的高．E 是AC 边中点，点P 是AD 上的一个动点，则PC ＋PE 的最小值是_______ ，此时∠CPE 的度数是_______．

16．如图，l 1∥l 2∥l 3，且l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3．若点A ，B ，C 分别在直线l 1，l 2，l 3上，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ，则AB 的长是_____．

17．如图，在ABC 中，AB AC =，120A ∠=?，AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于D ，E ，3BE =，则EC 的长为_____．

18．如图，A 点坐标为(3,0)，C 点坐标为(0,1)，将OAC 沿AC 翻折得ACP △，则P 点坐标为_________．

19．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(2,4)，点B 的坐标是(6,2)，在y 轴和x 轴上分别有两点P 、Q ，则A ，B ，P ，Q 四点组成的四边形的最小周长为__．

20．如图AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12，则图形ABCD的面积

=______________．

三、解答题

21．在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．

22．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？

23．教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材111页的部分内容．

()1请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．

()2拓展：如图②，在图①的

ABC 的边AB 上取一点D ，连接CD ，将ABC 沿

CD 翻折，使点B 的对称点E 落在边AC 上． ①求AE 的长． ②DE 的长 ．

24．如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于Q 、R 处，且相距30海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，则“海天”号沿哪个方向航行？

25．阅读材料，并解决问题． 有趣的勾股数

定义：勾股数又名毕氏三元数．凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为勾股数．

一般地，若三角形三边长a ，b ，c 都是正整数，且满足222=a b c +，那么数组

()a b c ，，称为勾股数．公元263年魏朝刘徽著《九章算术注》，文中除提到勾股数

()3，4,5以外，还提到()5，12,13，()7，24,25，()8，15,17，()20，21,29等勾

股数．

数学小组的同学研究勾股数时发现：设m ，n 是两个正整数，且m n >，三角形三边长

a ，

b ，

c 都是正整数．下表中的a ，b ，c 可以组成一些有规律的勾股数()a b c ，，．

m

n

a

b

c

2

1

3

4

5

通过观察这个表格中的数据，小明发现勾股数a b c ，，可以写成

()2

222m

n b m n -+，，．解答下列问题：

（1）表中b 可以用m ，n 的代数式表示为_____________． （2）若4m =，2n =，则勾股数()a b c ，，为______________． （3）小明通过研究表中数据发现：若1c b -=，则勾股数的形式可表述为

()211k b b ++，，（k 为正整数），请你通过计算求此时的b ．(用含k 的代数式表示b )

26．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是边BC 上的两点，AD ＝AE ，点E 关于直线AC 的对称点是点M ，连接AM ，DM ； （1）如图1，当∠BAC ＝60°时； ①依题意补全图形；

②若∠BAD ＝α，则∠AEB ＝ ；（用含α的式子表示）； ③求证：DA ＝DM ；

（2）如图2，当∠BAC ＝90°时，依题意补全图形，用等式表示线段DC ，EC ，AM 之间的数量关系，并证明．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

根据三角形内角和定理和勾股定理进行判断即可． 【详解】

解：A 选项：

ABC 中，三边长的平方之比为1:2:3，

ABC ∴是直角三角形．

B 选项：∵在AB

C 中，222AB BC AC +=，

ABC ∴是直角三角形． C 选项：ABC 中，::3:4:5A B C ∠∠∠=， ∴设3,4,5A x B x C x ∠=∠=∠=，

又

180A B C ?∠+∠+∠=，

12180x ?∴=, 345x ?=，

460x ?=， 575x ?=，

ABC ∴不是直角三角形．

D 选项：在ABC 中，1,

2,3AB BC AC ===

222AB BC AC ∴+=，

ABC ∴是直角三角形．

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理，熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理是本题的关键．

2．A

解析：A

【分析】

根据题意求出AB，根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴的关系解答即可．

【详解】

∵点A，B对应的实数分别为1，3，

∴AB＝2，

∵BC⊥AB，

∴∠ABC＝90°，

∴AC

=

则AP

∴P1，

故选：A．

【点睛】

本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．

3．B

解析：B

【分析】

把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】

把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，

作点A的对称点B，

连接PB，

则PB为所求，

根据题意，得PC=8，BC=6，

根据勾股定理，得PB=10，

故选B.

【点睛】

本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.

4．A

解析：A 【分析】

根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长． 【详解】

解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =， 22AC BC +，

根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ， ∵AC=12cm ， ∴CE=AE-AC=3cm ， 设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ， 在Rt △CDE 中，根据勾股定理得 CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2， 解得x=4， 即CD 长为4cm ． 故选：A ． 【点睛】

本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．

5．A

解析：A 【分析】

设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺，根据勾股定理解答． 【详解】

设门的宽为x 尺，则高为（x+6）尺， 根据题意可列方程2

2

2

(6)10x x ++=，

【点睛】

此题考查勾股定理计算，正确理解题意掌握勾股定理计算公式是解题的关键．

6．C

解析：C 【分析】

由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：

2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即

可得到答案． 【详解】 解：

,AD BC ⊥

222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+

22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-

1713AC AB ==，，

22221713304120DC BD ∴-=-=?=，

,AD BC ⊥

222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+

22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-=

故选：.C 【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键．

7．B

解析：B 【分析】

根据三角形的内角和定理或勾股定理的逆定理即可进行判断，从而得到答案． 【详解】

解：A 、设一个内角为x ，则另外两个内角之和为x ，则x +x ＝180°，解得x=90°，故是直角三角形；

B 、设较小的角为3x ，则其于两角为4x ，5x ，则3x +4x+5x ＝180°，解得x=15°，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；

C 、因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

D 、因为72+242＝252符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形． 故选：B ． 【点睛】

本题考查三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

8．B

【分析】

根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ?，得出结论BF=AE ，即可求出EF ． 【详解】

根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=?． 在Rt ABE △中，2

2

2

2

1068AE BE AB ．

∵//AD BC ， ∴AEB CBF ∠=∠， ∴

()ABE FCB AAS ?，

∴BF=AE=8， ∴EF=BE-BF=10-8=2． 故选：B ． 【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明

ABE FCB ?是解答本题的关键． 9．C

解析：C 【分析】

结合题意，得小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长；结合直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ，即可得到小正方形的边长及其面积． 【详解】

结合题意，可知：小正方形的边长=直角三角形较长的直角边长-直角三角形较短的直角边长

∵直角三角形的两直角边长分别为3cm 和5cm ∴小正方形的边长=5cm-3cm=2cm ∴小正方形的面积=222=4cm ? 故选：C ． 【点睛】

本题考查了正方形、直角三角形、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形的性质，从而完成求解．

10．C

解析：C 【分析】

连结OO′．先由△CBO ≌△ABO′，得出，OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA ，根据等式的性质得出∠O′BO=90°，由勾股定理得到O′O 2=OB 2+O′B 2=32+32=64，则O′O=8．再利用勾股定理的逆定理证明OA 2+O′O 2=O′A 2，得到∠AOO′=90°，那么根据S 四边形

AO′BO =S △AOO′+S △OBO′，即可求解．

解：如图，连结OO′．

∵△CBO≌△ABO′，

∴2OC=O′A=10，∠OBC=∠O′BA，∴∠OBC+∠OBA=∠O′BA+∠OBA，

∴∠O′BO=90°，

∴O′O2=OB2+O′B2=32+32=64，

∴O′O=8．

在△AOO′中，∵OA=6，O′O=8，O′A=10，

∴OA2+O′O2=O′A2，

∴∠AOO′=90°，

∴S四边形AO′BO=S△AOO′+S△OBO′=1

2×6×8+

1

2

22=24+16=40．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质，勾股定理及其逆定理，四边形的面积，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键．

11．B

解析：B

【分析】

先求出四个直角三角形的面积，再求出直角三角形的斜边的长即可求解．

【详解】

解：∵大正方形的面积12，小正方形的面积是2，

∴四个直角三角形的面积和是12-2=10，即4×1

2

ab=10

∴2ab=10，

∵直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b

∴a2+b2=12

∴(a+b)2= a2+b2+2ab=22．

故答案为B．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、完全平方公式等知识点，完全平方公式和勾股定理的灵活变形是解答本题的关键．

12．B

【分析】

根据三角形三边关系可分析出A的正误；根据勾股定理逆定理可分析出B的正误；根据三角形内角和定理可分析出C、D的正误；

【详解】

解：A、a b c

+=，不能组成三角形，不是直角三角形；

B、222

a c b

+=，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

C、由∠A+∠B=2∠C，可得∠C=60°，∠A+∠B=120°，不一定是直角三角形；

D、由∠A：∠B：∠C=5：12：13，可得最大角

13

18078

30

C

∠=??=?，不是直角三角形．

故选：B．

【点睛】

本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．也考查了三角形内角和定理．

二、填空题

13．【分析】根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出的度数【详解】∵边上的中线∴∵∴【点睛】本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用掌握相应的性质定理是解答此题的关键

解析：90

【分析】

根据中线的性质及勾股定理的逆定理即可求出ADC

∠的度数．

【详解】

∵AB5=，BC6=，BC边上的中线4

AD=，

∴BD3

=，

∵222

345

+=，

∴ADC ADB90

∠∠

==．

【点睛】

本题考查中线的性质勾股定理的逆定理的应用，掌握相应的性质定理是解答此题的关键．14．【分析】作E关于AD的对称点M连接CM交AD于F连接EF过C作

CN⊥AB于N再求出BD的长根据三角形面积公式求出CN根据对称性得CF＋EF ＝CM根据垂线段最短得出CF＋EF≥CM即可得出答案【详解】

解析：120 13

【分析】

作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，再求出BD 的长，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性得CF＋EF＝CM，根据垂线段最短得出CF

＋EF≥CM，即可得出答案．

【详解】

作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的高，

∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，

∴M在AB上，

在Rt△ABD中，AD＝12，

∴S△ABC＝1

2×BC×AD＝

1

2

×AB×CN，

∴CN＝BC×AD÷AB＝10×12÷13＝120

13

，∵E关于AD的对称点M，

∴EF＝FM，

∴CF＋EF＝CF＋FM＝CM，

根据垂线段最短得出：CM≥CN，

即CF＋EF≥120 13

，

即CF＋EF的最小值是120 13

，

故答案为：120 13

．

【点睛】

本题考查了轴对称?最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，掌握“点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短”，是一道比较好的题目．

15．60°【分析】作点E关于AD的对称点F然后连接CF交AD于点H连接HE 由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值进而由等边三角形的性质可求解【详解】解：作点E关于AD的对称点F然

3

【分析】

作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．

【详解】

解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=∠BAC=60°，

∵AD⊥BC，

∴AD平分∠BAC，BD=DC，

∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF，

∴点F是AB的中点，

∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，

∴∠BCF=30°，

∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时PC+PE为最小值，即为CF的长，

∵BC=2，

∴BF=1，

在Rt△CBF中，223

F BF=

-

C BC

∴PC+PE3

∴∠DHC=∠FHP=60°，

∵AD垂直平分EF，

∴FH=HE，

∴∠FHP=∠PHE=60°，

∴∠CHE=60°，即为∠CPE=60°；

3；60°．

【点睛】

本题主要考查勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质，熟练掌握勾股定理、等边三角形的性质及轴对称的性质是解题的关键．

16．【分析】过点A作AD⊥l3于D过点B作BE⊥l3于E易证明∠BCE＝∠CAD 再由题意可证明△ACD≌△CBE（AAS）得出结论BE＝CD由l1l2之间的距离为2l2l3之间的距离为3即得出CD和AD

解析：17

【分析】

过点A

作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ，易证明∠BCE ＝∠CAD ，再由题意可证明△ACD ≌△CBE （AAS ），得出结论BE ＝CD ，由l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3，即得出CD 和AD 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长，从而得到AB 的长． 【详解】

如图，过点A 作AD ⊥l 3于D ，过点B 作BE ⊥l 3于E ， 则∠CAD+∠ACD ＝90°， ∵AC ⊥BC ，

∴∠BCE+∠ACD ＝180°﹣90°＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAD ， ∵在△ACD 和△CBE 中，

BCE CAD ADC CEB 90AC BC ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）， ∴BE ＝CD ，

∵l 1，l 2之间的距离为2，l 2，l 3之间的距离为3， ∴CD ＝3，AD ＝2+3＝5，

在Rt △ACD 中，AC 2222AD CD 5334=+=+=， ∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB 2=

AC 234=?=217．

故答案为：17 【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质、平行线的性质、直角三角形的性质以及勾股定理．作出辅助线并证明BE ＝CD 是解答本题的关键．

17．6【分析】根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数连接AE 可得出AE=BE ∠EAD=推出∠EAC=利用勾股定理解直角三角形即可得出答案【详解】解：连接AE ∵AB=AC ∠A=∴∠B=∠C=∵ED 垂直平分

解析：6 【分析】

根据等腰三角形的性质可求出两底角的度数，连接AE ，可得出AE=BE ， ∠EAD=30?，推出 ∠EAC=90?，利用勾股定理解直角三角形即可得出答案． 【详解】 解：连接AE ，

∵ AB=AC ，∠A=120? ，

∴ ∠B=∠C=

()1

180120302

?-?=?， ∵ED 垂直平分AB ，

∴AE=BE ，∠EAD=30? ， ∵BE=3， ∴DE=

1322

BE = ∴2233

BD BE DE =

-=

∴AB=AC=2BD=33， ∵ ∠A=120? ， ∴ ∠EAC=90? ， ∴22366CE AC AE =+==，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、勾股定理、直角三角形30?角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．

18．【分析】在Rt △COA 中根据OA=和OC=1根据勾股定理可得AC=2得到根据翻折性质可得继而可得在Rt △PAG 中根据所对直角边等于斜边的一半可以求出AG 的长利用勾股定理可求出PG 的长从而得到P 点坐标

解析：332?

????

【分析】

在Rt △COA 中，根据3和OC=1，根据勾股定理可得AC=2，得到30CAO ∠=?，根据翻折性质可得CAO PAC ∠=∠，继而可得60PAO ∠=?，30GPA ∠=?，在Rt △PAG 中，根据30所对直角边等于斜边的一半可以求出AG 的长，利用勾股定理可求出PG 的

长，从而得到P 点坐标． 【详解】

如下图，过点P 作PG x ⊥轴于点G ，

∵3，OC=1， ∴22+2OA OC =，

∴1

2

OC AC =

， ∴30CAO ∠=?，

∵△AOC 沿AC 翻折得到△APC ， ∴CAO PAC ∠=∠，

∴=60PAO ∠?，=30GPA ∠?，3， ∴1322

AG AP =

=

，22

32PG PA GA =-=， ∴3-32=3

2

, ∴点P 的坐标为332?????

，， 故答案为：332?

????

，． 【点睛】

本题考查折叠的性质、含30?角的直角三角形及勾股定理，熟练掌握含30?角的直角三角形及勾股定理是解题的关键．

19．【分析】作点A 关于y 轴的对称点C 点B 关于x 轴的对称点D 连接CD 交y 轴于P 交x 轴于Q 则此时四边形APQB 的周长最小且四边形的最小周长=AB+CD 根据两点间的距离公式即可得到结论【详解】解：作点关于轴的

解析：1025+ 【分析】

作点A 关于y 轴的对称点C ，点B 关于x 轴的对称点D ，连接CD 交y 轴于P ，交x 轴于Q ，则此时，四边形APQB 的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD ，根据两点间的距离

公式即可得到结论． 【详解】

解：作点A 关于y 轴的对称点C ，点B 关于x 轴的对称点D ，连接CD 交y 轴于P ，交x 轴于Q ，

则此时，四边形APQB 的周长最小，且四边形的最小周长AB CD =+， 点A 的坐标是(2,4)，点B 的坐标是(6,2)， (2,4)C ∴-，(6,2)D -，

22(26)(42)25AB =-+-，22(26)(42)10CD =--++=，

∴四边形APQB 的最小周长1025=+，

故答案为：1025+．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P 和点Q 的位置是解题的关键．

20．24【分析】连接AC 在中根据勾股定理求得AC 的长度利用勾股定理逆定理可得为直角三角形根据即可求解【详解】解：连接AC 在中∴∵∴∴为直角三角形∴故答案为：24【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理掌握勾股

解析：24 【分析】

连接AC ，在Rt ACD △中根据勾股定理求得AC 的长度，利用勾股定理逆定理可得ABC 为直角三角形，根据ABCD ABC

ACD

S S S

=-即可求解．

【详解】 解：连接AC ，

，

在Rt ACD △中，90ADC ∠=?，4=AD ，3CD =， ∴225AC AD CD =

+=，