函数概念及其基本性质
第二章函数概念与基本初等函数 I
一. 课标要求：函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重
要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f（x）的含义；了解函数构成的
三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，
2.了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.
3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
4.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.
5.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.
6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
7.了解指数函数模型的实际背景. 理解指数函数的概念和意义，掌握f（x）=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.
8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f（x）=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a>0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1（x）的意义.
1 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y = x,y= x3,y=x-1,y = x2的图象，了解它们的变化情况
11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.
二. 编写意图与教学建议1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.
2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学.
3.函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.
4.教材将映射作为函数的一种推广，进行了逻辑顺序上的调整，体现了特殊到一般的思维
规律，有利于学生对函数概念学习的连续性.
5 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
6 在学习对数函数图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
7．教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.
8. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
9.教材加强了函数与信息技术整合的要求，通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
10.为体现教材的选择性,在练习安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地取舍.
三. 教学内容及课时安排建议
本章教学时间约23 课时：
2．1 函数的概念与图象10 课时
2．2．指数函数 5 课时
2．3 对数函数 5 课时
2．4 幂函数 2 课时
2．5 函数与方程 3 课时
2．6 函数模型及其应用 3 课时
数学探究案例——钢琴与指数曲线 1 课时实习作业 1 课时
小结与复习 2 课时
§2.1.1 函数的概念和图象⑴——概念
一、教学目标
1、知识与技能：了解函数产生的背景，掌握函数的概念、，特别是函数的三要素。会判断什么样的对应是函数。会求简单函数的定义域及值域。
2、过程与方法：
（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
（2）了解构成函数的要素；
（3）会求一些简单函数的定义域和值域。
3、情态与价值：使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。
二、教学重点与难点：
重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f（x）”
的含义，函数定义域和值域的区间表示；
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节教学目标 .
2、教学用具：投影仪 .
四、教学思路
（一）创设情景
1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；
2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：
（1）人口数量与时间（年份）的变化关系问题；
（2）自由落体下落的距离与下落时间的变化关系问题；
（3）某市一天的气温与时间的变化关系问题
3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。
4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；
5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系？如何用集合的语言来描述？
（二）探求新知
1、函数的有关概念
（1）函数的概念：
设 A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y和它对应，那么就称f：A → B 为从集合A 到集合B 的
一个函数（function）．记作：y=f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围 A 叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈ A } 叫做函数的值域（range ）．强调：①任意性；②唯一性。
思考：课本例 1 ，对照定义说明理由。
注意：① “y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；②函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．（2）初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？①一次函数：
y=ax+b （a≠0）；②二次函数：y=ax2+b x+c （a≠0）；
③反比例函数：y= k（k≠ 0）
x
（3）函数三要素：
①由定义，构成函数需要几个要素？②如果一个函数的定义域、对应法则确定，则其值域
是否确定？③如果定义域、值域确定，函数是否确定？为什么？试举例说明。
例：y = x,x R;y =-x,x R.
④由此，两个函数相同的条件是什么？
⑤思考：函数y =f（x）,x A与函数s = f（t）, t A是同一函数吗？
x2
函数y= x与y = x是同一函数吗？
x
2．函数的定义域
⑴如果函数对应法则可以用解析式表示出来，那么要确定这个函数，还必须给出定义域。
⑵如果给出了解析式，但未给出定义域，那么我们就认为其定义域就是使其解析式有意义的x的取值集合。
⑶例：①求函数f (x) = x+3+ 1的定义域。
x+2
②设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析
式，并写出定义域.
⑷引导学生小结几类函数的定义域：
①如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
②如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
③如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数集合.
④如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集)
⑤满足实际问题有意义.
3．函数的解析式
⑴函数“y= f (x) ”表示y是x的函数,可简记为f (x) ，这里“ f”即对应法则；
⑵“f”是一个记号，在不同的函数中具有不同的意义；
⑶如果在同一问题中涉及多个函数，为了区别，也常用g(x)、h(x)、(x)、F(x)等
等来表示；
⑷当自变量x在定义域内取某一确定的值a时，对应的函数值用f(a) 来表示，如：
f (x)==2x+1，则f (a)=2a+1，f(1)=3．
4．函数的值域
例：求下列函数的值域
⑴ f (x)=(x-1)2+1,x-1,0,1,2,3；⑵ f (x)=(x-1)2+1。
由此，进一步强调函数值域的意义。
(三)学以致用
例 1 下列各组函数中，表示同一函数的是 ( )
A．f (x)=x, g(x)=x2B．f(x)=x, g(x)=3x3
C．f(x)=1, g(x)=x D．f (x)=1, g(x)=x0
强调：从函数的三要素入手，在定义域、值域和对应法则中，只要有一个不同，就不是同一函数．
例2 已知f (x)=2x+1,g(x)= x2+2.
⑴求f g(-1)；⑵求f(a2)、g(a+1)；⑶若f g(x)=g f (x)，求x
的值。强调：准确理解对应法则“f”的意义。
例3 求下列函数的定义域：
①f （x ） = x +4 ；② f （x ）= 1-x + x +3-1；③ f （x ）= 1 ；④ f （x ）= 1 。
x + 2 1
x - |x |
x
强调：①求函数定义域的几个原则；②函数的定义域一般应用集合或区间表示． （四）巩固深化 课本练习第 3—7 题
（五）归纳小结 ①从具体实例引入函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念； ②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法。
（六）承上启下 1、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说 出函数的定义域、值域和对应关系。
2、《课课练》第 1、2 课时。
§2.1.1 函数的概念和图象⑵——定义域和值域
一、教学目标
2、 知识与技能：
（1）进一步理解函数的概念。
（2）会求函数特别是复合函数的定义域。 （3）掌握求函数值域的常见方法。 2、过程与方法：
（1）通过实例，学会求函数复合函数的定义域，进一步家深对函数概念的理解。 （2）在复习初中已学函数的基础上，经历求函数值域的过程，掌握常见方法。 3、情态与价值：让学生感受数形结合、等价转化等数学思想，激发学习的积极性。 二、教学重点与难点：
重点：函数值域的常见方法。 难点：复合函数的定义域，判别式法的发现。
三、学法与教学用具 1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节
教学目标 . 2、教学用具：投影仪 . 四、教学思路
（一）创设情景 复习初中所学函数，说出它们的定义域、值域，并说明如何得到？ （二）探求新知
1、函数的定义域
例 1．求下列函数的定义域： 变题1：若 f （x ）=x -x 2 ，求 f
（x 2）的定义域。
⑴ f (x )=x -x 2
；
⑵ f (x ) =
(x +1)0
变题2：若f(x)的定义域是0,1，则f(x2)的定义域是___________ 。
练习：①若f(x)的定义域是0,1，则f (x +1)的定义域是 __________ 。
②若f ( x)的定义域是-1, 3，则g ( x) = f (x)+ f (-x)的定义域是 ________ 。
思考：若f (x)的定义域是D，则f(x )的定义域是__________ 。
2．函数的值域
例 2 ．求下列函数的值域：
⑶y=-
⑴ y = - x + 1, x -1,1) ；⑵ y = 2 + x -
x
变题1：函数y =2-1的值域是 ____________________ .
x + 1
2x + 1
变题2：函数y= 2x+1的值域是___________________ .
x + 1
ax + b
思考：一般地，函数y = ax + b的值域是__________________ .
cx + d
例 3 ．求函数y = x的值域．
x-x+1
思考 1 根据函数关系你能在值域 C 中找到几个值吗？例如0C？1C？为什么？思考
2 有谁找到了一个数不在C中呢？又为何？
思考 3 由此,给定一个值y,你怎样来判断它是否是值域 C 中的元素呢?
x
(只需判断关于x的方程x= y是否在定义域内有实数解就可以了).
x - x + 1
解：由y = x得yx2-(y+1)x+ y =0
x2-x+1
若y = 0 ，则x = 0 ，方程有解，y =0 在函数值域中；若y0，为使方程有解，只须
=(y+1)2-4y2…0,解得-1剟y 1(y0)．综合得，所求函数的值域是- 1,1．
3
指出：⑴从函数概念看,函数y = f (x)的值域就是定义域中任一自变量x在对应法则“f”
作用下的象的集合,即值域 C 中每一个y 的值,根据对应法则“f”都有原象x与之对应.因此, 函数y= f (x)的值域就是使方程f(x)= y在定义域内有解的y 的取值范围.如果此方程是关于x的二次方程,则方程有解的充要条件就是判别式0,由此求出函数的值域.这种求函数值域的方法,我们叫做“判别式法”.
⑵一般地，二次分式函数y = a1x +b1x+c1(a12+a220) ，常化为关于x的二次方程， a x2+b x
+c12
然后根据方程有解的条件，利用判别式法求解。
思考4：如何求函数y = 2x-x-1的值域？
注意：如果分子分母可约，一般不采用判别式法，而是转化为型如y=cx+d(a0)的ax + b 函数求值域．
例4：求函数y=x- 1-x的值域．
分析：本题中所给函数是无理函数，一般应考虑有理化．你是否试图通过移项平方来实
施？这样做往往会使函数的定义域扩大，从而影响函数的值域，处理时要特别细心．能否通过其他方法来实现有理化呢？换元！是我们常用的手段之一．
解：设t=1-x，则x=1-t2，∴y=1-t2-t =-t+ + ，其中t=1-x…0．
画出二次函数y = -t + 1 + 5在0, +)上的图象(如图)．5
可见，当t = 0时y取得最大值1，所以原函数的值域是(-,1．
指出：1．换元法是处理无理函数问题时常用的方法． 1 O t 2．本题中在得到关于t的二次函数后，由于其定义域不是-2
R，而是0,+)，这时应结合二次函数的图象观察得出结果．如果忽视了定义域问题，得出y… 5，那就错了！
4
3．请你思考下面的问题：
引申：若关于x的方程x - 1-x = a有解，求常数a的取值范围．
析设函数f (x)=x- 1- x，则方程f(x)=a何时有解等价于：当a取何值时，在函数f(x) 的定义域中存在自变量x与之对应．由函数值域的定义可知，所求a的取值范围就是函数f (x)的值域，∴a的取值范围就是(-,1．
(三)巩固深化
1．若函数y= f (x)的定义域是1,3，则函数f(x2)的定义域是．
x + 1
2．求函数y = x+1的值域．
x2- 2x +3
(四)归纳小结
①通过本课的学习，你学会了哪些知识？
②具体解题时应注意哪些问题？
(五)布置作业1．下列四个函数：①y=x+1；②y=2x-1；③y=x2-1；④y= 3．其中，定义
域和x
值域相同的是 ( ) A ．①② B ．①②④ C ．②③D．①③④2．有下列四个命题：① y = 1的值域是y | y0；② y = x2(x R且x2)的值域是y|y…0且y4；③y= x -1的值域是R；④y= x2- 3x +1的值域是y | y…0．其中正x - 1
确命题的个数是
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
3．函数 y = x -1（-1剟x 4且x Z ） 的值域是 ．
4．若函数y = 2x -1的值域是（-,0
，则其定义域是
． x - 1
5．求下列函数的定义域：
6．求下列函数的值域：
7．已知函数 f （x ）的定义域为-1,1，求函数y = f x +1+ f x - 1 的定义域．
8．求下列函数的值域：
§2.1.2 函数的表示法（1）——解析法
一．教学目标
1．知识与技能 （1）明确函数的三种表示方法及其优点； （2）明确函数解析式的意义，能根据条件求函数的解析式。
2．过程与方法： 通过具体实例，掌握求函数解析式的常见方法。 3．情态与价值 让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透分类、转化等数学思想方法。
二．教学重点和难点 教学重点：求函数解析式的常见方法。 教学难点：能根据条件进行恰当分
类，能准确注明函数的定义域。
三．学法及教学用具 1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教
学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪． 四．教学思路
（一）创设情景 ⑴前课学习了函数定义域、值域的求法，作业中还有哪些问题需要再一起共同讨论？ ⑵回顾本节开头三个函数的例子，你觉得表示一个函数有哪些方法？ （二）探求新知 1. 函数的表示法 ⑴函数有哪些表示方法？
表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种
⑵三种方法各有何特点？ 解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析 式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．
列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。 图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况)
⑶阅读课本例1：某种笔记本的单价是5元，买x (x 1,2,3,4,5)个笔记本需要 y 元，
试用三种表示法表示函数y = f (x )．
⑴ f (x ) = x 2 -3x -4
x +1-2 ⑵ f (x ) =
1+ 1
⑴y = 3-x
1+2x
(x …0) ；
⑵y x 2 + 1 x
2 -1； ⑶ y = 6-x - x 2 ． ⑴ y = 2x -3+ 4x -13
⑵y =
x +1 x - 2 x + 3
2．求函数解析式的方法
( x +1) = x+2x，求f(x)；⑵已知例1．根据下列条件，求函数f(x) 的解析式：⑴已知f
f(x)是一次函数，且f f (x)=9x+8，求f(x)；⑶已知3f (x)+2f(-x)=2x+5，求f(x)．解：⑴设t= x+1，则x=t-1，∴ f (t)=(t-1) +2(t-1)=t2-1，
∵ t=x+1…1,∴ f (x) =x2-1 (x…1)．
⑵设f (x)=ax+b (a0)，则f f (x)=af (x)+b =a(ax+b)+b =a2x+ab+b，由a2x+ab+b
=9x+8 得或．
ab+b=8 b = 2 b = -4
∴ f (x)=3x+2或f (x)=-3x-4．
⑶在3f (x)+2f (-x)=2x+5 ①中，以-x换x得3f (-x)+2f (x)=-2x+5 ② 由①，②消去f(-x)得f
(x)=2x+1．
指出：① 求解析式的方法较多，关键是根据题目特点灵活进行选择，如本例中的 3 个小题分别采用了换元法、待定系数法和消元法．
②求函数解析式时，同时要注明函数的定义域．在用换元法求解时，最后得到的f(x)的解析式中，自变量x实际上是由t“换”来的，因此必须由t的范围来确定f(x)的定义域．例2．已知函数f(x)满足f x+1= x2+ 1．
⑴求f (x)的解析式；⑵求f (x)的定义域、值域．析：⑴本题若采用换元法，令t=x+1，则
难以用t来表示出x，注意到
x
f x+ =x+ -2，从而f (x)=x -2.
⑵为确定函数的定义域，必须求出t = x + 1的值域，可考虑用判别式法：
x 由t=x+，得：x -tx+1=0．
x 由=t2-4…0，得t厔2或t-2，∴ f(x) 的定义域是(-,-2U2,+)，又x2…4，∴ f (x)=x2- 2 …2 ，即值域为2, +) ．指出：此题是先“配凑”再换元，要特别注意其定义域．
例3 ．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，
求 f(x) 的表达式。
分析：只需令y = x ，可得 f (x )= x 2 +x +1。 指出：本题采用了赋值法。
例 4 ． 某地的出租车按如下方法收费：在 3km 以内(含 3km )的路程按起步价 7 元收 费，超过3km 以外的路程按2.4元/km 收费.试写出以行车里程x(km)为自变量,车费y(元)为 函数值的函数解析式。
7,0x 3
7,0x 3
答案： y =
=
7+2.4(x -3),x 3
2.4x - 0.2,x 3
评 此题所涉及的函数为分段函数，需分情况讨论． (三) 巩固深化
1．根据下列条件求函数的解析式：
⑴ f (x +1)=x ;⑵ f (x -1)=x 2+ 12 , f (x );⑶ f (x )-2f (1)=x , f (x ).
x xx 2 x
2．为配合客户不同需要，某电信公司有 A 、B 两种优惠计划供客户选择：
计划A 计划B
服务项目 即时直接通话+自动数字传呼 基本月租费 50 元 98元 免费通过时间 首 60 分钟 首 300 分钟 以后每分钟收费
0.40 元 0.40 元
请根据上面提供的信息，解答下列问题：
⑴通话时间超过多少分钟时，计划 B 比计划 A 更省钱？
⑵若用户决定选择计划 B ，则通话多少时间可比选择计划 A 便宜得最多？最多便宜多 少钱？
⑶通过以上研究你觉得应如何选择优惠计划？ 析：先根据题意，分别求出 A 、B 两计划付费金额关于通话时间的函数解析式，通过计 算它们之间的差值，再作出回答．
解：设A 、B 两计划付费金额关于通话时间x (分钟)的函数分别为 f (x )和g (x )，
50, 0 剟x 60
0.4(x -60)+50=0.4x +26, x > 60 98, 0 剟x 300
0.4(x -300)+98 = 0.4x -22, x > 300
⑴易见，当0剟x 60， f (x )< g (x )；
当60< x … 300，由 f (x )> g (x )即0.4x -72> 0得x > 180； 当 x > 300时， f (x )> g (x ) ．
∴当通话时间超过 180分钟，计划 B 比计划A 更省钱． ⑵由⑴，当180 < x … 300时y = 0.4x - 72
(0,48 ；
当 x > 300 时， y = 48 ．
∴当通话时间在 300分钟以上时，计划B 比计划 A 便宜得最多，最多便宜 48元钱． ⑶通过以上研究，若通话时间在 180 分钟以内，则选择计划 A ；若通话时间超过 180 分钟，则选择计划 B ．
（四）归纳小结
依题意： f (x ) =
g (x )=
-48, y = f (x )-g (x )=
0.4x -72,
48,
0 剟 x 60 60 < x
… 300 ． x > 300
（1）理解函数的三种表示方法及其特点，注意分段函数的表示方法。
（2）能根据条件特征选择适当方法求函数的解析式。
（五）承上启下
（1 ）作业：《课课练》第 3 、 4 课时。（2）下节课我们一起学习函数的另外两种表示法。
§2.1.2 函数的表示法⑵——列表法与图象法
一．教学目标
1．知识与技能
⑴掌握函数图象的画法；⑵了解列表法是函数的一种表示，能根据表中信息抽象函数关
系，解决实际问题。
2．过程与方法：⑴通过具体实例，能根据函数解析式描绘函数的图象。
⑵能根据题目要求，灵活选用函数的表示法，提高解决实际问题的能力。3．情态与价值
让学生感受到学习函数表示的必要性，初步学会数学建模，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点教学重点：根据函数解析式描绘函数的图象。教学难点：根据实际问题，建立函数解析式。
三．学法及教学用具1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．
四．教学思路
（一）创设情景
1．是否所有函数都能用解析式表示？你能举出一个不能用解析式表示的函数吗？2．表示函数的方法除解析法外，还有哪些方法？3．回顾已学初等函数的图象画法。
（二）探求新知
1．什么叫函数的图象
函数f（x）的图象即集合（x,y）y=f（x）,x A（A为定义域）表示的图形。
2．直线x = a与函数图象有几个交点？为什么？
思考：课本P练习4
（三）学以致用
例 1. 试画出下列函数的图象
⑴y=x+1；⑵ y=（x-1）2+1,x1,3）。
注意：①函数的定义域；②实心点与虚心点。
·
26
思考：⑵中涉及的二次函数与函数 y = x 2 的图象有何关系？ 一般地，函数y = f (x +a )+b 与y = f ( x )的图象有何关系？ 例 2．试画出函数 f ( x ) = x 的图象。 练习：试画出函数 f (x )=x +3 的图象。 例 3. 画出下列函数的图象： ⑴ y = x - 1- x + 2；⑵ y = (
)
；⑶ y =x x -2 ．
分析：先对函数式进行化简，然后利用一些常见函数的图象来作出．
3, x … -2
解：⑴ y = x -1 - x + 2 = -2x -1, - 2 < x … 1 ．
-3, x > 1 21 2
= - 1 ( x 0且x -1) ． - x - x x
x (2)
x < 2
评：⑴本例几个函数的解析式所反映的函数关系不够明朗，通过化简变形使函数关系明 朗化，从而利用已学几个函数的图象即可作出它们的图象．
⑵题中⑴⑶小题都为分段函数，它们的图象是由几部分拼接而成的．注意：分段函数是 一个函数，而不是几个函数．
⑶较为准确地作出函数的图象，为用数形结合思想解题提供了可能．
例 4．某商场经营一批进价是 30 元 / 件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售价 x 元)与日销售量
y (件)之间有如下关系： x 30 34 40 45 50 y 60 48 30 15 0
为 P 元，根据上述关系写出 P 关于 x 的函数关系式，并 指出当销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？
析：本例以表格的形式给出了日销量 y 与销售单价 x 之间的对应关系，二者之间的函 数关系不甚明显． 可先在直角坐标系中作出该函数的图象，通过观察其图象特征，找到相 应的函数模型，从而求出函数的解析式．
解：⑴在直角坐标系中描出实数对(x , y )的对应点(如图)．可见,
⑵y =
(x +1)0+1
x - x
⑶y =xx -2=
-(x -1)2+1,
思考 1：函数⑴、⑵的值域是 ______________ . 思考2：试讨论方程x x -2 = a (常数)的解的个数。
60
50
40
30
20
·27
函数y = f (x )是一次函数模型．
设 y =ax +b ，将点(30,60)及(50,0) 代入可得： 60 = 30a + b a = -3
0 =50a +b b =150．
∴ y = -3x +150(x N ,且30剟x 50)． 经检验，其他三点均满足上述函数关系．
⑵P =(x -30)y =(x -30)(-3x +150) =-3(x -40)2+300 (x N ,30剟x 150)， ∴当x = 40时， P max =300． 答：当销售单价为 40 元时，可获得最大日销售利润，最大利润为 300 元． 评：⑴函数模型方法在实际问题中有着广泛的应用，在本册第二章中我们将专题研究． ⑵要重视函数的三种表示法的互相转化．当然，并不是所有的函数都能用三种方法表示 出来，如狄利克雷函数D ( x ) =
1, x Q
，我们无法作出它的图象．
0, x Q
V
V
V
O
h O
h O h
A B C
3．已知 f (x )=2,x 0
, g (x )=3f (x -1)- f (x -2)(x 0).
求 g ( x ) 的解析式，并作出它的图象。
4．已知函数 f (x )= x 2-4x +3． ⑴画出函数 y = f ( x )的图象；⑵讨论方程 f (x ) = a 的解的个数．
5．某工厂产品的次品率 p 与日产量 x (件)(x N ,1 x 98)的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
(98)
p 2 1 2 1
1 99 49
97 48
⑵若每生产一件正品盈利3 百元，每生产一件次品损失 1 百元，将该厂日盈利额 M (百 元)表示成日产量 x (件)的函数．
（五）归纳小结
1． 作函数图象一般有两种方法：一是描点法，二是通过基本函数的图象变换，主要有 平移变换，对称变换，伸缩变换等．随着学习的深入，注意方法的积累．
2． 要熟练掌握一些常见函数的图象，如一次函数、反比例函数、二次函数等．
四)巩固深化
2．向高为 h 的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭)，注入溶液量 V 与溶 液深度 h 的函数图象是
3．作图前，应首是确定函数的定义域，以保证图象准确定位．在对函数式进行变形过程中，要时刻关注定义域的变化，分清实线与虚线，空心点和实心点．
4．画图时要尽可能地作出能反映函数性质的一些特征点和特征线，如图象与坐标轴的交点，双曲线的渐近线，抛物线的顶点、对称轴等，以确保所作图象尽可能地准确．5．分段函数的图象，其各个部分有些是“连”的，有些是“断”的，其判断的方法是：计算分界点处对应的函数值是否相等，相等则“连”，不等则“断”．
（六）布置作业
《课课练》第3课
补充1：一元二次不等式和简单的分式不等式的解法
一．教学目标：
1．知识目标
（1）通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
（2）会结合图象解一元二次不等式。
（3）会解简单的分式的分式不等式。
2．方法与过程通过具体的例题，结合函数的图象，让学生在老师的引导下去体验、感悟、模仿、理解、掌握一元二次不等式和简单的分式的解法。培养数形结合的能力。
3．情感、态度、价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想王奎新新疆屯敞
二．教学重点和难点：
重点：解一元二次不等式难点：一元二次不等式与相应函数、方程的联系。三．学法及教学用具
学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学用具：三角板、投影仪．
教学过程:
（一）问题情境:
⑴ 二次函数y =ax2+bx+c（a0）图象与x 轴交点个数有几种情形？
⑵若二次函数y =ax2+bx+c（a0）图象与x 轴有两个交点，则这两个交点与方
程ax2+bx+c=0的两个根x x（x x）有何关系？
⑶二次函数y =ax2+bx+c（a0）图象与x轴有两个交点时，x轴上方图象上的点的纵坐标y取值范围如何？x 轴下方图象上的点的纵坐标y取值范围又如何？
（二）探求新知
1．一元二次不等式:
——只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式。
2．一元二次不等式:
问题1：画出函数y = x2- x - 6的图象，利用图象回答：
⑴方程x2- x - 6 ＝0的解是什么；⑵x取什么值时，函数值大于0；⑶x取什么值时，函数值小于0。
问题2：一般地，怎样确定二次不等式ax 2 +bx +c >0与ax 2 +bx +c <0的解集呢？ 组织讨论：
从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式 ax 2 +bx +c
0或
ax 2 +bx +c 0(a 0)的解集：
设相应的一元二次方程 ax 2 +bx +c =0(a
0) 的两根为 x 、x 且x x ，
b 2 4a
c ，则不等式的解的各种情况如下表：
0 =0 0
二次函数
y = ax 2 +bx +c (a 0 )的图象
y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c y = ax 2 + bx + c
一元二次方程
ax 2 +bx +c =0 (a 0)的根
有两相异实根
x 1,x 2(x 1 x 2) 有两相等实根
b
x 1 =x 2 =-2a
无实根
ax 2 +bx +c 0 (a 0)的解集 x x x 或x x
b x x - 2 a
R
ax 2 +bx +c 0 (a 0)的解集
x x x x
例 1 解下列不等式 （1） 3x - 6 x + 2 0 （2） - 3x - 2 -2 x （3）4x -4x +1
（4）- x +2x -3
点评 解一元二次不等式有两种方法：
① 图象法： 步骤为转正─找根─写解集
②
因式分解法：步骤为列出等价不等式组─写解集
（四）拓展延伸
2x +1
2x +1
例2（1）如何解不等式2 x +1 0 ， 2x +10：(1) f g ((x x ))>0 f (x )·g (x )>0 ；(2) f g ((x x ))<0 f (x )·g (x )<0；
例3 （1）关于x 的不等式kx 2 +2x +10的解集为，求实数k 的取值范围. （2）已知不等
式ax 2 +bx +1
0的解集是（-3,2），求实数a,b 的值。
（3）若关于x 的不等式mx 2+mx -20无解，求实数m 的取值范围. （五）兴趣探究（供学
有余力的同学思考）
解关于 x 的不等式x 2 +ax -a +1 0
（六）自主练习（作业） 1．解下列不等式： ① 4x 2 -4x
15；
② 14-4x 2
x ；
③x （x +2） x （3-x ）+1；
x -2
④ -x 2 -2x +8
0； ⑤ （5-x ）（x +4）0； ⑥ x -2 0。 2．已知A =x |2x 2+7x -
150,B =
x |x 2+ax +b 0
且A I B =
， A U B =
x |x -20
，求实数a ,b 的值。
3．如果对于任何实数x ，不等式kx 2 -kx +1
0都成立，求k 的取值范围。
4．对于任意实数x ，函数 f （x ）= （5-4a -a 2）x 2-2（a -1）x -3的值域为负实数集， 求
a 的取值范围。
x -2 x -2
x -2
2x + 1
2)解不等式2x +11 x -2 点评：
补充2：含绝对值的不等式的解法
一．教学目标
1、知识与技能：
掌握ax+b c与ax+b c(c0)、ax+b f(x)与ax+b f(x)型的不等式解法；并学会含两个绝对值的不等式的解法。
2、过程与方法：通过具体的例题的讲解和师生的共同探究过程中，让学生掌握有关不等
式解法。
3、情态与价值：让学生体验发现、探究、解决数学问题的过程和乐趣，激发学习的积极性。二．教学重点和难点
重点：不等式的ax+b f(x)与ax+b f(x)解法难点：等价转化思想的应用。
三．学法及教学用具
1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．2．教学用具：三角板、投影仪．
四．教学过程
(一)复习引入1．作业订正：《课课练》
2．解关于x的不等式x2+ ax - a + 10
a,a0
3．由初中绝对值定义：a = 0,a = 0 ，归纳含绝对值的问题的常规思路为去绝对值。
-a,a0
(二)探究新知1．结合数轴可得：
① x a(a0)-a x a
② x a(a0)x a或x-a
2．推广到x的一次或二次因式得到ax+b c与ax+b c(c0)的解法。
强调：ax+b c与ax+b c(c 0)解集的区别：“且”、“或”
三)学以致用
例1．解不等式：① 2x+5 7 ② 2x-5 7分析：关键是去掉绝对值③ 1x-2 7
例2．解不等式：① 4x-3 2x+1② x
2-x x
4 x - 3 0 4 x - 3 0
方法1：原不等式等价于4x-30
或
4x-30
4x - 3 2x +1 - (4x - 3) 2x +1
∴原不等式的解集为{x| x>2或x<1 }.
方法2：整体换元转化法
分析：把右边看成常数c，就同ax+b c(c0)一样
∵|4x-3|>2x+14x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) x>2 或x< ，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<1 }.
例3．解不等式：① x-2x+1 ② 2x+1+ x-2 4
例4．已知U=R，P = x | x-2 1,Q=x|0x2，求(C P)I Q。
13
①将不等式- x表示成ax -b c的一种形式。
②已知不等式x-2b(b0)解集为x|-3x9，求a,b之值。
思考：解不等式mx-13(m为常数)
(四)布置作业：
1.解下列不等式：
①12x+1 3 ② x-5 - 2x+3 1
③ x2-13x④ x2- 4x+ 2
⑤ (a-3)x-4 3(a R,a为常数)
§2.1.3 函数的简单性质——单调性(1) 一．教学目标
1.知识与技能：
(1)．理解函数单调性的概念，
(2)．掌握判断一些简单函数的单调性的方法；
（3）．了解函数单调区间的概念。
2.过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受数形结合的思想。
3.情态与价值：培养学生合作、交流的能力和团队精神，激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯。
二．教学重点：函数单调性概念的理解及应用三．教学难点：函数单调性的判定与证明四．教学过程
（一）、设置情景
课件演示：展示已绘制的NBA 球星姚明四个赛季的得分、篮板数据表
赛季得分篮板
05-0622.310.2
04-0518.38.4
03-0417.59
02-0313.58.2
注：图象是由点构成的，连线是为了体现变化趋势。
问：你还能举出生活中有哪些利用图象进行分析的实例吗？
（二）、学生活动展示三个具体函数的图象，说出函数图象的变化趋势
问题1：能用图象上动点P（x，y）的横、纵坐标关系来说明上升或下降趋势吗？学生
观察讨论：在某一区间内，
当x的值增大时, 函数值y也增大——图像在该区间内逐渐上升；
当x的值增大时, 函数值y反而减小——图像在该区间内逐渐下降。
（三）建构数学