中国石油大学计算方法模拟试题

1.计算方法实际计算时，由于受计算机字长限制而导致的误差称为 舍入误差 。

2.x *

=1.1021是经过四舍五入得到的近似数，有 5 位有效数字，相对误差限为 0.5*10-4

。

3.利用二分法求方程1-x-sinx=0在[0,1]内的根要二分 15 次。（ε≤0.5*10-4

） 4.写出用Newton 法建立求b 的迭代公式 x k+1=(x k 2

+b)/2x k 。

5.使用矩阵分解法求解线性方程组时，平方根法适用于 系数矩阵为对称正定矩阵的方程组 ，追赶法适用于 系数矩阵为三对角阵的方程组 。

6.设线性方程组Ax=b ，为??

?=+=+7

.0751

1072121x x x x ，则||A||2= 14.933 ,Cond ∞(A)为

289 ，若右端向量有扰动δb=(0.01,-0.01)T

，则解的相对误差限为 2.89 。

7.求解数值积分的Simpson 公式的代数精度为： 3 ，若将积分区间n 等分，步长为h, 则复化Simpson 公式的截断误差为h 的几阶无穷小,即 O(h ？

4 )

8.应用龙贝格求积公式求积分，其整个计算过程的特点是：将积分区间逐次分半，并将每一公式先后两次的计算结果按一定线性组合构成新的精度较高近似值。

9.常微分方程初值问题的数值解法分为单步和多步，显式和隐式，下列方法属于哪一类？龙格-库塔法： 单步、显式 ，阿当姆斯内插公式： 多步、隐式 。

10.若s(x)=?????≤≤-++≤≤+)

21(12)

10(2323x cx bx x x x x ，是以0,1,2为节点的三次样条函数，则b=

-2 ，c= 3 。

二、解答题（24分，每题6分）

1.看书上或课件定义

2.对于方程组

-1 4 2 2 -3 10 5 2 1

x1 x2 x3

5 9 8

试构造一收敛的高斯-赛德尔迭代格式，并说明收敛理由。 解：将方程组变换为：

系数矩阵为严格对角占优阵，则方程组存在收敛的高斯-赛德尔迭代格式。把方程组等价

变形为：

???

?

?

?

??

?++-=+-=+--=10921031513453211412583512521x x x x x x x x x 收敛的高斯-赛德尔迭代格式为：

???

?

??

???++-=+-=+--=++++++1092103151345

3211412

583512521)1()1()

1()()1()1()()()1(k k k k k k k k k x x x x x x x x x 3.以线性拟合为例简述最小二乘原理。 答：设近似函数为y=a+bx ，R=

∑=-+n

i i i

y bx

a 1

2)(。根据极值理论，要使R 达到最小，必有：

0)(21

=-+=??∑=n

i i i y bx a a R

， 0)(21

=-+=??∑=i n

i i i x y bx a b R

由方程组可以解出a ，b 的值，从而得到拟和曲线的表达式。

4.确定下列求积公式的常数a ，使其代数精度尽量高，并判定其具有的代数精度。

5 2 1

-1 4 2 2 -3 10

x1 x2 x3

8 5 9

?-++≈h

h f f ah h f f h

dx x f 0

2)](')0('[)]()0([2

)( 解：当f(x)=1时：?+==h h

h dx 0]11[21

当f(x)=x 时：]0[2]11[]0[2212

02h h ah h h h xdx h +=-++==?

当f(x)=x 2时：]20[]0[2312

0232h ah h h h dx x h -++==?，解得：a=1/12

当f(x)=x 3时：]30[121]0[2412203

43h h h h h dx x h -++==?

当f(x)=x 4时：]40[12

1]0[2513204

54h h h h h dx x h -++≠=?

说明所求求积公式具有三次代数精度。

三、证明题（16分，每题8分）

1.若f(x)=(x-x 0)(x-x 1)...

(x-x n )，x i 互异，证明当k=n+1时f[x 0,x 1,...,x k ]=1。 证明：由差商性质：

∑

=+-----=k

i k i i i i i i i x x x x x x x x x f 0

110)

)...()()...(()

(x k]x 1,...,f[x 0,

当k<=n 时

)

)...()()...(()

(110k i i i i i i i x x x x x x x x x f ----+-

=

0)

)...()()...(()

)...()()()...((110110=---------+-+-k i i i i i i k i i i i i i i i x x x x x x x x x x x x x x x x x x 当k=n+1时

∑

+=++-----=1

1110)

)...()()...(()

(x k]x 1,...,f[x 0,n i n i i i i i i x x x x x x x x xi f

= 0 + 1)

)...(()

)...((101101=----++++n n n n n n x x x x x x x x

2.证明对于牛顿-科特斯求积公式的科特斯系数有

10

)(=∑=n

k n k

C

。

证明：由牛顿-科特斯求积公式：

∑?

?

=+++-=n

k b

a

n k n k

b

a

dx x n f x f C

a b dx x f 0

)1()()()1()

()()()(ωξ！

设f(x)=1则

?

++b

a

n dx x n f )()1()

()1(ωξ！

=0。

所以：

∑?

=-=-=n

k k n k b

a

x f C a b a b dx 0

)()()(1，即：

1)(0

)(=∑=n

k k n k

x f C

四、计算题（26分）

1.（10分）给出sinx 在[0.4,0.7]的数值表

如果使用二次插值求sin0.63891的近似值，问如何选取结点，才使其近似值的误差较小？并求该近似值，小数点后保留5位数字。（注意：拉格朗日插值与牛顿插值两种方法任选，若采用牛顿插值，构造出差商表）

解：应选三个节点，使截断误差|R 2(x)|<=|f (3)

(ξ)||(x-x0)(x-x1)(x-x2)|尽量小。

故最靠近0.63891的三个节点一定满足要求。

显然，取{0.5,0.6,0.7}。 （1）采用拉格朗日插值：

L 2(x) = 22 0.644)

6.07.0)(5.07.0()6.0)(5.0(64

0.564)

7.06.0)(5.06.0()

7.0)(5.0(43 0.479)7.05.0)(6.05.0()7.0)(6.0(?----+?----+?----x x x x x x

= 22

0.64402

.0)6.0)(5.0(64

0.56401

.0)

7.0)(5.0(43 0.47902.0)7.0)(6.0(?--+?---?--x x x x x x

所以：sin0.63891 ≈ L 2(0.63891)

=22

0.64402.0)6.00.63891)(5.00.63891(64

0.56401

.0)

7.00.63891)(5.00.63891(43 0.47902.0)7.00.63891)(6.00.63891(?--+?---?--

=22

0.64402

.00.038910.1389164

0.56401

.0)

06109.0(0.1389143 0.47902.0)06109.0(0.03891??+?-?-?-?

=22 0.64402.00540

00.64 0.56401.000849.043 0.47902.000238.0?+?+?-

=17394.047938.005705.0++-

=0.59627

（2）采用牛顿差值：

N 2(x) = 0.479 43 + 0.8521(x-0.5) - 0.2815(x-0.5)(x-0.6) 所以sin0.63891 ≈ N 2(0.63891)

= 0.479 43 + 0.8521*(0.63891-0.5) - 0.2815*(0.63891-0.5)*( 0.63891-0.6) =0.479 43 + 0.8521*0.13891 - 0.2815*0.13891*0.03891 =0.479 43 + 0.11837 - 0.00152 =0.59628

2.（8分）设max|f ’’(x)|<=8

1

,x ∈[2,8]，用复化梯形公式计算?82)(dx x f 的近似值时，为

使截断误差的绝对值不超过5

102

1-?，至少应将[2,8]分为多少等份？

解：用复化梯形公式，截断误差：

R n (f) = )(''112)28()(''12232

ηηf n

f h a b ?--=?-- 因为max|f ’’(x)|<=

8

1

所以| R n (f) |<=523102

1

811126-?<=??=

n 解得n>=671

所以至少分为671等份。

3.（8分）用欧拉预报-校正法求初值问题???=+=0

)0(1'2

y y y 在x=0.3，0.6处的数值解，步长h=0.3，

小数点后保留5位数字。 解：由预报-校正公式有：

??

?

??++++=++=+++]

)(11[2)1(2

0121201n n n n n n n

y y h y y y h y y h=0.3,n=0,1,2,... 利用上述公式，及y(0)=0得：

??

?

??=++++==++=3135.0]3.0101[*23.003

.0)01(*3.002

101y y

y(0.3)≈y 1=0.3138

??

?

??=++++==++=69026.0]64298.013135.01[*23.03135.064298.0)3135.01(*3.03135.02

2120

2y y

y(0.6) ≈y 2=0.69026

一.填空k

1．已知π=3.1415926…若其近似值的绝对误差限为0.5×10-5

,

则该近似值是什么？

2、对于充分接近90度的x, 为不损失有效数字，应对公式1- sin(x) 做何变化？

3、对于不动点迭代X k+1=Φ(X k ) , 若在不动点x*满足Φ‘(x*)≠0，

则该迭代格式是几阶收敛的

4、牛顿迭代法的特点是什么 ？

对于单根，它是几阶收敛的？

5、关于线形方程组系数矩阵的条件数 a 、 反映绝对误差放大倍数 b 、 反映相对误差放大倍数

c 、 条件数越大，方程组越呈“良”态

6、写出两种非线形方程的解法

7、追赶法适合解系数矩阵为 的方程组

8、设xi (i=0，1,2,3，4)为互异结点 ，li(x)为对应的插值基函数 则：∑=4

3

)(i x li xi = ∑=++4

2

)()24(i x li xi xi

=

9、什么是三次样条插值函数？，写出三个要点

10、A= 1 a ,当a= ，A可做ＬＬT分解，

1 2

其中Ｌ的元素满足Ｌ＝

11、向量X=（x1,x2,x3）T , 则 | x1+2x2|+| x1+x3| 是不是一种向量范数？

二．解答：

1、当A有扰动δA和b有扰动δb时，如何用

矩阵A的条件数去估计方程组的相对误差||δx|| / ||x||?

2．写出gauss列主元的算法描述

三、解方程组

已知方程组 Ax=b , 其中A= 1 2 b= 1

0.3 1 2

(1)写出解此方程组的Jacobi迭代公式，讨论用Jacobi迭代解此方程组的收敛性

(2)写出解此方程组的Gauss-Seidel迭代公式，讨论用Gauss-Seidel迭代解此方程组的收

敛性

四．求形如 y=ae bx ( a, b 为常数，且a>0 ) 的经验公式，使它能和下表数据相拟合：

已知对数表

五、已知函数表：

1、构造差商表，写出Newton插值多项式

2、写出Laglanre插值多项式

3、写出该插值多项式的余项

六、设 f (x) =g(x)h(x)

证明： f [ x0 , x1 ] = g(x0) h[x0 , x1] + g [x0 ,x1] h(x1)

七、用最小二乘法解矛盾方程组

2x + 3y = 6

x + y = 2

2x + y = 4

2．补充Newton迭代的大范围收敛性定理，并完成所给问题（8分）

（1）Newton迭代收敛性定理如下：

设f(x)在区间[a, b]上二阶导数存在，且对于x ∈[a,b]满足：①

②

③

④

则Newton迭代法收敛于f(x) =0在[ a, b]上的唯一根。

（2）说明该定理每个条件的作用

（3）图示Newton迭代法的几何意义

（4）推导用Newton迭代法求正数a的平方根的迭代格式

2．补充Newton迭代的大范围收敛性定理，并完成所给问题（8分）（1）Newton迭代收敛性定理如下：设f(x)在区间[a, b]上二阶导数存在，且对于x∈[a, b]满足：①

f(a)f(b) <0 ; ②f′(x)≠0 ;③f〞(x)存在且不变号；④取x0∈(a, b) ,使f〞(x0) f(x0) >0（2分）则Newton迭代法收敛于f(x) =0在[ a, b]上的唯一根。（2）说明该定理每个条件的作用①保证有根②保证单根③保证凸凹性不变④-保证收敛（2分）（3）图示Newton迭代法的几何意

义

（2分）（4）推导用Newton迭代法求正数a的平方根的迭代格式解：即求f(x)= x2-a=0的根f(x)= x2-a f ’(x)=2x 由牛顿迭代公式：所以求正数a 的平方根的迭代格式为：