函数最值问题的处理方法

摘要

函数的最值问题遍及代数，三角，立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有

广泛的应用。中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。求函数最

值的方法有：配方法，不等式法，换元法，函数单调性法，判别式法，数形结合法，导数

法，线性规划问题，利用三角函数的有界性

关键词：函数，最值问题，处理方法

一、配方法

形如或者可化成y=2ax +bx+c(a ≠0)的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据

二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值，解题过程要特别关注自变量的取值范

围。

例1：已知f(x)=2x +2x+2,分别求出f(x)在闭区间：(1) [-4,-2], (2)[2,3], (3)[-2,3]

上的最大值M 和最小值m

解：f(x)的图像开口向上，对称轴x=-1

（1）对称轴x= -1在区间[-4,-2]的右侧，f （x ）在[-4，-2]上是减函数，

所以M=f （-4）=10，m=f （-2）=2

（2）对称轴x= -1在区间[2,3]的左侧，f （x ）在[2,3]上是增函数，

所以M=f （3）=17，m=f （2）=10

（3）对称轴x= -1在区间[-2,3]内，对称轴在区间中点的左侧，

所以M=f （3）=17，m=f （-1）=1

用配方法求最值的方法步骤：

（1）求二次函数在开区间上的最值，看开口方向，确定为最大值或最小值。

（2）求二次函数在闭区间上的最值，一看开口方向，二看对称轴在闭区间的相对位置，

分四种情况：

（1）对称轴在闭区间的左侧；

（2）对称轴在闭区间的右侧；

（3）对称轴在闭区间中点的左侧；

（4）对称轴在闭区间中点的右侧。

二、不等式法

通过式的变形，将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征，

从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成

立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正，二定，三相等”。

例2：设x ，y ，a ，b ∈（0，+∞），且a ，b 为常数，若

1=+y

b x a ，试求x+y 的最小

值。

错解： 1=,2xy

ab y b x a ≥+ 则ab xy 2≥ 故ab xy y x 42≥≥+ ，即x+y 的最小值为4ab

分析：不等式,2xy

ab y b x a ≥+ 当且仅当 y b x a =时“=”成立，而不等式 x+y ≥xy 2中，当且仅当x=y 时“=”成立。当b a ≠时，以上两个不等式的等号不能同时成立，故当b

a ≠时，a

b y x 4≥+不能取“=”，所以

b x a +的最小值4ab 是不正确的正解： ()()ab b a y bx x ay b a y bx x ay b a y x y b x a y x y x 221++=?++≥???? ?

?+++=+???? ??+=+?=+故x+y 的最小值是ab b a 2++。

三、换元法

主要有三角换元和代数换元。用换元法时，要特别关注中间变量的取值范围。

例3：求函数()()x x y sin 1cos 1++=的最大值M 和最小值m

解：()()x x y sin 1cos 1++==1+（sinx+cosx ）+sinx+cosx

令()t x x =+cos sin ，则t ∈[2,2-]，2

1cos sin 2-=t x x ；故()2212

12121+=++=t t t y 当2=t 时，M=（223+）/2

当1-=t 时，m 0=

例4：求函数y ＝2x

分析：先观察结构特点，可用代数换元去掉根号。

t （t ≥0），则2x ＝－t 2＋1

∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －

12)2＋54 ∴t ＝12时，y max ＝54

，无最小值。评注：形如y ＝ax ＋b

性不易确定时，可采用代数换元。

四、函数单调性法

利用函数的单调性是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调性，一般适用

于抽象函数

例5：已知函数f （x ）的定义域为R ，对任意的R x x ∈21,，都有()()()2121x f x f x x f +=+

且x>0时，f(x)<0，f （1）=-2，试判断在区间[]3,3-上，f （x ）是否有最大值或最小值？如

果有求出最大值和最小值，如果没有，说明理由

解：令,021==x x 则f （0）=f （0）+f （0）

故f （0）=0

令,,21x x x x -==则f （x ）+f （x -）=f （0）=0，

故f （-x ）= -f （x ），则f （x ）是奇函数

设R x x ∈21, 且21x x ，则021 x x -

故)()(,0)()()()()(12121221x f x f x x f x f x f x f x f -=-+=-

因此f （x ）在R 上为减函数

又f （1）=2-，则

f （3）=f （1+2）=f （1）+f （2）=6)1(3-=f

6)3()3(=-=-f f

故在[]3,3-上，f （x ）为减函数存在最大值和最小值

当6)3()(,3max =-=-=f x f x

当6)3()(,3max -===f x f x

五、判别式法

主要适用于可化为关于x 的二次方程的函数，当x 的范围是R 时，仅考虑△即可，当

x 的范围非R 时，还需结合图像另列不等式组求解.

例6：求函数)2(x x x y -+=的最大值和最小值

解： )2(x x x y -=-，两边平方整理，得=++-22)1(22y x y x 0

x 是实数，则08)1(422≥-+=?y y ，解得2121+≤≤-y

此外，由0)2(≥-x x 得20≤≤x 。

于是)2(x x x y -+=0≥ 即210+≤≤y ，故21,0max min +==y y

评注：在解得过程中历经平方变形，从而扩大了y 的取值范围，故利用判别式

法求出y 的范围后应综合函数的定义域将扩大失误部分予以剔除。

六、数形结合法

主要适用于具有几何图形的函数，通过几何模型，以形助数，便于探求问题的

简洁解法，又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误，还有利于沟通数学各个分

支，深化我们的思维。

例7：求函数f(x)

分析函数结构复杂，无法用常规方法解，设法将其具体化，由根式我们会联想

到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式，通过拆凑，

发现可以，即：

f(x)

对其作适当的语义解释，问题就转化为：求点 P(x ，x 2)到点A(3，2)与B(0，1)

距离之差的最大值。进一步将其直观具体化如下图1，由A 、B 的位置知直线AB

必交抛物线y ＝x 2于第二象限的一点C ，由三角形两边之差小于第三边知，P 位于C

时，f(x)才能取到最大值，且最大值就是AB ，故f(x)max ＝|AB|

上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化具体的形，“形”使我们把

握住了f(x)的变化情况。

图1 七、导数法

设函数f(x)在[a ，b]上连续，在(a ，b)可导，则f(x)在[a ，b]上的最大和最小值应

为f(x)在(a ，b)内的各极值与f(a)、f(b)中最大值与最小值。

例8：求f(x)＝x ＋

(x ∈[0，4])的最大值与最小值。

分析 ∵f /(x)＝1

当x ∈(0，4)

时，0，且f(x)在[0，4]上连续，所以函数f(x)＝x ＋

[0，4]上为单调增函数，

因此，函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(4)＝8，最小值为f(0)＝0

评注：①若函数f /(x)在[a ，b]上均不为零，那么f(x)必是[a ，b]上的单调函数，

若f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数最小值，f(b)为函数最大值；若函数f(x)在

[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数最大值，f(b)为函数最小值；②也可令t

0≤

t ≤2换元求解。

八、线性规划问题

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题，称为线性规划题。

一般求解步骤有：

⑴根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形即可行域；

⑵设所求的目标函数f(x ，y)的值为m ；

⑶将各顶点坐标代入目标函数，即可得m 的最大值与最小值，或求直线f(x ，y)＝m

在y 轴上截距的最大值(最小值)，从而得m 的最大与最小值。

例9：某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按

120个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产

千元为单位）

解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则

x y x f 234++=其中x ，y ，z 满足

???????≥≥≥=++=++60

,0,012041312

1360z y x z y x z y x 联立，得x z x y 2,3360=-=

则由??

???≥≥-≥602033600x x x

得12030≤≤x 。故

x z x z y x f -=-+++=1080)(3

当x=30时，1050301080max =-=f

从而，60,270==z y

即每周生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值产值为1050千元

九、利用三角函数的有界性求最值

在三角函数中，正弦与余弦函数具有一个最基本也最重要的特征——有界、利用正弦

函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的。

例10：:求函数y ＝cos 2cos 1

x x --的最小值。分析：由于在本题的函数表达式中只含有余函数，故可直接利用余弦函数的有界性

求解(如果在函数表达式只含有正弦函数则同样如此)

解：y ＝1－1cos 1

x -， ∵－1≤x cos ＜1，

∴－2≤x cos －1＜0 ∴1cos 1x -≤－12

∴y ≥32，即函数y 的最小值为32

，此时x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z

参考文献：

[1] 薛金星，怎样解题[M] 北京，北京教育出版社2003

[2] 费振鹏，活动课例《简单的线性规划问题》的教学尝试设计说明[J]. 数学通报

2002，（3）：18-22

[3]《数学思想方法与中学数学》——钱珮玲邵光华编著北京师范大学出版社

高中数学函数最值问题的常见求解方法

一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322 ?-=+的最大值和最小值．解析：34)3 22(32 + --=x y ，当01≤≤-x 时，122 1≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，3 4max = y ．二、判别式法对于所求的最值问题，如果能将已知函数式经适当的代数变形转化为一元二次方程有无实根的问题，则常可利用判别式求得函数的最值．例２：已知012442 2 =-++-x x xy y ，求y 的最值．解析：由已知，变形得0)1()12(242 2 =-+--y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)1(16)12(422≥---y y 故 4 5≤ y ．因此 4 5 max = y ，无最小值．例3：若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则m ax x = min y = 解析：由已知，变形得：0)()12(2 2 =++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 81≤ x ．即 8 1max =x ．同理，0)()12(2 2 =-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(22≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 81-≥y ．即 8 1 min -=y ．注意：关于x 、y 的有交叉项的二元二次方程，通常用此法例4：已知函数1 1 3452 2+++=x x x y ，求y 的最值．解析：函数式变形为：0)1(34)5(2 =-+--y y x y ，R x ∈，由已知得05≠-y ， 0)1)(5(4)34(2≥----=?∴y y ，即：0762≤--y y ，即：71≤≤-y ．因此 7max =y ，1min -=y ．例5：已知函数)(1 2R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a , 解析： 01 2 22 =-+-?+=+?++= b y ax yx b ax y yx x b ax y

一次函数的最值问题

一次函数的“最值”问题一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数．如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值．一次函数的“最值”由一次函数的性质决定，与其k值、自变量的取值范围密切相关： ⑴k＞0时，y随x增大而增大．因此，x取最小值时，y有最小值；x取最大值时，y有最大值． ⑵k＜0时，y随x增大而减小．因此，x取最小值时，y有最大值；x取最大值时，y有最小值． k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表：求一次函数的最大、最小值，一般都是采用“极端值法”．即用

自变量的端点值，根据函数增减性，对应求出函数的端点值（最值）．请看以下实例．例1．已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数取值范围是-11≤y≤9．求此函数的解析式．解析：x的取值范围与函数y的取值范围的对应情况，由k值的符号确定．故应分类讨论． ⑴k＞0时，y随x增大而增大．x=-2时，y=-11；x=6时，y=9． ∴解得∴y=x-1 ⑵k＜0时， y随x增大而减小．x=-2时，y=9；x=6时，y=-11． ∴解得∴y=－x+14 例2．康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台．从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；甲地（元/台）（18）乙地（元/台）（14） A地（17）600（x）500（17-x） B地（15）400（18-x）800（x-3） ⑴如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）关于x（台）的函数解析式； ⑵若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则

二次函数在闭区间上的最值 (经典)

二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。（2）当[] - ?b a m n 2，时若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值．对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f

初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论：1、如果，那么有最大值或最小值（如图1）：当时，，；当时，，。图1 2、如果，那么有最小值或最大值（如图2）：当时，；当时，。图2

3、如果，那么有最大值或最小值（如图3）当时，；当，。图3 4、如果，那么既没有最大值也没有最小值。凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼，B楼，C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40m，B楼与C楼之间的距离为60m，已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？

（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。解：（1）设取奶站建在距A楼xm处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当时， ∴当x=40时，y的最小值为4400。 ②当时，，此时y的值大于4400。因此按方案一建奶站，取奶站应建在B楼处。（2）设取奶站建在距A楼xm处。 ①当时，，解得（舍去）。 ②当时，解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A楼80m处。

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-―

高中数学函数最值问题的常见求解方法

高中数学函数最值问题的常见求解方法一、配方法例１.当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322?-=+的最大值和最小值．解析：3 4)322(32 + - -=x y ，当01≤≤-x 时， 12 2 1≤≤x ．可得1min =y ，3 4max = y ．二、判别式法:若能将问题转化为一元二次方程有无实根的问题，则常利用判别式求得函数的最值．例2.若x 、R y ∈且满足：022 2 =-+++y x xy y x ，则max x = ， min y = . 解析：由已知，变形得：0)()12(22=++-+x x y x y ，R y ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2≥+--x x x ，于是018≥+-x ，即 8 1≤ x ．即 8 1max = x ．同理，0)()12(22=-+++y y x y x ，R x ∈，则0≥?，即有 0)(4)12(2 2 ≥--+y y y ，于是018≥+y ，即 8 1- ≥y ．即 8 1min - =y ．例3.在2 0π ≤ ≤x 条件下，求2 ) sin 1()sin 1(sin x x x y +-= 的最大值．解：设x t sin =，因0(∈x ，)2 π，故 10≤≤t ，则2 ) 1()1(t t t y +-= ，即 0)12()1(2 =+-++y t y t y 因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2 ≥+--=?y y y 即 8 1≤ y 。将8 1= y 代入方程得 0[3 1∈= t ，]1，所以8 1max = y . 注意：因0≥?仅为方程0)12()1(2 =+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将8 1= y 代入方程中检验，看等号是否可取．练习：已知函数)(1 2 R x x b ax y ∈++=的值域为]4,1[-，求常数b a ,.（答案： 3=b ，4±=a ）三、换元法 (一)局部换元法例4.求函数x x y 21-+=的最值．解析：设x t 21-= (0≥t )，则由原式得11)1(2 12 ≤+-- =t y 当且仅当1=t 即0=x 时取等号．故1max =y ，无最小值．例5.已知20≤ ≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin 则 22≤ ≤- t 且2 1cos sin 2 -= t x x ，于是]1)[(2 12 2-++= a a t y 当2= t 时，21 22 max + + =a a y ；当a t -=时，)1(2 1 2 min -= a y ．注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解． (二)三角代换法(有时也称参数方程法) 例6.已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数),因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 2 11()sin sin cos (cos 2 2 2 2 θθθθθ+ =++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，2 1max =u ．练习1：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则 max 1S +min 1S =____。练习2：已知x 、y R ∈且x y x 6232 2=+，求y x +的最值．解析：化x y x 6232 2=+为123)1(2 2 =+-y x ，得参数方程为?? ? ??=+=θθsin 26 cos 1y x )sin(2 101sin 26cos 1?θθθ++ =+ +=+∴y x ，故 2 101)(max +=+y x ，2 101)(min - =+y x ． (三)均值换元法例7.已知1=+b a ，求证：4 4b a +的最小值为 8 1．解析：由于本题中a 、b 的取值范围为一切实数，故不能用三角换元，但根据其和为１，我们可

中考数学专题之区间函数的极值问题

中考数学专题之区间函数的极值问题题型分析归类：对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键. 此类问题包括以下四种情形： (1)定轴，定区间；例1、若关于x 的方程220x x t +-=(t 为实数)在－2≤x ≤3范围内有解，则t 的范围为 . 练习：函数242y x x =-+-在区间0≤x ≤3上的最大值是_________，最小值是_______. (2)定轴，动区间；例2、已知二次函数y ＝x 2－2x ＋2在t ≤x ≤t ＋1时有最小值是t ，则t 的值是( ) (A)1 (B)2 (C)1或2 (D)±1或2

例3、已知关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax+a －1交x 轴于A 、B 两点，抛物线于x 轴围成的区域内(含边界)，恰好有8个整点(横纵坐标均为整数)，则a 的范围是( ) 111 1 116＜x ≤19 (D) 1 16≤x ≤19 (3)动轴，定区间； (2017年4调原题)已知关于x 的二次函数y ＝(x －h )2＋3，当1≤x ≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为 ( ) (A)23 (B)23或2 (C)23或6 (D)2、 23或6 例4、已知二次函数2(1)5y x m x m =-+- (m 为常数)，在-1≤x ≤3的范围内至少有一个x 的值使y ≥2，则m 的取值范围是( ) (A) m ≤0 (B) 0≤m ≤ 21 (C)m ≤21 (D)m ＞21

练习：已知关于x 的二次函数y =x 2－5mx +4，当1≤x ≤3时，二次函数值y ＞0，则实数m 的范围值为 ( ). (A)m ＞54 (B)m ≥54 (C)m ＜54 (D) 0＜m ≤54 (4)动轴，动区间例5、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点为(－1，0)，与y 轴的交点在(0，2)和(0，3)之间(不包含端点)，顶点坐标为(1，k )，则k 的取值范围是 ( ) (A)2＜k ＜3 (B)5 2 ＜k ＜4 (C)8 3 ＜k ＜4 (D)3＜k ＜4

导数与函数极值、最值问题(解析版)

【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步求方程'()0f x =的根；第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号；第四步利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值．【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】

试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．考点：函数的单调性与极值．【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为（） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】考点：函数的极值．【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ，所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为

初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论：（1）如果m x n ≤≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图1）：当0k >时，b km y +=最大，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大，b km y +=最小。图1 （2）如果n x ≥，那么b kx y +=有最小值或最大值（如图2）：当0k >时，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大。图2 （3）如果m x ≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图3）当0k >时，b km y +=最大；当0k <，b km y +=最小。图3 （4）如果m x n <<，那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供同学们参考：某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼，B 楼，C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ，B 楼与C 楼之间的距离为60m ，已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站

方案：方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在方案二的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。解：（1）设取奶站建在距A 楼xm 处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当40x 0≤≤时， 8800 x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +?-=-+-+= ∴当x=40时，y 的最小值为4400。 ②当100x 40≤<时， )x 100(60)40x (70x 20y -+-+= 3200x 30+=，此时y 的值大于4400。因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处。（2）设取奶站建在距A 楼xm 处。 ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x 20-=-+，解得03 320x <- =（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80m 处。（3）设A 楼取奶人数增加a （22a 0≤≤）人， ①当40x 0≤≤时， )x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++，解得30 a 3200x +-=（舍去）。 ②当100x 40≤<时， )40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++，解得a 1108800x -=，当a 增大时，x 增大。 ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目，只需要画出函数图像即可以解决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,

高一数学必修一函数的最值问题试题(1)

函数的最值问题（高一）一．填空题： 1. ()35,[3,6]f x x x =+∈的最大值是。1 ()f x x =，[]1,3x ∈的最小值是。 2. 函数y =的最小值是，最大值是 3.函数21 2810y x x =-+的最大值是，此时x = 4.函数[]23 ,3,21x y x x -=∈--+的最小值是，最大值是 5.函数[]3 ,2,1y x x x =-∈--的最小值是，最大值是 6.函数y=2-x -21 +x 的最小值是。y x =-的最大值是 7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是最小值是 . 8.函数()2 1f x x =-在[2,6]上的最大值是最小值是。 9.函数y =x x 213+-（x ≥0）的值域是______________. 10.二次函数y=-x 2+4x 的最大值 11. 函数y=2x 2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值。 12.函数y= -x 2-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值 13.函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是 22225 1x x y x x ++=++的最大值是 14.已知f （x ）=x 2－6x +8，x ∈［1，a ］并且f （x ）的最小值为f （a ），则a 的取值范围是 15.函数y= –x 2–2ax(0≤x ≤1)的最大值是a 2,那么实数a 的取值范围是 16．已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 17. 若f(x)= x 2+ax+3在区间[1,4]有最大值10，则a 的值为： 18.若函数y=x 2-3x -4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m 的取值范围是 19. 已知f （x ）=-x 2+2x+3 , x ∈［0，4］,若f （x ）≤m 恒成立，m 范围是。二、解答题 20.已知二次函数在上有最大值4，求实数 a 的值。 21.已知二次函数在上有最大值2，求a 的值。 []2,3-∈x 12)(2++=ax x a x f []1,0∈x a ax x x f -++-=12)(2

函数在闭区间上的最值问题

函数在闭区间上的最值问题教学目标： ① 掌握二次函数在闭区间上的最值的求法。 ② 对于其他类型的函数在闭区间上的最值问题，可转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 ③ 通过教学使学生掌握数形结合，分类讨论，数学建模等重要的数学思想。重点和难点：重点 :二次函数在闭区间上的最值的求法；其他类型函数在闭区间上的最值问题转化为二次函数在闭区间上最值问题。难点 :对参变量的分类讨论教学过程: 一、知识回顾：二次函数的一般形式：y=ax 2 +bx+c,(a ≠0) 对称轴：__________；顶点坐标____________；开口方向____________________；当____________函数有最大值_________；当__________函数有最小值__________。二、二次函数在闭区间上的最值问题： 1．不含参变量例1．（1）求[]上的最值。，在30x ,3x 4x 2-y 2∈++= （2）求[]上的最值。，在30x ,3x 4x 2y 2∈++=

2．含参变量类型一：“轴变，区间定” 例2．求[]上的最值。，在30x )R a (,a ax 2-x y 2∈∈+= 练习：求[]上的最值。，在31x )R k (,3kx 4x -2y 2∈∈++= 变式训练：若函数[]的值。，求上有最大值，在k 423-x )R k (,1kx 2x k y 2 ∈∈++= 类型二：“轴定，区间变” 例3．讨论ｙ＝x 2－２ｘ＋２在ｘ∈［ｍ，ｍ＋１］上的最值。

练习：求函数ｙ＝－３x ２－６ｘ＋７，在区间［ｎ－１，ｎ］上的最值。变式训练：对[],1x a a ∈+时，恒为正，求实数a 的取值范围。类型三：“轴变，区间变” 例4．求函数 21(0)y tx x t =+-≠在(,1)x t t ∈+上的最值。变式训练：已知()2 34()(0)y x a x a a =-+->，且当x a ≥时，y 的最小值为4，求参数a 的值。总结：二次函数在闭区间上的最值的求法： 1．判断对称轴跟区间的关系； 2．若对称轴在区间内，则函数的最值在区间端点所对应的值和顶点函数值中取； 3．若对称轴在区间外，则函数的最值在区间端点上取。

八年级数学-一次函数最值的应用例说

八年级数学-一次函数最值的应用例说在经济问题中,常会遇到求函数的最大值和最小值问题,如求最大利润、最小成本、确定最优的生产方案等问题,以图达到最经济、最节约和最高的经济效率．谈到最值问题,人们关心的是二次函数的最值问题．而对一次函数最值的应用问题却很少了解,但在实际问题中,一次函数的最值的应用极为广泛．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的自变量x的取值范围是一切实数,所以一次函数没有最大(小)值,但是,当自变量在某个闭区间a≤x≤b内取值时(a,b为实数),一次函数y ＝kx＋b却存在着最大(小)值．例1 20个农场职工种50亩地,这些地可以种蔬菜、棉花或水稻,如果种这些农作物每亩地所需的职工和预计的产值如下：问怎样安排,才能使每亩地都种上作物,所有职工都有工作,而且农作物的预计总产值达到最高？解设种蔬菜、棉花、水稻的土地分别为x亩、y亩、z亩,预计总产值为ｗ元．根据已知条件,得： x＋y＋z＝50, (1) W＝1100x＋750y＋600z． (3) 由(1)、(2)可得： y＝90－3x (4) z ＝2x－40 (5) 把(4)、(5)代入(3)得： W＝50x＋43500．由x≥0,y ＝90－3x≥0,z＝2x－40≥0得： 20≤x≤30．所以当x＝30时,W取最大值45000元此时y ＝0,z ＝20．

即种30亩蔬菜,20亩水稻才能使预计总产值最高,可达45000元．例2 48人划船,每只小船坐3人,租金2元；每只大船坐5人,租金3元,最少要付租金多少元？解设用x只大船,y只小船；要付租金W元．由题意可知： 5x＋3y ＝48, (1) W ＝3x＋2y． (2) 把(3)代入(2)得： W＝3x＋2y 由于人数是48人,每只大船坐5人,由此可知：0＜5x＜48,得0＜x＜10,要使W最小,x应取最大整数值．即当x ＝9时,W的值最小．答：最少要付租金29元．例3 在边防沙漠地带,巡逻车每天行驶200公里,每辆巡逻车可装载供行驶14天的汽油．现有5辆巡逻车同时从驻地A出发,完成任务后再沿原路返回驻地,为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻(然后再一起返回),甲、乙两车行至途中B处后,仅留足自己返回驻地所必须的汽油,将多余的汽油留给另外三辆使用,问其它三辆车可行进的最远距离是多少公里？(1995年河北省初中数学联合竞赛试题) 解设巡逻车行驶到途中B处时用了x天,其中的三辆车从B到最远处用y天,则有2[3(x＋y)＋2x]＝14×5, 即 5x＋3y＝35。 (1) 由题意可知x＞0,y＞0且 14×5－(5＋2)x≤14×3 即x≥4．

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。类型一定轴定区间例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论类型二定轴动区间例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a

高中数学学案：三角函数的最值问题

高中数学学案:三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读:必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟:①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习:在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__．解析:因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6),所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__．解析:f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值

一次函数的专题复习~最经典最全

函数的概念及表示方法知识点 1.概念：在某一个变化过程中，设有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个确定的值，在y 中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y 是x 的函数，也就是说x 是自变量，y 是因变量。 2.确定函数自变量取值范围的方法（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题精讲考点1．函数的概念例1．下列图象中，表示y 是x 的函数的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个考点2．函数的表示法例2．如图是广州市某一天内的气温变化图，根据图象，下列说法中错误的是（） A ．这一天中最高气温是24℃ B ．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃ C ．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高 D ．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低考点3．求自变量的取值范围例3．（2014?上海）函数y= 的自变量的取值x 范围是．例4.（2014四川省内江市）在函数2 x y += 中，自变量x 的取值范围是 . 例5．等腰△ABC 周长为10cm ，底边BC 长为y cm ，腰AB 长为x cm ．（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）求x 的取值范围；（3）求y 的取值范围． 4．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥ 2的是（） A ．y=2x - B ．y= 2 x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x -

2020-2021学年北师大版初二数学上册难点突破14一次函数在实际应用中的最值问题

专题14 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】 1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助． 2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位．【注】函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等． 1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)乙队开挖到30 m时，用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m. (2)请你求出： ①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式； ②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式． (3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k1x(k1≠0)，由图可知，函数图象过点(6,60)，∴6k1＝60，解得k1＝10，∴y＝10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y＝k2x＋b(k2≠0)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入y＝k2x＋b，求出k2＝5，b＝20，∴y＝5x＋20.(3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．解：(1)210 (2)①y＝10x.②y＝5x＋20. (3)由题意，得10x＝5x＋20，解得x＝4(h)．故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等． 2、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题： (1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ (3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x＝1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x＞1 500时，y2＞y1；0＜x＜1 500