第二章 线性算子与线性泛函

第二章 线性算子与线性泛函

第一节 有界线性算子

一、线性算子

本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。 定义： 若一个映射:T X Y →满足

()(,,,)T x y Tx Ty

x y X αβαβαβ+=+∈∈K ，

则称T 为从X 到Y 的线性算子。

容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：(

)i i

i

i

i

i

T x Tx αα=∑∑。

命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：

（1）任给子空间A X ?与子空间B Y ?，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。特别，

(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的

核或零空间）。

（2）若向量组{}i x X ?线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且

dim A <∞，则dim dim TA A <。

（3）T 是单射(){0}N T ?=。

说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。

对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。若,:T S X Y →是线性算子，

,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为

()().

(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈

若:R Y Z →是另一个算子，则由

()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈

定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：

11(),

()();

R T S RT RS R R T RT R T +=+??

+=+?分配律

()();()Q RT QR T =结合律

()()(),()RT R T R T αααα==∈K

只要以上等式的一端有意义。若线性算子:T X Y →为双射，则称它为线性同构，此时其逆映射1

:T Y X -→亦为线性算子。T 是线性同构的充要条件是，存在线性算子:S Y X →，

使得

,(2.1.4)X Y

ST I TS I ==

二、有界线性算子

定义2.1.2 设:T X Y →是一个线性算子。令

sup /(2.1.5)x T Tx x

≠=

若T <∞，则称T 为从X 到Y 的有界线性算子，且称T 为T 的算子范数，简称为范数。若T =∞，则称T 为无界算子。

约定以(,)L X Y 记从X 到Y 的有界线性算子之全体，(,)L X X 简写为()L X 。 注1：:T X Y →的有界的等价刻画： （1）0,k x X ?>?∈，有;Tx k x ≤或 （2）T 映X 中的有界集为Y 中的有界集。 注2：若(,)T L X Y ∈，则对任给的x X ∈有

(2.1.6)Tx T x

≤

注3：范数定义的几种等价形式 （1）1

sup (2.1.7)x T Tx

== （2）1

sup (2.1.8)x T Tx

≤=

（3）inf{0:().(2.1.9)T k Tx k x x X =≥≤?∈

例2.1.3 设[,]()J a b a b =<，给定()C J ?∈。定义

()()()(,()),Tu x x u x x J u C J ?=∈∈

T 是从()C J 到自身的线性算子。求T 。

命题2.1.4 设:T X Y →是一个线性算子，则T 有界T ?连续。 推论：（1）T 是拓扑同构T ?与1

T -皆连续（即T 为同胚）； （2）若(,),{}n T L X Y x X ∈?，

n

x

∑收敛，则有

1

1

1

()(lim )lim ()lim n n n

n k k k n n n n n

k k k n

T x T x T x Tx Tx →∞

→∞

→∞

=======∑∑∑∑∑。

例2.1.5：设[0,]J π=，在1

()C J 与()C J 中均采用sup 范数。显然

1:()(),(2.1.10)d

T C J C J u u dx

'=

→→

是一线性算子。令()sin n u x nx =，则0

1n

u =，而0

n u n '=，可见T 是无界算子。

三、有界线性算子的运算与扩张

命题2.1.6：(,)L X Y 依算子范数是一个赋范空间；当空间Y 完备时，(,)L X Y 是Banach 空间。

定理 2.1.7（扩张定理）：设D 是X 的稠密子空间，(,)T L D Y ∈，Y 完备，则T 可保持范数惟一地扩张到X 上。

若线性算子:T X Y →是单射（即(){0}N T =），则1

:()T R T X -→是一确定的线性

算子，当它有界时称为T 的有界逆，并说T 有有界逆。

命题2.1.8线性算子:T X Y →有有界逆的充要条件是存在0k >，使得

().(2.1.14)Tx k x

x X ≥∈。

第二节 常用有界线性算子

一、矩阵

设,X Y 是有限维赋范空间，dim ,dim ,(,)X n Y m T L X Y ==∈。分别取X 的基{}j e 与Y 的基{}i ε。设

(1),j ij i

i

Te a j n ε=≤≤∑

则T 完全由矩阵[]m n

ij A a ?=∈K

所确定。若,(,)T S L X Y ∈分别对应矩阵

,,,m n A B αβ?∈∈K K ，则算子T S αβ+恰好对应矩阵A B αβ+。这样，线性算子空间

(,)L X Y 线性同构于矩阵空间m n ?K ，因而对(,)L X Y 的研究可代之以对m n ?K 的研究。

任给[]m n

ij A a ?=∈K

，依矩阵乘法自然地定义一个线性算子：

,,

(2.2.1)n m x Ax →→K K

其中x 当作1n ?阶矩阵。不妨用同一字母A 表示算子（2.2.1），它也可表成：

,(),(),(2.2.1),1,2,,.n m j i i ij j j y Ax x x y y y a x i m ?==∈=∈?

'?==??

∑K K

若在n K 中使用范数

1(),1,

(2.2.2)max ,,p p j

j p

j j

x p x

x p ?≤<∞?=?

?=∞?∑

则n K 可看作p

l 的子空间，只需将()n j x x =∈K 等同于p

l 中的元

1(,

,,0,0,)T n x x 。

通常称范数（2.2.2）为p 范数，采用p 范数的n

K 也记作p n l 。相应地，算子:p p n m A l l →（定

义见（2.2.1））的范数记作p A ，即

1

sup .

(2.2.3)p p p x A Ax ≤=

p A 也称为A 的p 范数。

命题2.2.1 设[]m n

ij A a ?=∈K

，则

1max ;

(2.2.4)ij j

i

A a =∑。

1

max ;

(2.2.5)T ij i

j

A a A ∞==∑

2}j j

A λ=是T A A 的特征值的全体。

(2.2.6)

以[](,1,2,)ij A a i j ==记一个无穷矩阵，其中ij a ∈K 。仿照(2.2.1)'，形式地定义一

个算子x Ax →：

,(),(),(2.2.7),1,2,,.j i i ij j j y Ax x x y y y a x i ===??

?==??

∑

仍将式（2.2.7）所定义的算子记作A 。

命题2.2.2 设算子A 定义如式（2.2.7），p A 依式（2.2.3）（但假定其中p

x l ∈）。 （1）若sup ij j

i

a β<∞∑，则1()A L l ∈且1A β=。

（2）若sup ij i

j

a β<∞∑，则()A L l ∞∈且A β∞=。

（3）若1

22

,()ij i j

a β

<∞∑，则2()A L l ∈且2A β≤。

二、积分算子

设[,]()J a b a b =<，函数(,)K x y 为定义在J J ?上的Lebesgue 可测函数。定义积分算子

()(,)()().(2.2.8)b

a

Tu x K x y u y dy

x J =∈?

要求上述积分对几乎所有x J ∈存在，函数(,)K x y 称为积分算子T 的核或核函数。 命题2.2.3 设(,)K x y 是J J ?上的Lebesgue 可测函数，算子T 依式（2.2.8）定义，约定sup ()x

ess x ??

∞

=（L ∞范数又称为本性上确界）。 1、若sup (,),b

a

y J

ess K x y dx β∈<∞?则1(())T L L J ∈且T β=。

2、若sup (,),b

a

x J

ess K x y dy β∈<∞?则(())T L L J ∞∈且T β=。

3、若1

22

((,)),b

b

a

a

K x y dxdy β

<∞?

?

则2(())T L L J ∈且T β≤。

例子 考虑积分算子：

()().

()(2.2.9)x

a

Tu x u y dy x J =∈?

取

1,

,(,)0,

,

y x K x y y x ≤?=?

>?

可将（2.2.9）写成（2.2.8）的标准形式。由命题2.2.3得：

1sup ;b

y

y J

T ess dx b a ∈==-?

sup ;x

a

x J

T

ess dy b a ∞

∈==-?

1

2

2

()b

x

a

a

T

dx dy ≤=

??。 命题2.2.4 设(,)K x y 在J J ?上连续，积分算子T 定义如式（2.2.8），则(())T L C J ∈，且

sup (,).

(2.2.10)b

a

x J

T K x y dy ∈=?

下面考虑几个具有特殊形式核的积分算子。 （一）给定函数?，以(,)()K x y x y ?=-为核。 此时，积分算子为

()()()()

(2.2.11)n n R

T u x x y u y dy

x R ??=-∈?

通常将式（2.2.11）右端的积分记作u ?*，并称它为函数?与u 的卷积。算子T ?显然是在其有定义的集合上的线性算子，其定义域与性质则取决于?的选择。

命题2.2.5 设1/(1)p q q ≤=-≤∞。 （1）若1

()n L ?∈R ，则(())p n T L L ?∈R ，且1T ??≤

。

（2）若()p

n

L ?∈R ，则((),())q n n b T L L C ?∈R R ，且p T ??≤

，此处

()()

()n n n b C C B =R R R ，采用sup 范数。

（3）若2

()n

L ?∈R ，则2((),())n n b T L L C ?∈R R ，且2T ??≤。

定理的证明需要如下引理：

引理 2.2.6 设()(1)p n L p ?∈≤<∞R ，()()x y x y ??=+，则当,0n

x x ∈→R 时有

0x p

??

-→。

（二）以(,)ix y

K x y e

-=为核。

此时1?()()()(,())

(2.2.12)n

n

ix y

Fu x u

x e u y dy x u L -==∈∈?

R

R R

()Fu x 就是1()()u x L ∈R 的Fourier 变换。

命题 10((),())n n F L L C ∈R R ，且1F =。这里0(){():lim ()0}

n n

x C u C u x →∞

=∈=R R 依sup 范数为一Banach 空间。

三、微分算子

定义1.3.7 设,A B X ?

（1）若B A ?，则称A 在B 中稠密；若A B A ??，则称A 为B 的稠子集；X 的稠子集就称为稠集。

（2）若B 含可数的稠子集，就称B 为可分集；若X 本身可分，则称X 为可分空间。 （3）若spanA X =，即spanA 为稠集，则称A 为X 的基本集。 （4）若{}i e X ?是一序列，每个x X ∈可惟一地表为

i i i

x e α=∑，则称{}i e 为X 的Schauder 基。

注：（1）若A 是X 中的稠集，则每个x X ∈可表为A 中某序列的极限； （2）若A 是X 的基本集，则每个x X ∈可用A 中元的线性组合逼近；

（3）稠集与Schauder 基都是基本集；

（4）X 可分X ?有可数的基本集，因而有Schauder 基的空间必定可分。

例1.3.8 （1）空间p

l 的基本集。令(0,,0,1,0,)T i e =，1在第i 项，则{:}

i e i N ∈是空间(1)p

l p ≤<∞的Schauder 基，因而是p l 的基本集且p

l 是可分的。

（2）空间()C J 的基本集，[,]()J a b a b =<。由Weierstrass 定理，每个()u C J ∈可用J 上的多项式一致逼近，故J 上的多项式全体P 是()C J 中的稠集。其次，以A 记幂函数

()n x n Z +∈的全体，则显然P spanA =，故A 是()C J 的基本集，因而()C J 是可分的。

（3）空间()p

L J (1)p ≤<∞的基本集。注意到（ⅰ）每个()p

u L J ∈可用连续函数p

L 逼近；（ⅱ）一致逼近强于p L 逼近。因此空间()C J 的基本集{:}n A x n Z +=∈也是()p

L J 的

基本集，因而()p

L J 是可分的。

此外，每个()u C J ∈可用阶梯函数一致逼近，而阶梯函数为形如δχ(δ是J 的子区间)的函数的线性组合，故

{:δχδ是J 的子区间}

亦为()p

L J 的基本集。进而[,]{:}a x x J χ∈是()p

L J 的基本集。

（4）空间(R)p

L (1)p ≤<∞的基本集。对任何(R)p u L ∈，令[,]n n n u u χ-=，则 ()0()p

p n p

x n

u u

u x dx n >-=

→→∞?

，

即p

L

n u u ??→。而对每个,n n N u ∈视作[,]p

L n n -的元可用[,]n n -上的阶梯函数p L 逼近。

结合（3），(R

)p

L 有基本集{:δχR δ?是有限区间}。

（5）空间()p

L Ω(1,R n

p ≤<∞Ω?为任意开集)的基本集。任给实或复值函数u ，约定sup p {:()0}u x u x =≠，称它为u 的支集。令

(){():sup p m m c C u C u Ω=∈Ω是Ω的有界子集}(0)m ≤<∞，

可以证明：()m c C Ω在()p L Ω中稠密，因而是()p

L Ω的基本集。

例1.3.9 （1）设1

(),[,]u L J J a b ∈=，则有lim ()sin 0b

a

n u x nxdx →∞=?

。

（2）设1

(R)u L ∈，()u x 的Fourier 变换定义为

()()i x u u x e dx ωω∞

--∞

=?，

则有()lim ()0u u ωω→±∞

±∞==。

第三节 对偶空间和对偶算子

一、有界线性泛函

定义 给定K 上的赋范空间X ，约定*

(,)X L X =K ，称其为X 的对偶空间（由前面的结果，*X 为Banach 空间）。称每个*u X ∈为X 上的有界线性泛函。

注：（1）因有界线性泛函是有界线性算子的特殊情况，故关于一般有界线性算子的概念与结论，均适应于有界线性泛函。 （2）对*

u X ∈，有

11

()

sup

sup ()sup ()min{0:()()}(2.3.1)x x x u x u u x u x k u x k x x X x ≠=≤====≥≤?∈。

（3）()(2.3.2)u x u x ≤

（4）对X 上的线性泛函u ，u 有界u ?连续。

定义 对*

0f X ≠∈与c ∈K ，称

1(){:()}f c x X f x c -=∈=

为X 中由f 决定的超平面，也记为{}f c =。

注：过原点的超平面1

(0)()f

N f -=是X 的闭子空间。

命题2.3.1 设A X ?是一子空间。则以下两条件等价：

（1）有*

0f X ≠∈，使得()A N f =；除一个常数因子的差别外，f 由A 惟一决定。 （2）存在拓扑直和分解0X A x =⊕K ，此处0000,{:}x x x λλ≠=∈K K 是X 中的由

0x 生成的1维子空间。

推论 若*

00,()0f X f x ≠∈≠，则0()X N f x =⊕K 。

二、表示定理

表示问题的一般思路是：对于给定的赋范空间X ，确定一个Banach 空间Y ，它通常是已被充分研究因而相当熟悉的空间，使得存在等距同构

*:,.

(2.3.4)y T Y X y ?→→

因而由式（2.3.4）得出结论：*

u X ∈有通式

()()

()y u x x x X ?=∈，

其中y Y ∈由u 惟一决定，且y u =。若将y u ?=与y 视为等同，则不妨认定*X Y =。这样，通过同构对应式（2.3.4），本来很抽象的空间*X 就获得了一种具体的表示，Y 就是

*X 的一个表示，或称为一个实现。

定理2.3.2 设1/(1)p q q ≤=-<∞，则*

()p q

l l ?；*

()p u l ∈有通式

()(()),

(2.3.6)p i i

i i

u x x y x x l ==∈∑

其中()q

i y y l =∈由u 惟一决定，且q

y

u =。

定理2.3.3 设[,]()J a b a b =<，则0()*()C J BV J ?，其中

0(){,BV J v v =在[,]a b 上有界变差、右连续且()0}v a =；

是Y 中的紧集（即F 保持D 的紧性），因而有界；F 在D 上一致连续，即0,0,εδ?>?>当,,x y D x y δ∈-<时，有Fx Fy ε-<； （2）f 在D 上取得最大值和最小值。

注：若x D ∈使得()min ()x D

f x f x ∈=，则称x 是最小化问题

min (),(1.4.1)f x x D ∈

的最优点或最优解。定理1.4.4之（2）表明：若D 为紧集且(,R)f C D ∈，则问题（1.4.1）的最优解存在。

推论 1.4.5（最佳逼近） 设A 是X 的有限维子空间，x X ∈。则存在a A ∈，使得

(,)x a d x A -=。即a 是A 中离x 最近的点，因而称为x 在A 中的最佳逼近。

特别：取A 为次数小于等于n 的多项式全体，()X C J =（或(),1)p

X L J p =≤<∞，即得对任给的u X ∈，存在次数小于等于n 的多项式v ，它是对u 的最佳一致（或p

L ）逼近。

三、紧集的判定

定理1.4.6（Arzela-Ascoli 定理） ()A C J ?相对紧的充要条件是： （1）A 一致有界，即A 依sup 范数有界；

（2）A 等度连续，即0,0,

εδ?>?>,,x y J u A ?∈?∈，当x y δ-<时恒有()()u x u y ε-<。

（3）若将J 换为任何有界闭区域R n

Ω?，（1）、（2）仍成立。

例 若1

()A C J ?依范数1?（定义见式（1.2.6））有界，则A 作为()C J 的子集是相对紧的。

定理1.4.7 设1,p

p A l ≤<∞?，则A 相对紧的充要条件是： （1）A 有界，即sup p

x A

x

∈<∞；

（2）关于()i x x A =∈一致地有

0()p

i i n

x n >→→∞∑

，即0ε?>，

0,N ?>,n N x A ?≥?∈，有p

i

i n

x ε><∑。

例 {():1/()}i i A x x x i i N ==≤?∈是空间2

l 中的集（称为Hilbert 方体）。 定理1.4.8 若dim X =∞，则X 中的闭单位球不是紧集。 本定理的证明需用到著名的Riesz 引理。

引理1.4.9（Riesz 引理） 设A 是X 的闭子空间，,01A X r ≠<<。则存在x X ∈，使得(,)d x A r >且1x =。

推论：（1）无限维赋范空间中的单位球面{:1}S x x =不是紧集。

（2）平移与相似变换不改变集合的紧性。 （3）无限维赋范空间中的闭球是非紧的。进而有

（4）无限维赋范空间中任何含内点的集是非紧的，因而紧集必无内点。

例 设[0,1]X C =，

1

()()()f u u x dx

u X =∈?。

显然(,R)f C X ∈，且在0{:1}S u X u ∈=上()0f u >，但f 在S 上取不到最小值。

四、纲定理

定义1.4.10 设A X ?。若()o

A =?，则称A 为疏集。可数个疏集之并称为第一纲

集；非第一纲集称为第二纲集；第一纲集的补集称为剩余集。

例 （1）无内点的闭集是疏集； （2）单点集是疏集； （3）可数集是第一纲集。

定理1.4.11（Baire 纲定理） 设X 完备，A X ?是第一纲集，则c

A 是第二纲集且为稠集。

推论（1）设X 为一线性赋范空间，A X ?为疏集当且仅当

001100(,),(,)(,)B x r B x r B x r ???，使得11(,)A B x r =?。

（2）Banach 空间X 是第二纲集。

例1.4.12 [,]J a b =上几乎所有连续函数处处不可微。

第五节 Hilbert 空间

一、内积空间

定义 1.5.1 设H 是K 上的向量空间。若对任一对元,x y H ∈，指定了一个数

,K x y <>∈，称为x 与y 的内积，它满足以下内积公理：

（1）,y <>的线性性：,,,x z y x y z y αβαβ<+>=<>+<>； （2）共轭对称性：,,x y y x <>=<>；

（3）正定性：,0;,00x x x x x <>≥<>=?=，

（这里,,,,K x y z H αβ∈∈），则称H 为K 上的内积空间。当K R =（或C ）时，K 上的内积空间又称为实（或复）内积空间。

例 K n

依下式

,,

((),()K )n i i i i i

x y x y x x y y <>===∈∑

所定义的内积构成一内积空间。

推论 （1）,,,(,,,,K)x y z x y x z x y z H αβαβαβ<+>=<>+<>∈∈；

更一般地，有 （2）,,,i i j

j i j i j i

j

i j

x y x y αβ

αβ<

>=<>∑∑∑；

引理1.5.2（Schwarz 不等式） 对任给的,x y H ∈，成立

,x y x y <>≤。

推论 对任给的,x y H ∈，有x y x y +≤+。故x =H 上的范数

（称其为由内积定义的范数）。

定义 完备的内积空间称为Hilbert 空间。

推论 内积依范数收敛是连续的，即若在H 中,n n x x y y →→，则

,,(,)m n x y x y m n <>→<>→∞。

例 2()L Ω是Hilbert 空间。这里(,)μΩ是任一测度空间，2

()L Ω中的内积定义为

2,()()(,())u v u x v x d u v L μ

Ω

<>=∈Ω?。

例 2l 是Hilbert 空间。2

l 中的内积定义为

2,,

((),())i i i i i

x y x y x x y y l <>===∈∑。

定理1.5.3 K 上的赋范空间X 是内积空间的充要条件是，其中的范数满足如下的中线公式（又称为极化恒等式）：

2222

2()x y x y x y ++-=+。

二、正交系

定义1.5.4 （1）设,x y H ∈。若,0x y <>=，则说x 与y 正交或直交，记为x y ⊥。 （2）设{:}i x i I H ∈?。若当i j ≠时i j x x ⊥，则称{}i x 为正交系。若{}i x 是正交系且1i x ≡（这等价于,i j ij x x δ<>=，ij δ是Konecker 记号），则称{}i x 为标准正交系。 （3）设,AB H

?。约定,A B a A b B ⊥??∈?∈，有a b ⊥；x A a A ⊥??∈，

有x a ⊥；{:}A x H x A ⊥=∈⊥，称A ⊥为A 的正交补。当A B ⊥时，称A 与B 相互正交。

性质：若{:1}i x i n ≤≤是一有限正交系，则有

2

2

i

i

i

i

x x =∑∑。一般地，若

K(1)i i n α∈≤≤，类似地有

2

2

2

i i

i

i i

i

x x αα=∑∑。

性质：不含零元的正交系必线性无关。

性质：设{:N}i e i ∈是H 中的标准正交系。若x H ∈可表为i i

i

x e

α=

∑，则有

,i i x e α=<>，即表达式i i i

x e α=∑中的系数惟一确定。

定义：若每个x H ∈均可表为i i

i

x e α=

∑，则称{}i

e 为H 的标准正交基。

定理1.5.5 设{:N}i e i ∈是Hilbert 空间H 中的标准正交系，则以下条件相互等价： （1）{}i e 是H 的标准正交基； （2）{}i e 是H 的基本集；

（3）{}i e 是极大正交系，即若()i x e i N ⊥?∈，则0x =； （4）对任给的x H ∈，成立如下的Parseval 等式：

22

,i i

x x e =<>∑；

（5）对任给的,x y H ∈，成立如下内积公式：

,,,i i i

x y x e y e <>=<><>∑。

推论：任何Hilbert 空间H 均与2

l 等距同构。

推论（标准正交基的存在问题）：设H 是一个可分的无限维Hilbert 空间，则其一定存在标准正交基。

三、标准正交基的例子 1、三角函数系 定义：形如

1

(cos sin )n

k k k C a kx b kx =++∑

的函数称为三角多项式。

定理：令[,]J a b =，则三角多项式全体在2

()L J 中稠密。 定理：设

01

(cos sin )n

k k k T a a kx b kx ==++∑

则T 的Foueier 系数是0,,(1,2,,)n n a a b n N =，而其余的Foueier 系数为零。并且对T 成

立Parseval 等式。

推论：函数系

1,2,n

=

是2

()L J 的基本集，并且也是标准正交基，因而每个2

()u L J ∈可展开为均方收敛的Fourier

级数：

01

()(cos sin )2k k k a u x a kx b kx ∞

==++∑

其中,n n a b 是通常的Foueier 系数。

问题：()u x 的Fourier 级数的部分和均方收敛于()u x 是否意味着级数几乎处处收敛，

即：01

lim[(cos sin )]2n

k k n k a a kx b kx →∞=++∑是否几乎处处等于()u x ？

（1）、早在1913年，鲁津就猜测上式成立，这个猜测一直是三角级数理论的一个重要课题。

（2）、1923年柯尔莫哥洛夫（Колмогоров）给出了一个1

[0,2]f L π∈，它的Fourier 级数是处处发散的。

（3）、1966年，L.Carleson 证明鲁津的猜测是正确的。

（4）、1967年，R.A.Hunt 证明；对于[0,2](1)p

L p π>中的函数，其Fourier 级数是几乎处处收敛的。

2、Legendre 多项式系

取[1,1]J =-，我们已经得到：2{1,,,

}x x 是2()L J 中的基本集，将其标准正交化，

得到一个多项式系{:0}n L n ≥，称为Legendre 多项式系。

定理：（1）Legendre 多项式的一般表达式为

2()1)

(0)n

n L x x n =-≥

（2）{:0}n L n ≥是2

()L J 的标准正交基。

3、Hermite 多项式系

2

2

()(1)(0)n n

x x n n

d H x

e e n dx

-=-≥

称为Hermite 多项式。

定理：若将2

()L R 中的内积定义为

2

,()()x u v u x v x e dx ∞

--∞

<>=?，

则多项式系

1/2(2(),0,1,2,

n n n H x n -

=

为其标准正交基。

4、Laguerre 多项式系

()()(0)!x n n x

n n

e d P x x e n n dx

-=≥

称为Laguerre 多项式。

定理：若将2

(0,)L +∞中的内积定义为

,()()x u v u x v x e dx ∞

--∞

<>=?，

则多项式系{()}n P x 为其标准正交基。

5、Haar 函数系 以nk ?记区间1(

,)22

n

n k k

-的特征函数，令

1,21,2)

(1,2,

,2,1,2,)n nk n k n k h k n ??--=-==。

定理：若补充001h ≡，则{}nk h 是空间2

[0,1]L 中的标准正交基。

四、最佳逼近

最佳逼近问题可描述为：对于给定的集A H ?与点x H ∈，求一点a A ∈，使得

(,)x a d x A -=；即a 是最小化问题

min ,x a a A -∈

的最优解。

定理1.5.6 设A 是H 的完备子空间，x H ∈。

（1）存在惟一性：x 在A 中有惟一最佳逼近a ，且x a A ⊥

-∈。 （2）用A 的基求最佳逼近：若12{,,

,}n a a a 是A 的基，a 是x 在A 中的最佳逼近，则

i i a a β=∑，

1121(,,,)(,,,,)T T n n G x a x a ββββ-==<><>，

其中[,]j i n n G a a ?=<>称为向量组{}i a 的Gram 矩阵。 （3）用A 的标准正交基求最佳逼近：若12{,,,}n e e e 是A 的标准正交基，a 是x 在A 中的

最佳逼近，则

,i i i

a x e e =<>∑。

定理1.5.10（正交分解定理） 设A 是Hilbert 空间H 的闭子空间，则有拓扑直和分解H A A ⊥

=⊕。设A P 是由这一分解决定的投影，则()A P x x H ∈是x 在A 中的最佳逼近。

注：（1）分解H A A ⊥

=⊕称为正交分解，A P 称为从H 到A 的正投影，它由A 惟一决

定。

（2）若A 是H 的闭子空间，则A 与A ⊥

互为正交补，即A A

⊥⊥

=。

例 1.5.11（最小范数问题） 给定线性无关向量组12{,,,}n a a a H ?与

12(,,

,)K T n n αααα=∈，求解约束最小化问题：

min ,..,(1)i i x s t x a i n α<>=≤≤。