2--Buck直流变换器的工作原理及动态建模

2--Buck直流变换器的工作原理及动态建模

2 Buck直流变换器的工作原理及动态建模

2.1 DC/DC变换器的概念7【】15【】19【】

将一个固定的直流电压变换成可变的直流

电压称之为DC/DC变换，亦称为直流斩波。用斩波器斩切直流的基本思想是：如果改变开关的

动作频率，或者改变直流电流通和断的时间比例，就可以改变加到负载上的电压、电流的平均值。Buck变换器又称降压变换器、串连开关稳压电源、三端开关型降压稳压器。

基本的DC/DC变换器按输入输出之间是否有电气隔离可分为两类：隔离型DC/DC变换器和非隔离型DC/DC变换器。非隔离型DC/DC 变换器中存在四种基本的变换器拓扑，它们是降压式（Buck）型,升压式(Boost)型,升降压式(Buck-boost)型,Cuk型，此外还有Sepic型和Zeta型变换器。

2.2 二电平Buck直流变换器的工作原理及主电路图2【】13【】25【】26【】

1 主电路拓扑

Buck变换器是一种输出电压等于或小于输入电压的单管非隔离直流变换器。它的拓扑为电压源、串联开关和电流负载组合而成。如图2.1所示：

图2.1 Buck电路主电路拓扑

为了分析稳态特性，简化推导公式的过程，特作

如下假定。

(1) 开关晶体管、二极管均是理想元件。也就是可以瞬间的导通和截至，而且导通时降压为零，截至时漏电流为零。

(2) 电感、电容是理想元件。电感工作在线性区而未饱和，寄生电阻为零，电容的等效串联电阻为零。

(3) 输出电压中的纹波电压与输出电压的比值小到允许忽略。

Buck 变换器的工作原理：当开关管S 导通时，电容开始充电，i

U 通过向负载传递能量，此时，L

i 增加，电感内的电流逐渐增加，储存的磁场能量也逐渐增加，而续流二极管因反向偏置而截至；当S 关断时，由于电感电流L

i 不能突变，故L

i 通过二极管VD 续流，电感电流逐渐减小，由于二极管VD 的单向导电性，L

i 不可能为负，即总有L

0i ,从而可在负载上获得单极性的输出电压。

根据晶体管的开关特性，在管子的基极加入开关信号，就能控制它的导通和截至，对于NPN 晶体管，当基极加入正向信号时，将产生积极电流b

i ，基极正向电压电压升高，b

i 也随之升高，b

i 达到一定数值后，集电极电流c

i 达到最大值，其后继续增加b

i ，b

i 基本上保持不变，这种现象称为饱和。在饱和状态下，晶体管的集射极电压很小，可以忽略不计。因此晶体管的饱和状态相当于开关的接通状态。当基极加入反向偏压时，晶体管截至，集电极电流c

i 接近于零，而晶体管的集射极电压接近于电源电压。晶体管的这种状态相当于开关的断开状态，通常称为截至状态，或称为关断状态。

2.3 Buck 变换器的工作模式

5【】8【】27【】29【】

由Buck 变换器的工作原理可以看出，电感可以工作在电流连续的方式下，也可能工作在电流

不连续的工作状态。以此为标准将Buck 变换器的工作模式分为两种：电感电流连续工作模式(continuous current mode, CCM)和电感电流断续模式(discontinuous current mode, DCM)。 电感电流连续是指输出滤波电感的电流总大于零，电感电流断续是指在快关管段期间有一段时间输出滤波的电流为零。在这种工作方式之间有一个工作边界，称为电感电流临界连续状态，即在开关管关断末期，滤波电感的电流刚好降为零。下面分别讨论电感电流处于不同模式时的变换器工作原理。

(1) 电感电流连续模式

如图2.2所示为电流连续导电模式下的相关波形：

图2.2 电流连续模式下电路波形

在[]1

0t 区间，开关管S 处于导通状态，电源电压通过S 到二极管VD 两端，故二极管VD 截至。电流流过电感，由于输出滤波电容保持不变，则电感两端呈现正电压L

i

U U U =-，由于i

U U >所以，在该电压作用下输出滤波电感中电流L

i 线性增长，知道1

t 时刻，L

i 达到最大值L1

I 。在S 导通期间，电感电流的增量及开关管的占空比D 分别为

2

1

000L()s 1s ()(1)t t U U U

i dt T t D T L L L

-?=-

=-=-?

其中1s

t

D T

= （ 0D 1<<） （2-1）

在[]1

s

t t 区间，S 关断，由于电感的储能作用，L

i 经二极管VD 继续流通，此时加在输出滤波电感上的电压L

U U =-，呈现负值，电感中电流L

i 线性衰减，直到s

T 时刻，L

i 达到最小值L2

I 。在S 截至期间，电感电流的减小量为

s

1

000L()s 1s ()(1)T t U U U

i dt T t D T L L L

-?=--

=-=-? （2-2）

由于稳态工作下的电感电流L

i 波形必然周期性重复，因此S 导通期间L

i 的增量必然等于S 截至期间的减小量，即L(+)

L(-)

i i ?=?，所以

i 00s s

(1)U U U

DT D T L L

-=-

（2-3）

整理得

0i

U D U =

（2-4）

由式（2-4）可知，输出电压与开关管的占空比D 成正比，所以通过改变开关管的占空比可以控制输出平均电压的大小。由于占空比总是小于1，所以输出电压总是小于输入电压，故常称为降压式变换器。改变占空比就可以改变输出电压值。 （2）电感电流断续模式

当电感较小，负载电阻较大或s

T 较大时，将

出现电感电流已下降到0，但新的周期却尚未开始的情况。如图2.3为电流断续模式下Buck 电路的相关波形

图2.3 电流断续模式下电路波形

在[]1

0t 区间，开关管S 处于导通状态，与电感电流连续模式下的工作情况相同，此时()L L1

i I +

?=。在1

T 时刻，S 关断，电感中电流L

i 线性衰减，直到dis

t 时刻下降到0，即

dis

1

000L()dis 1s ()-?=--

=-=??t t U U U

i dt t t DT L L L

（2-5） 式中，dis

1s

()

,(1)t

t D D D T -?=?<-且。由于L()

L()

=i

i +-??得

0(1)i U D

D D U D D

=?<-+? ，其中 （2-6） 此时，变换器输出电流0

I 任等于电感电流平均值，即

2i

0L1dis i

S S 0

11(1)22U D I I t U T Lf U =?=-

（2-7）

上式表明。电感电流断续时0

i

U U 不仅与占空比D 有关，而且与负载电流0

I 有关。若0

0I =，则D 多大，输出电压0

U 必等于输入电压i

U 。 （3）电感电流临界连续模式

在有关电流断续工作模式的数学关系中，首先需要推导的是电感电流连续与断续的临界条件，其推导过程如下。

降压型电路电感电流处于连续与断续的临

界状态时，在每个开关周期开始和结束的时刻，电感电流正好为零，如图2-4所示。

图2.4 降压型电路电流临界连续工作时的波形

稳态条件下，由于电容C 的开关周期平均电流为零，因此电感电流L

i 在一个开关周期内的平均值等于负载电流为

o o U I R

=

（2-8）

而电感电流L

i 的开关周期平均值可以按下式计算：

S

L L 0

()T I i t dt

=? （2-9） 0

L

I I ≥，即得到电感电流连续的临界条件。 这种计算方法需要导出()L

I t 的表达式，还要计算定积分，比较繁琐。我们采用一种简单的方法。

根据图2-4，电感电流在一个开关周期中的波形正好是一个三角形，它的高L I ?，底边长为s

T ，面积为

I L S 1

2

S I T =

?

(2-10)

在几何意义上，电感电流的开关周期平均值等于和该三角形同底的矩形的高，因此电感电流开关周期平均值等于三角形面积除以s

T ，即

L L 12

I I =

?

(2-11)

L

I ?的计算方法如下：电感电流在零时刻从零开始线性上升，在s

DT 时刻达到L

I ?，上升的斜率为

L

i o di L

U U dt

=- (2-12)

有

： i o

L S

U U I DT L

-?=

(2-13)

此时电感电流仍为连续，故有

o

i

U D U =

将其代入式（2-13），有

L o S 1D

I U T L

-?=

(2-14) 则可得电感电流开关平均值的表达式为

L o S 12D

I U T L

-=

(2-15) 电感电流连续的临界条件为

0L

I I ≥

将式（2-8）和式（2-9）带入上式有

00s 12U D U T R L

-≥

(2-16) 整理得

S 12

L D

RT -≥

(2-17)

这就是用于判断降压型电路电感电流连续与否的临界条件。

随后需要推导的是电感电流断续条件下输出与出入电压的比例。

首先设开关S 关断后电感的续流时间为s

aT ，如图

3-7所示，其中()01a D ≤≤-。

图2.5 电感电流断续工作时的波形

根据稳态条件下电感电压开关平均值为零的原理，有

i

o

S

o

S

()U U DT U T α-=

(2-18)

电感电流开关周期平均值为

L L

1

()2

I I D α=?+ (2-19)

而负载电流为

o

o U I R

=

(2-20)

稳态条件下，电容C 的开关周期平均电流为零，故电感电流开关周期平均值等于 负载电流，即

o L 1

()2U I D R

α?+= (2-21) 从式（2-18）中，解出α的表达式，与式（2-15）

一起代入式（2-21）中得

i o o

i S o ()

12U U U U DT D L U R

-= (2-22)

整理得

2i i 2o o S 2(

)0U U L

U U D T R

--= (2-23)

令2S

2L

K D T R

=解方程，并略去负根，得

o i 141

2U K U K

+=

(2-24)

值得注意的是，式（2-24）在电路工作在电感电流断续条件下成立，而电路工作在电感电流连续条件下不成立。特别是，当电感电流处于临界连续状态时，S

()2L/RT =1-D /，代入式（2-17）得时0

i

U U D =。

从式（2-17）可以看出，电流断续时电压比与占空比D 和负载R 相关，也与电路参数L 和s

T 有关。

2.4 主回路电感、电容参数整定3【】22【】33【】

根据对二电平Buck 型直流变换器工作原理的分析以及电感电流连续和断续的临界条件的推导，可以计算出二电平Buck 型直流变换器滤波电感和滤波电容的参数。

稳态时，电感电流连续的临界条件为：

o L

I I ≥

(2-25)

利用上节内容提到的三角形面积法我们得到电感电流的临界条件为：

S

12

L D RT -≥ 整理得

s 12

D

L RT -≥

（2-26）

在本次的设计中，给定工作电压i

U 为40V ，输

出电压0

U 为20V ，负载电阻R 为50Ω，开关周期s

f 为

40kHz

，带入式2-26中得到电感电流临界值：

s 3

111

500.00031H 244010D L RT -≥

=??=? （2-27）

即当主电路电感大于0.31mH 时, 电路工作在电感电流连续工作模式，当主电路电感小于0.31mH 时,则为电感电流断续工作模式。

本次实验所选用的电感分别为1mH 和0.078mH ，当使用1mH 的电感时，电路为电感电流连续工作模式，当选用0.078mH 时，为电感电流断续工作模式。

滤波电容的作用主要是在开关关断时为负载供电和减小输出电压中的纹波。当所选的电容能达到输出滤波的要求时，L 可以选的足够大，以便使开关变换器保持在连续的工作状态，但电容本身没有完美的电气性能，所以其内部的等效串联电阻将消耗一些功率。另外，等效串联电阻上的压降会产生输出纹波电压，要减小这些纹波电压，只能靠减小等效串联电阻的值和动态电流的值，选择电容的类型，经常由纹波电流的大小来决定。

我们设纹波电压为输出电压的0.5%，即： o 200.5%0.1V

U ?=?= （2-28）

开关周期为：

5s 4s 11 2.510410

T s f -=

==??

（2-29） 纹波电压

21S

L L o c S 111()2228t t T I I U i dt T C C C

???=

=??=? （2-30）

将式（2-17）带入（2-30）得： 2

o

o S

(1)

8D U U T LC

-?= （2-31） 即：

2

o S o

(1)

8D C U T L U -=

?

（2-32）

取电感量为临界连续电感值的 1.2倍，带入式（2-32）解得滤波电容C 值为：

2

3410.5120()

81100.1410C --=

??????

53.0259F -=

30.25μF

=

（2-33）

计算得到电感的最小取值为30.25μF ，本次设计选取了440μF 的电容，通过实验验证其满足性能指标要求，能较好的抑制了输出电压纹波。

2.5 Buck 变换器的动态建模5【】10【】41【】31【】

2.5.1 状态平均的概念

由于DC/DC 变换器中包含功率开关器件或二极管等非线性元件，因此是一个非线性系统。但是当DC/DC 变换器运行在某一稳态工作点附近，电路状态变量的小信号扰动量之间的关系呈现线性的特征。因此，尽管DC/DC 变换器为非线性电路，但在研究它在某一点稳态工作点附近的动态特性时，仍可以把它当成线性系统来近似，这就要用到状态空间平均的概念。

图2-6所示为DC/DC 变换器的反馈控制系统，由Buck DC/DC 变换器PWM 调制器、功率器件驱动器补偿网络等单元构成。设DC/DC 变换器的占空比为()d t ,在某一稳态工作点的占空比为D ；

又设占空比()d t 在D 附近有一个小的扰动，即 m

m

()sin d t D D t ω=+

(2-34)

式中，D 和m

D 均为常数，且m

||D D ≤;调制频率m

ω远低于变换器的开关频率m

s

2f ω=π。占空比扰动使占空比()d t 在恒定值D 上叠加了一个小幅度低频正弦波信号所调制。

（a）

(b)

图2.6 DC/DC变换器反馈控制系统

占空比为d(t)经低频调制后，Buck 直流变换器的输出电压也被低频调制，即输出低频调制频率电压分量的幅度与m

D 成正比，频率与占空比扰动信号调制频率m

ω相同，这就是线性电路的特征。实际上，Buck 直流变换器的输出电压中除直流和低频调制频率电压分量外，包含开关频率带、开关频率谐波带及其边频带。当开关频率及其谐波分量幅度较小时，开关频率谐波与其边带可以忽略，这时小信号的扰动量的关系近似为线性关系，于是就可以用传递函数来描述DC/DC 变换器的特性。

为化简模型，需要忽略开关频率及其边带、开关频带谐波与其边带，于是引入开关周期平均算子的定义

Ts 1()()t Ts

t x t x d Ts

ττ+<>=

?

(2-35)

式中，()x t 是DC/DC 变换器中某电量；s

T 为开关周期，s

s

1T f =。对电压、电流等电量进行开关周期平均运算，将保留原信号的低频部分，而滤除开关频率分量、开关频率谐波分量及其边频分量。下面将开关周期平均运算应用于电感元件或电容元件。

描述电感元件的特征方程式为

L ()

()di t L

u t dt

=

(2-36）

上式两边同除以L 并在一个开关周期中积分，得：

L 1()t Ts t Ts

t

t di u d L

ττ++=

?

?

（2-37） 上式左边表示在一个开关周期中电感电流的变化，右边与电感电压的开关周期平均值成正比；上式右边应用开关周期平均算子符号，得：

s s L 1

()()()s T i t T i t T u t L

+-=

<> （2-38）

上式表明，一个开关周期中电感电流的变化量与一个开关周期电感电压平均值成正比。经整理得：

s L s

()()

()s

T i t T i t L

u t T +-=<>

（2-39）

另外由

s

()1()s

t Ts

T t

d i t d i t dt

dt T +<>??=????

?

t+Ts t 0s 1()()d i t dt i t dt T dt ??=

+???

???

s

()()

i t Ts i t T +-=

（2-40） 上式称为欧拉公式

将（2-38）代入（2-19），得：

L ()()s

s

T T d i t L

u t dt

<>=<>

（2-41）

由上式可知，电感的电流和电感两端的电压经过开关周期平均算子作用后仍然满足法拉第电磁感应定律，即电感元件特性方程中的电压、电流分别用它们各自的开关周期平均值代替后，方程仍然成立。

当电路达到稳定时，根据电感电压的伏秒平衡原理：电感电压的平均值等于零，于是

()L Ts

u t <>=0，由式（2-41）得()()s

s

c T c T

d u t C

i t dt

<>=<>。

表明电感电流的开关周期平均值T s 等于常数，但并不表明电感电流的瞬时值在一个开关周期中保持恒定。实际上在DC/DC 变换器中，一个开关周期中电感电流的瞬时值波形一般近似为三角波。

类似地也可推的经开关周期平均算子作用后描述电容的方程为

c c ()()s

s

T T d u t C

i t dt

<>=<>

（2-42）

上式表明电容元件特性方程中的电压、电流分别用他们各自的开关周期平均值代替后，方程仍然成立。

当电路达到稳态时，根据电容电荷平衡原理：电容电流的平均值等于零，于是c

()0T s

i t <>=

由式（2-42）得： c

()T s

d u t C dt <>

=0，

表明电容电压的开关周期平均值c

()T s

i t <>是常数，但并不表明电容电压的瞬时值在一个开关周期中保持恒定。实际上在DC/DC 变换器中，一个开关周期中电容电压的瞬时值波形一般近似为三角波。

2.5.2 小信号交流等效电路

小信号交流模型也可以用等效电路表示，可以增加直观性和便于记忆。用等效电路表示小信号交流模型的方法不是唯一的，一般以简单性和物理意义明确等作为选择等效电路。如图2.7所

示

图2.7 Buck变换器小信号交流等效电路

2.5.3 平均开关模型

基于数学方法的状态空间平均法计算复杂，而且不直观。如果能通过电路变换，求得小信号交流模型，将更直观，使用更方便，这就是平均开关模型方法的出发点。平均开关模型不仅可应用于PWM DC/DC变换器，也可用于谐振变换器、三相PWM变换器。

任何DC/DC变换器都可分割成两个子电路，一个子电路为定常线性子电路，另一个为开关网络，如图2.8所示定常线性子电路无需进行处理，关键是如何通过电路变换将非线性的开关网络子电路变换成线性定常电路。

图2.8 变换器分割成定常线性子电路和开关网络

将开关网络等效为受控电压源和电流源，通过将变压器的各个波形用一个开关周期的品均值代替，消去了开关频率分量及其谐波分量的贡献。最后通过扰动和线性化处理，得到小信号等效电路，显然获得小信号等效电路的一个定常的线性电路。整个过程基本通过电路的变化来完成。如图2.9来表示

图2.9 开关网络等效成理想变压器与电源组成的网络

图2.10为Buck 变换器的开关网络。为了获得平均开关模型，将其中两个端口电量，如s

2

T v <>和s

1

T i <>表示成s

1

T v <>、s

2

T i <>、占空比d 的函数。