各种等腰三角形难题

各类等腰三角形难题

例1. 在⊿ABC中,AB=AC,且∠A=20°,在为AB上

一点,AD=BC,连接CD.

试求:∠BDC的度数.

分析:题中出现相等的线段,以此为突破口,构造

全等三角形.

解:作∠DAE=∠B=80°,使AE=BA,(点D,E在AC两侧)

连接DE,CE.

∵AE=BA;AD=BC;∠DAE=∠B.

∴⊿DAE≌⊿CBA(SAS),DE=AE;∠DEA=∠BAC=20°.

∠CAE=∠BAE-∠BAC=60°,又AE=AB=AC.

∴⊿AEC为等边三角形,DE=CE;∠DEC=∠AEC-∠DEA=40°. 则:∠CDE=70°;又∠ADE=80°.故∠ADC=150°,∠BDC=30°.

例2.已知,如图:⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°.

点D和E分别在AB,AC上,且∠BCD=50°,∠CBE=60°.

试求∠DEB的度数.

本题貌似简单,其实不然.

解:过点E作BC的平行线,交AB于F,连接CF交BE于点

G,连接DG.易知⊿GEF,⊿GBC均为等边三角形.

∴∠FEG=∠EFG=60°;∠AFG=140°,∠DFG=40°;

∵∠BCG=50°;∠CBD=60°.

∴∠BDC=50°=∠BCD,则BD=BC=BG;又∠ABE=20°.

故∠BGD=80°,∠DGF=180°-∠BGD-∠FGE=40°.

即∠DGF=∠DFG,DF=DG;又EG=EF;DE=DE.

∴⊿DGE≌⊿DFE(SSS),得:∠DEG=∠DEF=30°.

所以,∠DEB=30°.

例3.已知,等腰⊿ABC中,AB=AC,∠BAC=20°,D和E分

别为

AB和AC上的点,且∠ABE=10°,∠ACD=20°.

试求:∠DEB的度数.

本题相对于上面两道来说,难度又增加了许多.且看我下面的解答.

解:在CA上截取CM=CB,连接BM,DM,则∠CMB=∠CBM=50°.

作DG∥BC,交AC于G,连接BG,交CD于F,连接FM.

易知⊿BCF和⊿DGF为等边三角形,CM=CB=CF.

∴∠CMF=∠CFM=80°,∠GMF=100°.

∠GFM=∠GFC-∠CFM=40°;∠FGM=∠A+∠ABG=40°.

即∠GFM=∠FGM;FM=GM;又∠DF=DG,DM=DM.

则⊿DMF≌⊿DMG,∠DMG=∠DMF=50°.

故∠DMC=130°=∠EMB;又∠DCM=∠EBM=20°.

∴⊿DMC∽⊿EMB,DM/MC=EM/MB;又∠DME=∠BMC=50°.

∴⊿DME∽⊿CMB,∠DEM=∠CBM=50°.

又∠BEC=∠ABE+∠A=30°.

所以,∠DEB=∠DEG-∠BEC=50°-30°=20°.

例4.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

思路点拨：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝∠ABC，而由CE＝CD，又可证∠E＝∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

所以∠1＝∠ABC

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以∠ACB＝2∠E

即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

例5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C 作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD=2CE．

思路点拨：根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质，CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，

∴∠FBE=∠CBE，

又BE=BE，

∵BE⊥CF，

∴∠BEF=∠BEC，

∴△BFE≌△BCE（ASA），

∴CE=EF，

∴CF=2CE，

∵∠BAC=90°，且AB=AC，

∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠FBE=∠CBE=22.5°，

∴∠F=∠ADB=67.5°，

又AB=AC，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF，

∴BD=2CE．

例6. 如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长

思路点拨根据题意先证明△BDO和△CEO是等腰三角形，再结合等腰三角形的性质得BD=OD，CE=EO，根据已知△ADE的周长为10cm，再加上BC的长即可得△ABC的周长．

解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，

∵DE∥BC，

∴∠DOB=∠OBC，∠EOC=∠OCB，

∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，

∴BD=OD，CE=EO（等角对等边）

∵AD+DE+AE=10cm，

∴AD+BD+CE+EA=10cm，

又BC的长为5cm，所以△ABC的周长是：

AD+BD+CE+EA+BC=10+5=15cm．

例7.三角形ABC，AB=AC，边BC的中点为D（1）画图：作一个等边三角形DEF，使顶点E,F分别在边AB和AC上（2）你所作的等边三角形DEF

的边EF与BC平行吗？理由是什么？（3）是否可能作一个等边三角

形DEF，使它的边EF与BC不平行？如有可能，指出角A的度数；如

不可能，说出理由

解：

⑴见图

作法：在三角形ABC内部作∠BDE＝∠CDF＝60度，角的两边分别交AB、AC于E、F，连接EF

则三角形DEF就是所要求作的等边三角形

⑵平行。理由：

因为AB＝AC

所以∠B＝∠C

因为D是BC中点

所以BD＝CD

因为∠BDE＝∠CDF＝60度

所以△BDE≌△CDF（ASA），∠EDF＝60度

所以DE＝DF

所以三角形DEF是等边三角形

所以∠BDE＝∠DEF＝60度

所以EF//BC

⑶可能。∠A＝120度

证明要点：

因为EF与BC不平行，

所以AE≠AF，不妨设AE＞AF

过F作FG//BC，交AB于G，连接DG

容易证明△BDG≌△CDF

所以DG＝DF＝DE，∠BGD＝∠CFD

由DE＝DG得∠DEG＝∠DGE

所以∠DEG＝∠CFD

所以A、E、D、F四点共圆

所以∠A＋∠EDF＝180度

所以∠A＝120度

例8.三角形ABC中，AB=AC,D在AC上,E在AB上，连结DE，已知顶角等于20°,∠CBD=60°,∠ECB=50°.求∠ADE的度数

解：以B为圆心，BC为半径画弧，交AC于G，连接DG，

则：BG=BC，∠BGC=∠ACB；

已知：AB=AC，∠A=20°，

则：∠ABC=∠ACB=80°，

∠BGC=∠ACB=80°，

∠GBC=20°，

∠ABG=60°；

已知：∠CBD=60°，

则：∠ABD=20°，∠DBG=40°，

∠BDG=∠BGC-∠DBG=40°，BG=DG；

已知：∠ECB=50°，

则：∠BRC=180°-∠ABC-∠ECB=50°；

已知：圆孤，∠ABG=60°，

则：BE=BC=BG=DG，△BGE为正三角形，

EG=BE=BC=BG=DG，∠EGB=60°，

∠DGE=180°-∠BGC-∠EGB=40°；

已知：EG=DG,

则：∠GED=∠EDG=(180°-∠DGE)/2=70°，

∠ADE=180°-∠EDG=110°。

例9. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中

点。

A

D

1

B M

C E

分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证

1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝

2

1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。

又可证∠E＝

2

证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

1∠ABC

所以∠1＝

2

又因为CE＝CD，所以∠CDE＝∠E

所以∠ACB＝2∠E

即∠1＝∠E

所以BD＝BE，又DM⊥BC，垂足为M

所以M是BE的中点（等腰三角形三线合一定理）

例10. 如图，已知：AB C

AB=，D是BC上一点，且

?中，AC

=，，求BAC

∠的度数。

AD=

CA

DC

DB

A

B

C

D

分析：题中所要求的BAC ∠在AB C ?中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。因此需要考虑DB A D =和CA DC =在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。 解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 因为DB A D =，所以C DAB B ∠=∠=∠；

因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角） 而 DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B 3B AC ∠=∠

又因为 180=∠+∠+∠BAC C B

即 180B 3C B =∠+∠+∠ 所以 36B =∠ 即求得 108BAC =∠

说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。本条性质在解题中发挥着重要的作用，这一点在后边的解题中将进一步体现。

2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。

3. 此题是利用方程思想解几何计算题，而边证边算又是解决这类

题目的常用方法。

例11. 已知：如图，AB C ?中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。求证：

DCB 2B AC ∠=∠。

A 1 2

D B

C

E

3

分析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。 证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB =

所以BAC 2

1

21∠=∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为 90B 1=∠+∠

又AB CD ⊥，所以 90CDB =∠

所以 90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余） 所以31∠=∠（同角的余角相等） 即DCB 2B AC ∠=∠ 说明：

1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质，构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线；

2. 对线段之间的倍半关系，常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法，对角间的倍半关系也同理，或构造“半”，或构造“倍”。因此，本题还可以有其它的证法，如构造出DCB ∠的等角等。

例12．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。求证：AE ＝AF 。

A

E F B

D

C

证明：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 又因为AC DF AB DE ⊥⊥， 所以 90CFD BED =∠=∠

又D 是BC 的中点，所以DC DB = 所以)AAS (CFD DEB ??? 所以CF B E =，所以A F A E =

说明：证法二：连结AD ，通过??AED A FD ?证明即可

例13. 如图，AB C ?中， 100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

A

D

1 B 2

E F

C

分析一：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，

考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算

可以得出DE DF CF ==。

证明一：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ?和EB D ?中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，，

80

DEF 100

A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴，

又 100A AC AB =∠=， 40)100180(2

1C ABC =-=∠=∠∴ 20402

121=?=∠=∠∴ 而B F B D =

80)20180(2

1)2180(2

1BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴

AD

BD FC BF BC FC

DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DF

DE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴

，

即B C B D AD =+

例题14：如图，可以考虑延长BD 到E ，使DE ＝AD ，这样BD ＋AD=BD+DE=BE ，只需证明BE ＝BC ，由于 202=∠，只需证明

80BCE E =∠=∠

A

D E 1 B 2

F

C

3 4 5 6

易证 6020100180ADB EDC =--=∠=∠， 120BDC =∠，故作BDC ∠的角平分线，则有FB D A B D ???，进而证明DFC DEC ???，从而可证出 80E =∠。

证明二：延长BD 到E ，使DE ＝AD ，连结CE ，作DF 平分BDC ∠交BC 于F 。

由证明一知： 100A 2021=∠=∠=∠， 则

有

12060180BDC 603660201001803=-=∠=∠=∠=--=∠，，

DF 平分 6054BDC =∠=∠∴∠

606543=∠=∠=∠=∠∴，在AB D ?和FB D ?中 43B D B D 21∠=∠=∠=∠，， )ASA (FBD ABD ???∴

100A BFD FD AD =∠=∠=∴，，而DE DF DE AD =∴=， 在DEC ?和DFC ?中，DC DC 65DF DE =∠=∠=，， )SAS (DFC DEC ???∴

80100180BFD 180DFC E =-=∠-=∠=∠∴ 在B CE ?中， 803202=∠=∠，

BCE E BCE ∠=∠∴=∠∴，

80 B C B D AD B E B C =+∴=∴，

说明：“一题多证”在几何证明中经常遇到，它是培养思维能力提高解题水平的有效途径，读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会，进一步提高自身的解题能力。

例15. 如图，AB C ?是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，则1∠的度数是________。

C

A 1

D

B

2 3

分析：结合三角形内角和定理，计算图形中角的度数是等边三角形性质的重要应用。

解：因为AB C ?是等边三角形 所以 60ABC BC AB =∠=， 因为B C B D =，所以B D A B = 所以23∠=∠

在AB D ?中，因为 60ABC 90CBD =∠=∠， 所以 150ABD =∠，所以 152=∠ 所以 75ABC 21=∠+∠

=∠

例16. 求证：等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上. 已知：如图，在AB C ?中，AC AB =，D 、E 分别为AC 、AB 边中点，BD 、CE 交于O 点。求证：点O 在BC 的垂直平分线上。

分析：欲证本题结论，实际上就是证明OC OB =。而OB 、OC 在AB C ?中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有

21∠∠、的两个三角形全等。

证明：因为在AB C ?中，AC AB =

所以ACB AB C ∠=∠（等边对等角）

又因为D 、E 分别为AC 、AB 的中点，所以EB DC =（中线定义） 在BCD ?和 CB E ?中，

??

?

??=∠=∠=)(CB BC )(EBC DCB )(EB DC 公共边已证已证 所以)SAS (CBE BCD ???

所以21∠=∠（全等三角形对应角相等）。 所以OC OB =（等角对等边）。 即点O 在BC 的垂直平分线上。 说明：

（1）正确地理解题意，并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。特别是把“在

底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB ＝OC ”是关键的一点。

（2）实际上，本题也可改成开放题：“△ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 分别为AC 、AB 上的中点，BD 、CE 交于O 。连结AO 后，试判断AO 与BC 的关系，并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。 例17. AB C ?中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 2

1

DE =。

分析：此题没有给出图形，那么依题意，应先画出图形。题目中是求线段的倍半关系，观察图形，考虑取BC 的中点。

证明：过点A 作BC 边的垂线AF ，垂足为F 。

E A 3 1 2 D B

F

C

在AB C ?中， 120BAC AC AB =∠=， 所以 30C B =∠=∠

所以BC 2

1BF 6021==∠=∠

， （等腰三角形三线合一性质）。 所以 603=∠（邻补角定义）。 所以31∠=∠

又因为ED 垂直平分AB ，所以 30E =∠（直角三角形两锐角互余）。

AB 2

1

AD =

（线段垂直平分线定义）

。 又因为AB 21AF =（直角三角形中 角所对的边等于斜边的一

半）。

所以A F A D =

在ABF Rt ?和AED Rt ?中，

??

?

??=∠=∠=∠=∠ 90ADE AFB )

(AD AF )

(31已证已证 所以)ASA (AED Rt ABF Rt ??? 所以B F ED = 即BC 2

1ED =。

1

3

例18：如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE. 求证：CD=2CE

分析：

(ⅰ)折半法：取CD 中点F ，连接BF ，再证ΔCEB ≌ΔCFB.这里注意利用BF 是ΔACD 中位线这个条件。

证明：取CD 中点F ，连接BF

∴ BF=1

2 AC,且BF ∥AC （三角形中位线定理）

∴ ∠ACB ＝∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC

∴ ∠ACB ＝∠3 （等边对等角） ∴ ∠3＝∠2 在ΔCEB 与ΔCFB 中，

BF=BE

∠3＝∠2 CB=CB

∴ ΔCEB ≌ΔCFB (SAS)

∴ CE=CF=1

2 CD （全等三角形对应边相等）

即CD=2CE （ⅱ）加倍法

证明：延长CE到F，使EF=CE，连BF.

在ΔAEC与ΔBEF中，

AE=BE

∠1＝∠2 （对顶角相等）

CE=FE

∴ΔAEC≌ΔBEF (SAS)

∴ AC=BF, ∠4＝∠3 (全等三角形对应边、对应角相等)

∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行)

∵∠ACB+∠CBF=180o,

∠ABC+∠CBD=180o,

又AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∴∠CBF=∠CBD （等角的补角相等）

在ΔCFB与ΔCDB中，

CB=CB

∠CBF=∠CBD

BF=BD

∴ΔCFB≌ΔCDB (SAS)

∴ CF=CD

即CD=2CE

说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取

AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.

(4)证明线段相互垂直

例19：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论，然后再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC，AO⊥BC.

证明：延长AO交BC于E,在ΔADO和ΔCDB中

AD=DC

∠ADO=∠CDB=90o

OD=DB

∴ΔADO≌ΔCDB (SAS)

∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD（全等三角形对应边、对应角相等）∵∠AOD＝∠COE （对顶角相等）

∴∠COE+∠OCE=90o

∴ AO⊥BC