2021年中考数学全真模拟试卷一(含答案)

初中毕业生学业（升学）模拟考试

数学

注意事项：

1、答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。

2、答题时，必须使用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔，将答案填涂或书写在答

题卡规定的位置，字体工整、笔迹清楚。

3、所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。

题号一二三四总分

得分

一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）

1.已知|a|=2019，|b|=2020，则a?b的结果中，最大值与最小值的商等于()

A. ?2020

B. 2019

C. 1

D. ?1

2.据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%，假定2018年

的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则()

A. b=(1+22.1%×2)a

B. b=(1+22.1%)2a

C. b=(1+22.1%)×2a

D. b=22.1%×2a

3.观察下面图形，从图1到图2可用式子表示为()

A. (a+b)(a?b)=a2?b2

B. a2?b2=(a+b)(a?b)

C. (a+b)2=a2+2ab+b2

D. a2+2ab+b2=(a+b)2

4.以下计算正确的是()

A. (?2ab2)3=8a3b6

B. 3ab+2b=5ab

C. (?x2)?(?2x)3=?8x5

D. 2m(mn2?3m2)=2m2n2?6m3

5.下列四个算式：?①2a3?a3=1;?②(?xy2)?(?3x3y)=3x4y3;?③(x3)3?x=

x10;?④2a2b3?2a2b3=4a2b3.其中正确的有()

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

6.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2个单位长度的

位置找一个点D，然后点D做一条垂直于数轴的线段CD，CD为3个单位长度，以原点为圆心，以到点C的距离为半径作弧，交数轴于一点，则该点位置大致在数轴上()

A. 2和3之间

B. 3和4之间

C. 4和5之间

D. 5和6之间

7.图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围

成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()

A. 51

B. 49

C. 76

D. 无法确定

8.李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量，抽取了7名同学进行调查，调

查结果如下(单位：篇/周)：，其中有一个数据不小心被墨迹污损．已知这组数据的平均数为4，那么这组数据的众数与中位数分别为()

A. 5，4

B. 3，5

C. 4，4

D. 4，5

9.不等式组{3x+7≥2

2x?9<1的非负整数解的个数是()

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

10.下列哪个选项中的不等式与不等式3x?8>x组成的不等式组的解集为4

5()

A. x+5<0

B. 2x>8

C. ?x?5>0

D. 2x+3<13

11.若等腰三角形一条边的边长为3，另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2?

12x+k=0的两个根，则k的值是()

A. 27

B. 36

C. 27或36

D. 18

12. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =4，以BC 为斜边在矩形的外部作直角三角

形BEC ，点F 是CD 的中点，则EF 的最大值为( )

A. √732

B. 4

C. 5

D. 9

2

13. 如图，在某温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每

一次加压后气缸内气体的体积V(mL)与气体对气缸壁产生的压强P(kPa)的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示，下列说法错误的是( )

A. 气压P 与体积V 表达式为P =k

V ，k >0

B. 当气压P =70时，体积V 的取值范围为70

C. 当体积V 变为原来的2

3时，对应的气压P 变为原来的3

2 D. 当60≤V ≤100时，气压P 随着体积V 的增大而减小

14. 如图，数轴上有A 、B 、C 三点，点A ，C 关于点B 对称，以原点O 为圆心作圆，

若点A ，B ，C 分别在⊙O 外，⊙O 内，⊙O 上，则原点O 的位置应该在( )

A. 点A 与点B 之间靠近A 点

B. 点A 与点B 之间靠近B 点

C. 点B 与点C 之间靠近B 点

D. 点B 与点C 之间靠近C 点

15. 往直径为52cm 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如

图所示，若水面宽AB =48cm ，则水的最大深度为( )

A. 8cm

B. 10cm

C. 16cm

D. 20cm

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

16.如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作______ ．

17.若x+y=3，xy=1，则x2+y2=．

18.甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的A，B两处同时出发，

都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y(单位：m)与行走时x(单位：min)的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离(单位：m)与甲行走时间x(单位；min)的函数图象，则a?b=______．

19.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同

一直线上，则∠B的度数为______．

20.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD=

∠A=∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中

相似三角形有________对．

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）

21.计算：?23?[(?3)2?22×1

4?8.5]÷(?1

2

)2

22.已知1+2+3+?+n=n(n+1)

，这里n为任意正整数，请你利用恒等式(n+1)3=

2

n3+3n2+3n+1，推导出12+22+32+?+n2的计算公式．

23.已知某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天200元，双人间为每

人每天300元，为吸引客源，促进旅游，在“十?一”黄金周期间酒店进行优惠大酬宾，凡团体入住一律五折优惠．一个50人的旅游团在十月二号到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房．

(1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费6300元．求租住了三

人间、双人间客房各多少间？

(2)设三人间共住了x人，这个团一天一共花去住宿费y元，请写出y与x的函数关

系式，并写出自变量的取值范围．

(3)一天6300元的住宿费是否为最低？如果不是，请设计一种方案：要求租住的房

间正好被住满的，并使住宿费用最低，请写出设计方案，并求出最低的费用．

24.我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化

改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，需要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．

(1)求A，B两种树苗每棵各多少元？

(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于52棵，且用于购买这两种

树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？

(3)某包工队承包种植任务，若种好一棵A种树苗可获工钱30元，种好一棵B种树

苗可获工钱20元，在第(2)问的购买方案中，种好这100棵树苗，哪一种购买方案所付的种植工钱最少？最少工钱是多少元？

25.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12cm，OB=6cm，

点P从O点开始沿OA边向点A以1cm/s的速度移动，点Q

从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q

同时出发，用t(单位：秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ 与△AOB相似？

26.如图，AB为⊙O的直径，E为⊙O上一点，C为弧BE的中

点，过点C作AE的垂线，交AE的延长线于点D．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)连接EC，若AB=10，AC=8，求△ACE的面积．

27.问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，

∠APD=90°.求证：AB+CD=BC．

问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°.求AB+CD

的值．

BC

答案

1.D

2.B

3.A

4.D

5.B

6.B

7.C

8.A

9.B

10.D

11.B

12.D

13.B

14.C

15.C

16.?3℃

17.7

18.1

2

19.15°

20.3

21.解：?23?[(?3)2?22×1

4?8.5]÷(?1

2

)2

=?8?[9?4×1

4

?8.5]×4

=?8?[9?1?8.5]×4

=?8?(?0.5)×4

=?8+2

=?6．

22.解：∵n3?(n?1)3=3n2?3n+1，

∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：

13?03=3?3+1，23?13=3×22?3×2+1，33?23=3×32?3×3+1，…，n3?(n?1)3=3n2?3n+1，

将这n 个等式的左右两边分别相加得：n 3=3×(12+22+32+?+n 2)?3×(1+2+3+?+n)+n ，

即12+22+32+42+?+n 2=

n 3+3(1+2+3+?+n)?n

3

=1

6

n(n +1)(2n +1)．

23.解：(1)设三人间有a 间，双人间有b 间，

根据题意得：{100×3a +150×2b =63003a +2b =50，

解得：{a =8

b =13

，

答：租住了三人间8间，双人间13间；

(2)根据题意得：y =100x +150(50?x)=?50x +7500(0≤x ≤50)， (3)因为?50<0，所以y 随x 的增大而减小， 故当x 满足x

3、

50?x 2

为整数，且x

3最大时，

即x =48时，住宿费用最低，

此时y =?50×48+7500=5100<6300，

答：一天6300元的住宿费不是最低；若48人入住三人间，则费用最低，为5100元． 所以住宿费用最低的设计方案为：48人住3人间，2人住2人间．

24.解：(1)A 种树苗每棵100元，B 种树苗每棵50元．

(2)设购进A 种树苗m 棵，则购进B 种树苗(100?m)棵， 根据题意，得{100m +50(100?m)≤7650,

m ≥52.

解得52≤m ≤53． ∴购买方案有两种：

方案一：购进A 种树苗52棵，B 种树苗48棵； 方案二：购进A 种树苗53棵，B 种树苗47棵． (3)方案一的费用为52×30+48×20=2520(元)， 方案二的费用为53×30+47×20=2530(元)， 因为2520<2530，

所以购进A 种树苗52棵，B 种树苗48棵所付工钱最少，最少工钱为2520元．

25.解：(1)∵OB =6cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，

∴OQ =(6?t)cm ，

∵点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动， ∴OP =t(cm)，

若△POQ∽△AOB时，OQ

OB =OP

OA

，

即6?t

6=2t

12

，

整理得：12?2t=t，

解得：t=4，

则当t=4时，△POQ与△AOB相似；

若△POQ∽△BOA时，OQ

OA =OP

OB

，

即6?t

12=t

6

，

解得：t=2，

则当t=2时，△POQ与△BOA相似，

综上所述：当t=4s或2s时，△POQ与△AOB相似．

26.(1)证明：连接OC，

∵C为弧BE的中点，

∴CE?=BC?，

∴∠CAD=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠CAD=∠ACO，

∴AD//OC，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：连接BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵AB=10，AC=8，

∴BC=√AB2?AC2=√102?82=6，

∵∠D=∠ACB=90°，

∠DAC=∠CAB，

∴△ACD∽△ABC，

∴AD

AC =AC

AB

=CD

BC

，

∴

AD 8

=810=

CD 6

，

∴AD =

32

5

，CD =245

，

∵CE

?=BC ?， ∴CE =BC =6， ∴DE =√CE 2?CD 2=185

，

∴AE =AD ?DE =

145

，

∴△ACE 的面积=1

2AE ?CD =1

2×

145

×

245

=

16825

．

27.证明：(1)∵∠B =∠APD =90°，

∴∠BAP +∠APB =90°，∠APB +∠DPC =90°， ∴∠BAP =∠DPC ，

又PA =PD ，∠B =∠C =90°， ∴△BAP≌△CPD(AAS)， ∴BP =CD ，AB =PC ， ∴BC =BP +PC =AB +CD ；

(2)如图2，过点A 作AE ⊥BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，

由(1)可知，EF =AE +DF ，

∵∠B =∠C =45°，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， ∴∠B =∠BAE =45°，∠C =∠CDF =45°，

∴BE =AE ，CF =DF ，AB =√2AE ，CD =√2DF ， ∴BC =BE +EF +CF =2(AE +DF)， ∴

AB+CD BC

=

√2(AE+DF)2(AE+DF)

=

√2

2

．