高考数学一轮复习专题7.6正态分布练习(含解析)

第六讲 正态分布

一．正态曲线的定义

函数22

()2,(),(,)x x x μσμσ?--

=

∈-∞+∞，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称,()x μσ?的图象为正态

分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差)． 二．正态曲线的特点

①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线x μ=对称； ③曲线在x μ=

④曲线与x 轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

三、正态分布

1．正态分布的定义及表示

如果对于任何实数(),a b a b <，随机变量X 满足()(),d b

a

P a X b x x μσ?<≤=

?

(即x =a ，x =b ，正态曲线

及x 轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X 服从正态分布，记作2

~(),X N μσ． 2．正态分布的三个常用数据

①0().6826P X μσμσ-<≤+=； ②2205().944P X μσμσ-<≤+=； ③3309().974P X μσμσ-<≤+=. 【注】若2

~(,)X N μσ，则()0.5P X μ≤=.

考向一 正态分布的对称性

【例1】（1）已知随机变量2(1,)X N σ，且(2)0.2P X >=，则(0)P X <=（ ）

A ．0.2

B ．0.3

C ．0.5

D ．0.7

（2）已知随机变量X 服从正态分布(),4N a 且(1)0.5P X >=,则实数a =( )

A ．1

B C ．2

D ．4

（3）某校约有1000人参加模块考试,其数学考试成绩ξ服从正态分布N (90,a 2)(a >0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的0.6,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．600 B ．400 C ．300

D ．200

【答案】（1）A （2）A （3）D 【解析】（1）由题意，随机变量2(1,)X

N σ，且(2)0.2P X >=，

可得正态分布曲线关于1X =对称，可得((0)2)0.2P X P X >=<=，故选A ． （2）由题意可得正态曲线的对称轴为X=a ,又因为(1)0.5P X >=,所以a=1.

（3）根据正态分布知，其均值为90分，又70分到110分之间的人数约为总人数的0.6，根据对称性知90分到110分之间的约为总数的0.3，所以可知110分以上的约为总数的0.50.3=0.2-，故有大约

10000.2200?=人，选D.

【举一反三】

1．一试验田某种作物一株生长果个数x 服从正态分布(

)2

90,N σ

，且()700.2P x <=，从试验田中随机

抽取10株，果实个数在[]90,110的株数记作随机变量X ，且X 服从二项分布，则X 的方差为（ ） A ．3 B ．2.1 C ．0.3 D ．0.21

【答案】B

【解析】∵2

90(),x N δ～，且()700.2P x <=，所以()1100.2P x >=

∴()901100.50.20.3P x <<=-=，∴()10,0.3X B ～，

X 的方差为()100.310.3 2.1??-=．故选B ．

2．已知随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，若()()214P a P a ξξ<-=>+，则a 的值为______. 【答案】1 【解析】由于()3,4N ξ

，3μ=，依题设21x a =-与4x a =+关于3x =对称，

即()()2146a a -++=，解得：1a =.

3．已知随机变量X 服从正态分布()

2

2,N σ且()40.88X P ≤=，则()04P X <<=_____________

【答案】0.76

【解析】随机变量X 服从正态分布()

2

2,N σ,则曲线的对称轴为2X =，()20.5P X ≤=，

由()40.88X P ≤=可得()40.880.0825.3P X ==<-<， 则()()204240.76P P X X <=<<<=故答案为：0.76．

考向二 正态分布运用

【例2】“学习强国”APP 是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC 端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP 的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP 上所得的分数统计如表所示：

（1）由频率分布表可以认为，这200名党员这两天在“学习强国”APP 上的得分Z 近似服从正态分布

()

2,N μσ，其中μ近似为这200名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），2

σ近似这200名党员得分的方差，求()57.483.8P Z <<；

（2）以频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取4人，记抽得这两天在“学习强国”APP 上的得分不低于80分的人数为X ，求X 的分布列与数学期望.

2.6≈≈≈，若()2,X

N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，

()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973.P X μσμσ-<≤+=

【答案】（1）0.8186；（2）见解析

【解析】（1）由题意得：650.3750.5850.1950.175μ=?+?+?+?=

()()()()2222

265750.375750.585750.195750.1σ=-?+-?+-?+-?30104080=++=

808.8σ==≈

()()0.68270.9545

57.483.820.81862

P Z P Z μσμσ+∴<<=-<≤+=

=

（2）从该地区所有党员中随机抽取1人，抽得的人得分不低于80分的概率为：

401

2005

= 由题意得，X 的可能取值为0,1,2,3,4，且14,5X

B ?? ???

()4

04

4256

05625

P X C ??∴===

???；

()3

14

14256

155625

P X C ??==??=

???；

()2

2

2

41496255625P X C ????==??=

? ?????；

()3

3

41416355625

P X C ??==??=

???；

()4

4

41145625

P X C ??==?=

???

X ∴的分布列为：

()455

E X ∴=?=

【举一反三】

1．某工厂抽取了一台设备A 在一段时间内生产的一批产品，测量一项质量指标值，绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）计算该样本的平均值x ，方差2s ；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（2）根据长期生产经验，可以认为这台设备在正常状态下生产的产品的质量指标值服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均值，2σ近似为样本方差2s .任取一个产品，记其质量指标值为X .若X μσ-≤，则认为该产品为一等品；2X σμσ<-≤，则认为该产品为二等品；若2X μσ->，则认为该产品为不合格品.已知设备A 正常状态下每天生产这种产品1000个.

（i ）用样本估计总体，问该工厂一天生产的产品中不合格品是否超过3%？

（ii ）某公司向该工厂推出以旧换新活动，补足50万元即可用设备A 换得生产相同产品的改进设备B .经测试，设备B 正常状态下每天生产产品1200个，生产的产品为一等品的概率是70%，二等品的概率是26%，不合格品的概率是4%.若工厂生产一个一等品可获得利润50元，生产一个二等品可获得利润30元，生产一个不合格品亏损40元，试为工厂做出决策，是否需要换购设备B ？

参考数据：①()0.6826P X μσμσ-<≤+=；②()220.9544P X μσμσ-<≤+=；③

()330.9974P X μσμσ-<≤+=

12.2≈.

【答案】(1) =200x ；2=150s (2) （i ）见解析（ii ）见解析 【解析】（1）由频率分布直方图可得

1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200,

x =?+?+?+?+?+?+?=22222222(30)0.02(20)0.09(10)0.200.33100.24200.083020.02s =-?+-?++?+?+?+?-?150=

（2）（i ）方法一：由（1）得(2,2)(175.6,224.4)x s x s -+=，

由图可得质量指标值在(165,175)和(225,235)的频率为0.02+0.02=0.04>0.03，

所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%.

方法二：由于(||2)1(22)P x P x μσμσμσ->=--<+…=1-0.9544=0.0456>0.03. 所以该工厂一天生产的产品中不合格品超过3%. （ii ）设

，

分别为设备A ，B 一天为工厂创造的利润，

则()11000(500.6826300.2718400.0456)E W =??+?-?1000(34.138.154 1.824)40460=?+-=，

()21200(500.7300.26400.04)E W =??+?-?1200(357.8 1.6)49440=?+-=，

所以采用新设备利润每天增加()()21()49440404608980E W E W E W ?=-=-=，

因此，只需56天使用设备B 产生的利润就超过使用设备A 产生的利润和换购费用总和，从长远来看，应该换购设备B .

2．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至11kg ）频数分布表如下（单位：kg ）：

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率. （1）由种植经验认为，种植园内的水果质量X 近似服从正态分布(

)2

,N μσ

，其中μ近似为样本平均数x ，

24σ≈.请估计该种植园内水果质量在()5.5,9.5内的百分比；

（2）现在从质量为[)1,3，[)3,5，[

)5,7的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个.若水果质量在[)1,3，[)3,5，[

)5,7的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y 元，求Y 的分布列和数学期望.

附：若ξ服从正态分布(

)2

,N μσ

，则()0.6827P μσξμσ-≤<+=，

()220.9545P μσξμσ-≤<+=.

【答案】（Ⅰ）47.725%（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）()1

210430640815105100

x =

?+?+?+?+? 5.5=， 由正态分布知，

(5.59.5)(2)P X P μξμσ<<=<<+ ()1

222P μσξμσ=

-≤<+10.95450.477252

=?=. 该种植园内水果质量在()5.5,9.5内的百分比为47.725%.

（Ⅱ）由题意知，从质量在[)1,3，[)3,5，[

)5,7的三组水果中抽取的个数分别为1，3，4，

Y 的取值为6，8，10，12.

则()11

13283

628

C C P Y C ===； ()2113142

871

8284

C C C P Y C +====； ()113428123

10287

C C P Y C ====；

()242863

122814

C P Y C ====.

所以，Y 的分布列为

()37126

68101228282828E Y =?

+?+?+? 199.52

==. 3．为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：

经计算，样本的平均值64μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值．

（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的频率）：①()0.6826P X μσμσ-<≤+=；②

()220.9544P X μσμσ-<≤+=；③()330.9974

P X μσμσ-<≤+=．评判规则为：若同时满足上

述三个不等式，则设备性能等级为甲；仅满足其中两个，则设备性能等级为乙；若仅满足其中一个，则设备性能等级为丙；若全部不满足，则设备性能等级为丁．试判断设备M 的性能等级． （2）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品．

（i ）从设备M 的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ； （ii ）从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z 的数学期望()E Z ．

【答案】（1）见解析；（2）（i ）

325；（ii ）3

25

. 【解析】（1）由题意：()()62.867.20.80.6826P X P X μσμσ-<≤+=<≤=>，

()()2260.669.40.940.9544P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<，

()()3358.471.60.980.9974P X P X μσμσ-<≤+=<≤=<，

∵设备M 的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．

（2）样本中次品共6件，可估计设备M 生产零件的次品率为0.06． （ⅰ）由题意可知6(2,

)100Y

B ，于是63()210025

E Y =?=； （ⅱ）由题意可知Z 的可能取值为0,1,2 所以Z 的分布列为：

()21129469462221001001003

01225

C

C C C E Z C C C =?+?+?=.

1．设X ～N(μ1，21σ)，Y ～N(μ2，2

2σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是 ( )

A ．P(Y ≥μ2)≥P(Y ≥μ1)

B ．P(X ≤σ2)≤P(X ≤σ1)

C ．对任意正数t ，P(X ≥t)≥P(Y ≥t)

D ．对任意正数t ，P(X ≤t)≥P(Y ≤t) 【答案】D

【解析】A 项，由正态分布密度曲线可知，x ＝μ2为Y 曲线的对称轴，μ1＜μ2，所以P(Y ≥μ2)＝

1

2

＜P(Y ≥μ1)，故A 错；B 项，由正态分布密度曲线可知，0＜σ1＜σ2，所以P(X ≤σ2)＞P(X ≤σ1)，故B 错； C 项，对任意正数t ，P(X ＞t)＜P(Y ＞t)，即有P(X ≥t)＜P(Y ≥t)，故C 错；

D 项，对任意正数t ，P(X ＞t)＜P(Y ＞t)，因此有P(X ≤t)≥P(Y ≤t)．故D 项正确．故选：D 2．设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若()(2)P c P c ξξ>=<+，则c 的值是______．

【答案】1

【解析】因为()(2)P c P c ξξ>=<+，所以

2

22

c c ++=，所以c=1.故答案为：1 3．《河北省高考改革实施方案》规定：从2018年秋季高中入学的新生开始，不分文理科，2021年开始，高考总成绩由语数外3门必考科目和物理、化学等六门选考科目自主选择三门构成.最终将每门选考科目的考生原始成绩按照等级赋分规则纳入高考录取总成绩，成绩呈现方式按照一定比例分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%,26%,34%,20%,10%选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到

[86,100],[71,85][56,70][40,55][25,40]五个分数区间，得到考生的等级成绩。某校高一年级学生共1000

人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行一次测试，其中地理考试原始成绩基本服从正态分布(70,144)N .

（I ）求地理原始成绩在区间(58,94)的人数；

（Ⅱ）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[56,85]的人数，求X 的分布列和数学期望。 （附：若随机变量(

)2

~,N ξμσ

，则()0.682P μσξμσ-<<+=，

(22)0.954,(33)0.997)P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=

【答案】（I ）818人 （Ⅱ）X 的分布列为

数学期望()355

E X =?

=. 【解析】（I ）因为地理原始成绩(

)2

~70,12

N ξ，

所以

(5894)(5870)(7094)

P P P ξξξ<<=<<+≤<11

(70127012)(7021270212)22

P P ξξ=

-<<++-?≤<+? 0.6820.954

22

=

+ 0.818=

所以地理原始成绩在（58，94）的人数为10000.818818?=（人） （Ⅱ）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[56,85]内的概率为

3

5

. 所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X ～B 33,5??

???

所以32

13283236(0),(1)5125

55125P X P X C ????====== ? ?

???? 23

23

3254327(2),(3)551255125

P X C P X ????==?====

? ????? 所以X 的分布列为

所以数学期望()355

E X =?

= 4．某区组织部为了了解全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况，按照分层抽样的方法，从全区320名正科级干部和1280名副科级干部中抽取40名科级干部预测全区科级干部“党风廉政知识”的学习情况.现将这40名科级干部分为正科级干部组和副科级干部组，利用同一份试卷分别进行预测.经过预测后，两组各自将预测成绩统计分析如下表：

（1）求,a b ；

（2）求这40名科级干部预测成绩的平均分x 和标准差s ；

（3）假设该区科级干部的“党风廉政知识”预测成绩服从正态分布(

)2

,N μσ

，用样本平均数x 作为μ的

估计值μ∧

，用样本标准差s 作为σ的估计值σ∧

.利用估计值估计：该区科级干部“党风廉政知识”预测成绩小于60分的约为多少人？

附：若随机变量Z 服从正态分布(

)2

,N μσ

，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=；

(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=；(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.

【答案】（1）8,32；（2）72，6；（3）36.

【解析】（1）样本容量与总体的比为：

401

320128040

=+

则抽取的正科级干部人数为1320840a =?

=；副科级干部人数为1

12803240

b =?=， （2）这40名科级干部预测成绩的平均分：8087032

7240

x ?+?=

=

设正科级干部组每人的预测成绩分别为1238,,,,x x x x ???，副科级干部组每人的预测成绩分别为

9101140,,,,x x x x ???

则正科级干部组预测成绩的方差为：()2

222221128188068

s x x x ??=

++???+-?=?? 解得：(

)2

2

2

22

1288680

x x x ++???+=?+

副科级干部组预测成绩的方差为：()2

2222229104013270432s x x x ??=

++???+-?=?

? 解得：(

)2

2

2

2

2

9104032470

x x x ++???+=?+

这40名科级干部预测成绩的方差为()()2

22222221289104014040

s x x x x x x x ??=

++???++++???+-??? ()()222221

86803247040723640??=

?++?+-?=?

?

6s ∴==

∴这40名科级干部预测成绩的平均分为72，标准差为6

（3）由72x =，6s =，得μ的估计值?72μ

=，σ的估计值?6σ= 由()220.9544P X μσμσ-<<+=得：()60840.9544P X <<=

()()()()16084160841

10.95440.022282

P X P X P X =∴?-=≤=≥=-<

5．某市举办数学知识竞赛活动，共5000名学生参加，竞赛分为初试和复试，复试环节共3道题，其中2道单选题，1道多选题，得分规则如下：参赛学生每答对一道单选题得2分，答错得O 分，答对多选题得3

分，答错得0分，答完3道题后的得分之和为参赛学生的复试成绩.

(1)通过分析可以认为学生初试成绩X 服从正态分布2(,)N μσ，其中66μ=，2144σ=，试估计初试成绩不低于90分的人数；

(2)已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为

23，多选题的正答率为1

2

，且每道题回答正确与否互不影响.记小强复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望.

附：()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，

(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.

【答案】(1)114人 (2)见解析

【解析】（1）

2144σ=，即12σ=，又66μ= 26621290μσ∴+=+?=

()()()1

90210.95440.02282

P X P X μσ∴≥=≥+=

-= ∴估计不低于90分的人数有：0.022********?=（人）

（2）Y 的所有可能取值为0,2,3,4,5,7

()1111023318P Y ∴==??=；()1

2211422332189P Y C ==???==；

()1111333218P Y ==??=；()22142

4332189P Y ==??==

()1

2211425332189P Y C ==???==；()221427332189

P Y ==??==

Y ∴的分布列为：

()12122225023457189189996

E Y ∴=?

+?+?+?+?+?= 6．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布(

)2

,N μσ

，其中μ近似为样本平均数x ，

2σ近似为样本方差2s 。

（i ）若某用户从该企业购买了10件这种产品，记X 表示这10件产品中质量指标值位于（187.4，225.2）的产品件数，求()E X ；

（ii ）一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在()3,3μσμσ-+之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查下。下面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查。

12.6≈，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，

()330.9974P X μσμσ-<<+=

【答案】(1)见解析.(2) （i ）()8.185E X =（ii ）需要对当天的生产过程进行检查.

【解析】（1）由题意得，1700.0251800.091900.222000.32x =?+?+?+?+

2100.242200.082300.025200?+?+?=，

()()()2

2

2

22222300.025200.09100.2200.32100.24200.08300.025159

s =-?+-?+-?+?+?+?+?=；

（2）（i ）由题意得，一件产品中质量指标值位于区间()187.4225.2，

的概率为 0.68260.9544

0.81852

+=，则()10,0.8185X

B ，

∴()100.81858.185E X =?=；

（ii ）由（I ）知，320012.63162.2μσ-=-?=，320012.63237.8μσ+=+?=， ∵()237.9162.2,237.8?，∴需要对当天的生产过程进行检查。

7．2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：

（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；

（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？

（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．

附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．

参考公式与临界值表：2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．

【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有90％的把握；（3）0.0684.

【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135

131.52

+=，乙校学生数学成绩的中位数为

128129

128.52

+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22?列联表如下：

计算得2

K 的观测值2

40(1013107)0.9207 2.70620201723

k ??-?=

≈

所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．

（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ，

所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544

(134)0.02282

P X ->=

=， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=?=．

8．某纺织厂为了生产一种高端布料，准备从A 农场购进一批优质棉花，厂方技术人员从A 农场存储的优质棉花中随机抽取了100处棉花，分别测量了其纤维长度（单位：cm ）的均值，收集到100个样本数据，并制成如下频数分布表：

（1）求这100个样本数据的平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）将收集到的数据绘制成直方图可以认为这批棉花的纤维长度服从分布(

)2

~,X N μσ

，其中

22,x s μσ≈≈.

①利用正态分布，求()2P X μσ>-；

②纺织厂将A 农场送来的这批优质棉进行二次检验，从中随机抽取20处测量其纤维均值

()1,2,,20y i =，数据如下：

若20个样本中纤维均值2Y μσ>-的频率不低于①中()2P X μσ>-，即可判断该批优质棉花合格，否则认为农场运送是掺杂了次品，判断该批棉花不合格.按照此依据判断A 农场送来的这批棉花是否为合格的优质棉花，并说明理由.

附：若(

)2

~,Z N μσ

，则

()0.6827,P Z μσμσ-<<+=()220.9543.P Z μσμσ-<<+=

3.504≈

【答案】（1）平均数31，方差12.28；（2）该批优质棉花合格. 【解析】（1）1

(4249261628100

x =

?+?+?2430183214341036+?+?+?+? 538)31+?= 22221

s (4795163241100

=

?+?+?+?22218114310557)12.28+?+?+?+?=

（2）棉花的纤维长度(

)2

~,X N μσ

，其中31, 3.504μσ=≈

≈，

①利用正态分布，则()()1

2110.95432

P X μσ>-=-

- 0.97715= ②2312 3.50423.992μσ-=-?≈，故()()223.9921P Y P Y μσ>-=>=>0.97715 故满足条件，所以认为该批优质棉花合格.

9．山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、、、、、、、共8个等级。参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为

、

、

、

、

、

、

、

.等级考试科目成绩计

入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.

某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成

绩属

等级.而

等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：

设该同学化学科的转换等级分为，，求得.