天津市河西区2019-2020学年八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）
A．一条B．两条C．三条D．四条
3．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形D．∠A和∠B互余
4．由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（）
A．1cm，3cm，3cm B．2cm，5cm，6cm
C．8cm，6cm，4cm D．14cm，7cm，7cm
5．已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21B．16C．27D．21或27
6．在下面的四组全等的三角形中，可以看作把△ABC经过翻折（轴对称）而得到△DEF的是（）
A．B．
C．D．
7．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）https://www.360docs.net/doc/2b13589371.html,
A．180°B．360°C．540°D．720°
8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）
A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
10．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）
A．60°B．65°C．75°D．80°
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．点M（3，3）关于x轴对称的点的坐标为．
12．有一角为60°的等腰三角形是．
13．如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为．
15．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC，则C 点的坐标为．（用字母m、n表示）
16．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于．
三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C 的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（），B′（），C′（）．
18．已知：∠α．
求作：∠CAB，使得∠CAB＝∠α．
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．
（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为；
（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数；
（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．
20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°．
（Ⅰ）求∠BCD的度数；
（Ⅱ）若BD＝a，求AB的长度（用a表示）．
21．在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0，2）．（Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB＝；
（Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（﹣3，0），求证：△AOB≌△COD．
22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，AD交CE于点P，且BD＝AE．求证：（Ⅰ）AD＝CE；
（Ⅱ）求∠DPC的度数．
23．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
2019-2020学年天津市河西区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故错误；
C、是轴对称图形，故正确；
D、不是轴对称图形，故错误．
故选：C．
2．要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上的木条的根数为（）
A．一条B．两条C．三条D．四条
【解答】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条，
故选：A．
3．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形D．∠A和∠B互余
【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，
∴∠C＝90°，
即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余
故选：B．
4．由下列长度组成的各组线段中，不能组成三角形的是（）
A．1cm，3cm，3cm B．2cm，5cm，6cm
C．8cm，6cm，4cm D．14cm，7cm，7cm
【解答】解：A、∵1+3＞3，∴能构成三角形，不符合题意；
B、∵2+5＞6，∴能构成三角形，不符合题意；
C、∵6+4＞8，∴能构成三角形，不符合题意；
D、∵7+7＝14，∴不能构成三角形，符合题意．
故选：D．
5．已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为（）A．21B．16C．27D．21或27
【解答】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，11，5+5＝10＜11，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为11时，三边为5，11，11，三边关系成立，周长为5+11+11＝27．故选：C．
6．在下面的四组全等的三角形中，可以看作把△ABC经过翻折（轴对称）而得到△DEF的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、△ABC经过平移得到△DEF，故此选项错误；
B、△ABC经过旋转180°得到△DEF，故此选项错误；
C、△ABC经过旋转得到△DEF，故此选项错误；
D、△ABC经过翻折（轴对称）而得到△DEF，故此选项正确；
故选：D．
7．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【解答】解：黑色正五边形的内角和为：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C．
8．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
【解答】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点，
故选：B．
9．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（）
A．∠DAB′＝∠CAB′B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC＝∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAB′，
∴AE＝CE，
所以，结论正确的是D选项．
故选：D．
10．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动、C点固定，OC＝CD＝DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（）
A．60°B．65°C．75°D．80°
【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11．点M（3，3）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣3）．
【解答】解：点M（3，3）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣3）．
故答案是：（3，﹣3）．
12．有一角为60°的等腰三角形是等边三角形．
【解答】解：若该角为顶角，则其它两底角相等且均为（80°﹣60°）÷2＝60°，则这个三角形是等边三角形；
若该角为底角，则另一个底角也为60°，则顶角为180°﹣60°﹣60°＝60°，则这个三角形为等边三角形．
所以有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
13．如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠C＝∠E（答案不惟一，也可以是AB＝FD或AD ＝FB）．
【解答】解：增加一个条件：∠C＝∠E，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等．（答案不唯一）．
故填：∠C＝∠E．
14．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为10°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D＝∠A＝50°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
15．如图，A（m，0），B（0，n），以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC，则C 点的坐标为（﹣n，n﹣m）．（用字母m、n表示）
【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图1所示．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC．
∵CD⊥BD，BO⊥AO，
∴∠CDB＝∠BOA＝90°．
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°，
∴∠ABO＝∠BCD．
在△ABO和△BCD中，，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴BD＝AO，CD＝BO，
∵A（m，0），B（0，n），
∴BD＝﹣m，CD＝n，
∴点C的坐标为（﹣n，n﹣m），
故答案为：（﹣n，n﹣m）．
16．如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，若AB＝1，BC＝CD＝3，DE＝2，则这个六边形的周长等于15．
【解答】解：如图，分别作边AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．
∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，
∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．
∴△AHF、△BGC、△DPE、△GHP都是等边三角形．
∴GC＝BC＝3，DP＝DE＝2．
∴GH＝GP＝GC+CD+DP＝3+3+2＝8，F A＝HA＝GH﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4，EF＝PH ﹣HF﹣EP＝8﹣4﹣2＝2．
∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15．
故答案为：15．
三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示．
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′，B′，C′分别是A，B，C 的对应点，不写画法）；
（2）直接写出A′，B′，C′三点的坐标：A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）．
【解答】解：（1）
（2）A′（2，3），B′（3，1），C′（﹣1，﹣2）．18．已知：∠α．
求作：∠CAB，使得∠CAB＝∠α．
（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【解答】解：如图所示：∠CAB即为所求：
19．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB．（Ⅰ）若∠A＝60°，则∠BOC的度数为120°；
（Ⅱ）若∠A＝100°，则∠BOC的度数140°；
（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度数，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，
∴∠CBO+∠BCO（180°﹣∠A）（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；
故答案为：120°；
（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，则∠BOC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A ＝140°，
故答案为140°；
（Ⅲ）同理，若∠A＝α，则∠BOC＝180°（180°﹣∠A）＝90°．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°．
（Ⅰ）求∠BCD的度数；
（Ⅱ）若BD＝a，求AB的长度（用a表示）．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°；
（Ⅱ）∵∠BDC＝90°，∠BCD＝30°，BD＝a，
∴BC＝2BD＝2a，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4a．
21．在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，3）和点C（0，2）．（Ⅰ）请直接写出OB的长度：OB＝3；
（Ⅱ）如图：若点D在x轴上，且点D的坐标为（﹣3，0），求证：△AOB≌△COD．
【解答】（I）解：∵点B（0，3），
∴OB＝3，
故答案为：3；
（II）证明：∵点A（2，0），点B（0，3）和点C（0，2），点D的坐标为（﹣3，0），∴OC＝OA＝2，OB＝OD＝3，
在△AOB和△COD中
∴△AOB≌△COD（SAS）．
22．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，AD交CE于点P，且BD＝AE．求证：（Ⅰ）AD＝CE；
（Ⅱ）求∠DPC的度数．
【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中CA＝AB，∠CAE＝∠ABD，
又∵AE＝BD，
在△CAE和△ABD中，，
∴△CAE≌△ABD（SAS）．
∴AD＝CE；
（Ⅱ）∵△CAE≌△ABD，
∴∠BAD＝∠ACE，
∵∠CAF+∠EAF＝60°，
∴∠DFC＝∠F AC+∠ACF＝60°．
23．已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；
（2）直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并证明．
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC＝BC，
∠ACB＝90°，
∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠CBD＝45°，
∴∠CAE＝∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF＝90°，
又∵∠ACE+∠BCF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE＝CG，
（2）解：BE＝CM．
证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH＝90°，∠BEC+∠MCH＝90°，∴∠CMA＝∠BEC，
又∵∠ACM＝∠CBE＝45°，
在△BCE和△CAM中，，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE＝CM．