多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y x y

→→+00

242= （提示：令22

y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2

2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=?

????1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???

?

?22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =，

2222

2

lim

lim

0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件

(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan

，则??u

x

= （ B ） (A)

x

x y 22

+

(B) -

+y x y 22 (C) y

x y 22

+

(D)

-+x

x y 22

6、设f x y y

x

(,)arcsin

=，则f x '(,)21= （ A ） （A ）-

14

（B ）14 （C ）-12 （D ）1

2

7、设y

x

z arctan

=，v u x +=，v u y -=，则=+v u z z （ C ） （A ）22v u v u -- （B ）22v u u v -- （C ）22v u v u +- （D ）2

2v

u u

v +- 8、若f x x x x f x x x x (,),(,)'232612=+=+，则f x x y '

(,)2= （ D ）

(A) x +

3

2

(B) x -

3

2

(C) 21x + (D) -+21x 9、设z y x =，则(

)(,)????z x z

y

+=21 （ A ） (A) 2 (B) 1+ln2 (C) 0 (D) 1

10、设z xye xy =-，则z x x x

'

(,)-= （ D ） (A)-+2122

x x e x () (B)2122x x e x ()- (C)--x x e x ()122 (D)-+x x e x

()122

11、曲线x t y t z t ===24sin ,cos ,在点(,,)202

π

处的法平面方程是 （C ）

(A) 242x z -=-

π (B)

224x z -=-π (C) 42y z -=-π (D) 42

y z -=π

12、曲线45x y y z ==,,在点(,,)824处的切线方程是 （A ）

(A) 84

2204

x z y --=-=

(B)x y z +==+122044 (C)

x y z -=-=-8524

4

(D)

x y z

-=-=3514

13、曲面x z y x z cos cos +-

=ππ22

在点π

π2120,,-?? ???处的切平面方程为 （D ）

（A ）x z -=-π1 （B ）x y -=-π1 （C ）x y -=

π2 （D ）x z -=π

2

14、曲面x yz xy z 2236-=在点(,,)321处的法线方程为 （A ） （A ）

x y z +=--=--58531918 （B ）x y z -=-=--38231

18

（C ）83180x y z --= （D ）831812x y z +-=

15、设函数z x y =-+122，则点 (,)00是函数 z 的 （ B ） （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 16、设函数z f x y =(,)具有二阶连续偏导数，在P x y 000(,)处，有

2)()(,0)()(,0)(,0)(000000======P f P f P f P f P f P f yx xy yy xx y x ，则（ C ）

（A ）点P 0是函数z 的极大值点 （B ）点P 0是函数z 的极小值点 （C ）点P 0非函数z 的极值点 （D ）条件不够，无法判定 17、函数f x y z z (,,)=-2在222421x y z ++=条件下的极大值是 （ C ）

(A) 1 (B) 0 (C)-1 (D) -2 二、填空题 1、极限lim sin()

x y xy x →→0

π

= ??????? .答：π 2、极限lim ln()x y x y e x y

→→++0

1

2

2

2

=??????? .答：ln2

3、函数z x y =+ln()的定义域为 ??????? .答：x y +≥1

4、函数z x

y

=

arcsin 的定义域为 ??????? .答：-≤≤11x ，y ≠0 5、设函数f x y x y xy y x (,)ln =++?? ?

?

?22，则f kx ky (,)= ??????? .答：k f x y 2?(,)

6、设函数f x y xy x y (,)=+，则f x y x y (,)+-= ??????? .答：22

2x y x

-

（22

()()(,)()()2x y x y x y f x y x y x y x y x

+--+-==++-Q ）

7、设f x y x y x y A x y (,)ln()

//=-?+<+≥??

?11212

222222，要使f x y (,)处处连续，则

A= ??????? .答：-ln2

8、设f x y x y x y x y A

x y (,)tan()(,)(,)(,)(,)

=++≠=???

??2222

0000，要使f x y (,)在（0，0）处连续，

则A= ??????? .答：1 9、函数22

1x y z x +=-的间断点是 .答：直线10x -=上的所有点

10、函数f x y x y y

x (,)cos =

-122

的间断点为 ??????? .答：直线y x =±及x =0

11、设z x y y =-+sin()3，则

??z x

x y ===21

_________ .答：3cos5

12、设f x y x y (,)=+22，则f y (,)01= _________ .答：1

13、设u x y z x y z

(,,)=?? ???，则)3,2,1(d u =_________ .答：383161

82d d ln d x y z --

14、设u x x y =

+22

，则在极坐标系下，

??u

r

= _________ .答：0 15、设u xy y x =+，则??22u x = _________.答：23y

x

16、设u x xy =ln ，则???2u x y = ___________ .答：1

y

17、函数y y x =()由12+=x y e y 所确定，则

d d y x = ___________ .答：22xy

e x

y - 18、设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2=++所确定，则

??z

y

= _______ .答：21

12

xyz xy --

19、由方程xyz x y z +++=2222所确定的函数z z x y =(,)在点（1，0，－1）

处的全微分d z = _________ .答：d d x y -2

20、曲线x t y t z t ===2

3213,,在点

(,,)1213

处的切线方程是_________.

答：

x y z -=-=-12221

3

21、曲线x te y e z t e t t t ===232222,,在对应于 t =-1点处的法平面方程是___________.

答：01132=+--e y x

22、曲面xe y e z e e

y z x ++=

+22332

1在点(,,)210-处的法线方程为_________ . 答：e

z

e y x 22212=

-+=

- 23、曲面arctan

y xz 14

+=π

在点(,,)-210处的切平面方程是_________.答：y z +=21

24、设函数z z x y =(,)由方程

12

355242

2x xy y x y e z z +--+++=确定，则函数z 的驻点是_________ .答：（－1，2）

27、函数z x y x y =----2346122的驻点是_________.答：（1，1）

25、若函数f x y x xy y ax by (,)=+++++22236在点 (,)11-处取得极值，则常

数a =_________， b =_________.答：a =0，b =4

26、函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是_______答：-4 三、计算题

1、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.

(1) 221z x y =-- (2)ln()z x y =+ (3)1

ln()

z x y =

+ (4)ln(1)z xy =-

解：(1)要使函数221z x y =--有意义，必须有2210x y --≥，即有221x y +≤.

故所求函数的定义域为22{(,)|1}D x y x y =+≤,图形为图3.1

(2)要使函数ln()z x y =+有意义，必须有0x y +>.故所有函数的定义域为

{}(,)|0D x y x y =+>，图形为图3.2

(3)要使函数1

ln()

z x y =

+有意义，必须有ln()0x y +≠，即0x y +>且

1x y +≠.

故该函数的定义域为{}(,)|01D x y x y x y =+>+≠，，图形为图3.3

(4)要使函数ln(1)z xy =-有意义，必须有10xy ->.故该函数的定义域为

{(,)|1}D x y xy =>，图形为图3.4

O

1

x

y

O 1x

y

x+y=0

图3.1 图3.2

O

1

x y x+y=0

x+y=1

1

O 1

x

y

y=1/x

1

-1

-1

图3.3 图3.4

2、求极限lim sin x y y x

xy →→+-0

211

.

解：lim sin x y y x

xy →→+-0

211=?++→→lim sin ()x y y x xy xy 0

211= 4

3、求极限lim sin()x y x y x y

xy →→-+00

23211

. 解：原式=lim ()

sin()x y x y x y x y xy →→-++0

23

2

2

11=-++?

→→lim

sin()x y x y xy xy 00

21

11=-1

2

4、求极限lim x y x

xye xy

→→-+0

416 .

解：lim x y x

xye xy →→-+0

416=++-→→lim ()x y x xye xy xy 0

416= -8

5、设u x y y x =+sin cos ，求 u u x y ,. 解：u y y x x =-sin sin

u x y x y =+cos cos

6、设z xe ye y x =+-，求z z x y ,. 解：z e ye x y x =--

z xe e y y x =+-

7、设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，试求????z x z

y

,（其中x y +≠0）. 解一：原式两边对x 求导得

y

z x x z

x

z y ????+++=0，则??z x z y y x =-++同理可得：??z y z x y x =-++ 解二：

x

y x

z F F y z x

y y

z F F x z x y y x ++-

=-=++-=-=????, 8、求函数z x xy y x y =-++-+23243122的极值.

解：由z x y z x y x y

=-+==-+-=???4340

3430，得驻点(,)-10

074

33

4>=--==

yy yx

xy xx z z z z D z xx =>40，函数z 在点(,)-10处取极小值z (,)-=-101.

9、设z e x y =+32，而x t y t ==cos ,2，求

d d z t

. 解：

d d (sin )()z

t

e t e t x y x y =-+++3223232=-++(sin )3432t t e x y

10、设z y xy x =ln()，求

????z x z y

,. 解：z y y xy x

y x x x =?+

ln ln 1 z xy xy y

y y x x =+

-11ln()

11、设u a x a x yz a =->+ln ()0，求d u . 解：

??u x a a ax x yz =-+-ln 1，??u y a z a x yz =?+ln ，??u z

ya a x yz =+ln d (ln )d ln (d d )u a a ax x a a z y y z x yz x yz =-+++-+1

12、求函数z x y e xy =++ln()22的全微分.

解：????z x x ye x y e

z y y xe x y e

xy

xy xy

xy =+++=+++222222,

[]

d ()d ()d z x y e

x ye x y xe y xy

xy xy

=

+++++12222 四、应用题

1、要造一容积为128立方米的长方体敞口水池，已知水池侧壁的单位造价是底部的2倍，问水池的尺寸应如何选择，方能使其造价最低？ 解：设水池的长、宽、高分别为x y z ,,米.

水池底部的单位造价为a . 则水池造价()S xy xz yz a =++44 且 xyz =128

令 ()L xy xz yz xyz =+++-44128λ

由 ???????=-==++==++==++=01280440404xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ

得 x y z ===8

2

由于实际问题必定存在最小值，因此当水池的长、宽、高分别为8米、8米、2米时，其造价最低.

2、某工厂生产两种商品的日产量分别为x 和y （件），总成本函数

22128),(y xy x y x C +-=（元）.

商品的限额为42=+y x ，求最小成本. 解：约束条件为042),(=-+=y x y x ?，

构造拉格朗日函数22(,,)812(42)F x y x xy y x y λλ=-+++-，

解方程组160240420

x y F x y F x y F x y λλλ'?=-+=?

'=-++=??'

=+-=?，得唯一驻点)17,25(),(=y x ，

由实际情况知，)17,25(),(=y x 就是使总成本最小的点，最小成本为

8043)17,25(=C （元）.

3、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品甲与生产y 单位的产品乙的总费用是

)33(01.03240022y xy x y x +++++元， 求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

解：),(y x L 表示获得的总利润，则总利润等于总收益与总费用之差，即有

利润目标函数)]33(01.032400[)910(),(22y xy x y x y x y x L +++++-+=

)

0,0(,400)33(01.06822>>-++-+=y x y xy x y x ，

令???=+-='=+-='0)6(01.060)6(01.08y x L y x L y

x

，解得唯一驻点（120，80）.

又因06.0,01.0,006.0-=''=-=''=<-=''=yy xy xx L C L B L A ，得

0105.332>?=--B AC .

得极大值320)80,120(=L . 根据实际情况，此极大值就是最大值．故生产120单位产品甲与80单位产品乙时所得利润最大320元. 五、证明题 1、设

)11(y

x e z +-=, 求证z y

z y x z x 222=??+??.

证明： 因为2)1

1(1x e x z y x ?=??+-, 2)1

1(1

y

e y z y x ?=??+-, 所以

z e e y

z y x z x y x y x 2)1

1()1

1(22=+=??+??+-+- 2、证明函数nx e

y t

kn sin 2-=满足关系式2

2

x y k t y ??=?? 证明：因为nx e kn kn nx e t

y t

kn t kn sin )(sin 2222?-=-??=??--,

nx ne

x y t

kn cos 2-=??, nx e n x

y t kn sin 2222--=??, nx e kn x

y

k t kn sin 2222--=??,

所以22x

y k t y ??=??.

3、设z =xy +xF (u ), 而x

y

u =

, F (u )为可导函数, 证明xy z y z y x z x +=??+???.

证明：y z y x z x ???+???])([])()([y

u u F x x y x u u F x u F y x ??'+?+??'++=

)]([)]()([u F x y u F x

y

u F y x '+?+'-+=

=xy +xF (u )+xy =z +xy .