数理方程第二版课后习题答案

第一章曲线论

§1 向量函数

1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略

2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为

所以。证毕3. 证明

证：

证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有

其中，，介于与之间。从而

上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有

，从而，于是。证毕

5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是

因为，故，从而

为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕

6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此

。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，

其中，为数量函数，令，那么，这说明与

共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕

§2曲线的概念

1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：

法平面的方程为

2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解：，当时，，，

于是切线的方程为：