八上培优5半角模型
八上培优5 半角模型方法:截长补短图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求
证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻折分割构全等。截长法,补短法。
勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题
1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且∠EBF=60゜.求证:EF=AE+CF.
2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证:AE=EF+CF.
3.如图,∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.
勤学早第40页试题
1.(1)如图,已知AB= AC, ∠BAC=90°,∠MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N,过点B作BM 垂直AB交AM于点M,当∠MAN在∠BAC内部时,求证:BM+CN =MN;
N
N
G
B
A
N
证明: 延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠ BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,
证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.
证明二:(此证明方法见新观察培优第27页例3)
(2)如图,在(1)的条件下,当AM和AN在AB两侧时,(1)的结论是否成立?请说明理由.
F
解:不成立,结论是:MN=CN一BM,
证明略.
基本模型二 120°套 60°
2. 如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点,∠DCE=60°,∠DAE= 120°, 求证:DE=BE
C
F
证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD , △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.
3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,点E 为AB 上一点,∠DCE=∠DAE= 60°, 求证:AD+DE= BE.
C
B
A
E
C
B
A
E F
证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ,易证△CBF ≌△CAD , △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.
比较:新观察培优版27页
例4如 图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是顶角,∠BDC= 120°的等腰三角形,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.
A B
D
P
分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°,所以∠BDM十∠CDN=60°,注意到DB=DC,考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起,寻找全等三角形。另一方面,△AMN的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决.
新观察培优68页例5 如图,点A、B(2,0)在x轴上原点两侧, C在y轴正半轴上, OC平分∠ACB.
(1)求A点坐标;
(2)如图1, AQ在∠CAB内部,P是AQ上一点,满足∠ACB=∠AQB, AP=BQ. 试判断△CPQ的形状,并予以证明;
(3)如图2. BD⊥BC交y轴负半轴于D. ∠BDO=60°, F为线段AC上一动点,E在CB延长线上,满足∠CFD+∠E=180°. 当F在AC上移动时,结论: ①CE+CF值不变; ②CE- CF 值不变,其中只有一个正确结论,请选出正确结论并求其值.
x
分析:(1)由∠A0C≌△BOC得AO= BO=2, A(- 2,0).
(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.
(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°,可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA ⊥AC, 连结DA, 加上条件∠CFD+∠E=180°,可证得△ADF?△BDE, 于是CE+CF=2AC= 2AB= 8.
基本模型三 2α°套α°
1.如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连接OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?若成立,请说明;若不成立,说明理由.
解:(1)如图所示,作AE⊥OB于E,
∵A(4,4),
∴OE=4,
∵△AOB为等腰直角三角形,且AE⊥OB,
∴OE=EB=4,
∴OB=8,
∴B(8,0);
(2)如图所示,作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,
∵△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
又∵∠DFC=∠AEC=90°,
∴△DFC≌△CEA(AAS),
∴EC=DF=4,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
∴∠DOF=45°,
∵△AOB为等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°;
(3)AM=FM+OF成立,理由:如图所示,在AM
上截取AN=OF,连EN.
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
又∵∠EAN=∠EOF=90°,AN=OF,
∴△EAN≌△EOF(SAS),
∴∠OEF=∠AEN,EF=EN,
又∵△EGH为等腰直角三角形,
∴∠GEH=45°,即∠OEF+∠OEM=45°,
∴∠AEN+∠OEM=45°
又∵∠AEO=90°,
∴∠NEM=45°=∠FEM,
又∵EM=EM,
∴△NEM≌△FEM(SAS),
∴MN=MF,
∴AM-MF=AM-MN=AN,
∴AM-MF=OF,
即AM=FM+OF;
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质的综合应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.如图,直线L交x轴、y轴分别于A、B两点,A(a,0)B(0,b),且(a-b)2+|b-4|=0 (1)求A、B两点坐标;
(2)C为线段AB上一点,C点的横坐标是3,P是y轴正半轴上一点,且满足∠OCP=45°,求P 点坐标;
(3)在(2)的条件下,过B作BD⊥OC,交OC、OA分别于F、D两点,E为OA上一点,且∠CEA=∠BDO,试判断线段OD与AE的数量关系,并说明理由.
(1)解:∵(a-b)2+|b-4|=0,
∴a-b=0,b-4=0,
∴a=4,b=4,
∴A(4,0),B(0,4);
(2)
FG
2017-2018江汉期中如图点P为△ABC的外角∠BCD的平分线上一点,PA=PB.(1)求证:∠PAC=∠PBC;
(2)作PE⊥BC于E,若AC=5,BC=11,求S△PCE:S△PBE;
(3)若M 、N 分别是边AC 、BC 上的点,且∠MPN=1
2
∠APB ,则线段AM 、MN 、BN 之间有何数量关系,并说明理由.
解:(1)如图1,过点P 作PE ⊥BC 于E ,PF ⊥
AC 于F ,
∵PC 平分∠DCB , ∴PE=PF ,
在Rt △
PAF 和Rt △PEB 中, PF =PE PA =PB ,
∴Rt △PAF ≌Rt △PEB , ∴∠PAC=∠PBC ,
(2)如图2,过点P 作PF ⊥AC 于F ,
∵PE ⊥BC ,CP 是∠BCD 的平分线, ∴PE=PF ,∠PCF=∠PCE , ∵PC=PC ,
∴△PCF ≌△PCE , ∴CF=CE ,
由(1)知,Rt △PAF ≌Rt △PEB , ∴AF=BE ,
∵AF=AC+CF ,BE=BC-CE ,
∴AC+CF=BC-CE ,
∴5+CF=11-CE , ∴CE=CF=3,
∵△PFC ≌△PEC , ∴S △PFC =S △PEC ,
∵Rt △PAF ≌Rt △PEB , ∴S
△PAF =S △PEB ,
∴S △PCE :S △PBE =S △PFC :S △PFA =
12CF ×PF :1
2
AC ×PF =CF :AC=3:(3+5)=3:8;
(3)如图3,在BC 上截取BQ=AM , 在△PMA 和△PQB 中,
PA PB PAM PBQ MA BQ ??
∠∠???
===, ∴△PMA ≌△PQB , ∴PM=PQ ,∠MPA=QPB ,
∴∠APM+∠QPA=∠APQ+∠QPB , 即:∠APB=∠MPQ ,
∵∠MPN=1
2∠APB , ∴∠MPN=1
2
∠MPQ ,
∴∠MPN=∠QPN ,
在△MPN 和△QPC 中,
PN PN MPN QPN MP QP ??
∠∠???
===, ∴△MPN ≌△QPC , ∴MN=QN ,
∴BN=AM+MN .
【点评】此题是三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定和性质,角平分线定理和角平分线的定义,解(1)的关键是判断出PE=PF ,解(2)的关键是求出CE=CF=3,解(3)的关键是构造全等三角形判断出∠APB=∠MPQ ,是一道中等难度的中考常考题.
∴∠FAK=∠FKA ,
∵∠BFD=∠FAK+∠FKA=2∠AKF,∵∠BFD=60°,
∴∠AKF=1
2
∠BFD=30°,
∵△GBA≌△EAC,
∴AG=CE,BG=AE,∠AGB=∠AEC,
∴KG=BG-BK=AE-AF=FE,
在△GAK与△EFC中,
AG=CE
∠AGB=∠AEC
KG=FE,
∴△GAK≌△EFC,
∴∠CFE=∠AKF,
∴∠CFE=∠AKF=30°;
方法二:只要证明△ADB≌△BFC即可解决问题;
(2)如图2,在BF上取BK=AF,连接AK,
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF,
∵∠BFE=∠BAC,
∴∠BAF+∠EAC=∠BAF+ABF,
∴∠EAC=∠FBA,
在△ABK与△ACF中,
AB=AC
∠ABK=∠FAC
BK=AF,
∴△ABK≌△AFC,∴S△ABK=S△ACF,∠AKB=∠AFC,∵∠BFE=2∠CFE,
∴∠BFE=2∠AKF,
∵∠BFE=2∠AKF=∠AKF+KAF,∴∠AKF=∠KAF,
∴△FAK是等腰三角形,
∴AF=FK,
∴BK=AF=FK,
∴S△ABK=S△AFK,
∵S△ABF=S△ABK+S△AFK=2S△ABK=2S△ACF,
∴ABF
ACF
S
S
V
V
=2
故答案为:2.
中考数学 几何专题——半角模型
几何模型之半角模型 一、旋转性质 1.图形对应边相等(易得等腰,且等腰均相似) 2.对应角相等 3.对应点与旋转中心连线构成旋转角,旋转角处处相等 二、半角模型 半角模型(90°含45°) 条件模型结论 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①等腰直角△ABC; ②∠DAE=45° DE2=BD2+CE2 ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°①EF=BE+DF; ②△CEF的周长是正方形周长的一半; ③点A到EF的距离等于正方形的边长. ①正方形ABCD; ②∠EAF=45°EF=DF-BE 三、模型演练 1.如图,在正方形ABCD中,AB=1,E,F分别是边BC,CD上的点,连接EF、AE、AF,过A作AH⊥EF 于点H.若EF=BF+DF.那么下列结论:①AE平分∠BEF;②FH=FD; ③∠EAF=45°;④S△E A F=S△A B E+S△A D F;⑤△CEF的周长为2.其中正确结论的 是.
2.在Rt△ABC中,AB=AC,D?E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ADC绕点A 顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,下列结论①△AEF≌△AED;②∠AED=45°; ③BE+DC=DE;④BE2+DC2=DE2,其中正确的是() A.②④ B.①④ C.②③ D.①③ 3如图,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长. 4.如图,在正方形OABC中,点B的坐标是(4,4),点E、F分别在边BC、BA上,OE=25.若∠EOF=45°,则F点的坐标是. 5.已知:正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交
中考数学常见几何模型简介教学总结
初中几何常见模型解析 模型一:手拉手模型-旋转型全等 (1)等边三角形 ?条件:均为等边三角形 ?结论:①;②;③平分。(2)等腰 ?条件:均为等腰直角三角形 ?结论:①;②; ?③平分。 (3)任意等腰三角形 ?条件:均为等腰三角形 ?结论:①;②; ?③平分 模型二:手拉手模型-旋转型相似 (1)一般情况 ?条件:,将旋转至右图位置 ?结论: ?右图中①; ?②延长AC交BD于点E,必有
(2)特殊情况 ?条件:,,将旋转至右图位置 ?结论:右图中①;②延长AC交BD于点E,必有;③; ④; ⑤连接AD、BC,必有; ⑥(对角线互相垂直的四边形)
模型三:对角互补模型 (1)全等型-90° ?条件:①;②OC平分 ?结论:①CD=CE; ②;③ ?证明提示: ①作垂直,如图,证明; ②过点C作,如上图(右),证明; ?当的一边交AO的延长线于点D时: 以上三个结论:①CD=CE(不变); ②;③ 此结论证明方法与前一种情况一致,可自行尝试。 (2)全等型-120° ?条件:①; ?②平分; ?结论:①;②; ?③ ?证明提示:①可参考“全等型-90°”证法一; ②如图:在OB上取一点F,使OF=OC,证明为等边三角形。(3)全等型-任意角 ?条件:①;②; ?结论:①平分;②; ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时(如右上图): 原结论变成:①;②; ③; 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结: ①常见初始条件:四边形对角互补;注意两点:四点共圆及直角三角形斜边中线; ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别; ③两种常见的辅助线作法; ④注意平分时,相等如何推导?
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。 1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围. 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.
五年级数学培优之比例模型
第八讲 比例模型 例1如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点,且:2:5AD AB =,:4:7AE AC =, 16ADE S =△平方厘米,求ABC △的面积. E D C B A 例2 已知DEF △的面积为7平方厘米,,2,3BE CE AD BD CF AF ===,求ABC △的面积. F E D C B A 例3 如图,长方形ABCD 的面积是36,E 是AD 的三等分点,2AE ED =,则阴影部分的 面积为.
B B 例4 如图,已知5CD =,7DE =,15EF =,6FG =,线段AB 将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG 的面积是. G F E D C B A A B C D E F G 例5 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示).如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的1 3 ,且2AO =,3DO =,那么CO 的长度是DO 的长度的_________ 倍. A B C D O 例6 如图, ABC △中,DE ,FG ,BC 互相平行,AD DF FB ==, 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 .
E G F A D C B A 1如图,三角形ABC 的面积为3平方厘米,其中:2:5AB BE =,:3:2BC CD =, 三角形BDE 的面积是多少? A B E C D D C E B A 2 如图,平行四边形ABCD ,BE AB =,2CF CB =,3GD DC =,4HA AD =,平行四边形ABCD 的面积是2, 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比. H G A B C D E F H G A B C D E F 3如图,三角形ABC 的面积是1,E 是AC 的中点,点D 在BC 上,且:1:2BD DC =,AD 与 BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于.
专题20 半角模型(解析版)
中考常考几何模型 专题20 半角模型 倍长中线或类中线(与中点有关的线段)构造全等三角形 如图①: (1)∠2=2 1 ∠AOB ;(2)OA=OB 。 如图②: 连接 FB ,将△FOB 绕点 O 旋转至△FOA 的位置,连接 F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型精练 1.(2019秋?九龙坡区校级月考)如图.在四边形ABCD 中,∠B +∠ADC =180°,AB =AD ,E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点,且∠EAF =1 2 ∠BAD ,求证:EF =BE ﹣FD . 【点睛】在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG .根据SAA 证明△ABG ≌△ADF 得到AG =AF ,∠BAG =∠DAF ,根据∠EAF =1 2∠BAD ,可知∠GAE =∠EAF ,可证明△AEG ≌△AEF ,EG =EF ,那么EF =
GE =BE ﹣BG =BE ﹣DF . 【解析】证明:在BE 上截取BG ,使BG =DF ,连接AG . ∵∠B +∠ADC =180°,∠ADF +∠ADC =180°, ∴∠B =∠ADF . 在△ABG 和△ADF 中, {AB =AD ∠B =∠ADF BG =DF , ∴△ABG ≌△ADF (SAS ), ∴∠BAG =∠DAF ,AG =AF . ∴∠BAG +∠EAD =∠DAF +∠EAD =∠EAF =1 2∠BAD . ∴∠GAE =∠EAF . 在△AEG 和△AEF 中, {AG =AF ∠GAE =∠EAF AE =AE , ∴△AEG ≌△AEF (SAS ). ∴EG =EF ,
浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷及答案
浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷 考试时间:120分钟满分:120分 一、选择题(本大题有12小题,每小题3分,共36分) 下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的. 1.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h,则h的取值范围是() A. 12cm≤h≤19cm B. 12cm≤h≤13cm C. 11cm≤h≤12cm D. 5cm≤h≤12cm 2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出() A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 (第1题)(第2题)(第3题) 3.如图,在△ABC中,∠ABC=45°,AB=3,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AE=1,连接DE,将△AED 沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内,得到△AEF,连接DF,过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为() A. 8 B. C. D. . 4.如图,BM是△ABC的角平分线,D是BC边上的一点,连接AD,使AD=DC,且∠BAD=120°,则∠AMB=() A. 30° B. 25° C. 22.5° D. 20° (第4题)(第5题)(第6题) 5.如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD 与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下五个结论:①AD=BE; ②PQ∥AE;③CP=CQ;④BO=OE;⑤∠AOB=60°,恒成立的结论有() A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 6.如图,已知AB=A1B,A1B1=A1A2,A2B2=A2A3,A3B3=A3A4…,若∠A=70°,则∠A n﹣1A n B n﹣1(n>2)的度数为() A. B. C. D. 7.如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点得△ABC,则AC边上的高是(). A. B. C. D. 8.如图,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D,AD交CB于点P,CF交AB的延长线于点F,过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G,交AB的延长
第8讲 夹半角模型(word版)
数学故事 古典密码术 大家经常见到的藏头诗实际是一种加密术,它通过坐标变换的方式隐藏了秘密,这个例子虽然很简单,但它反映出了加密术的本质--变换坐标系。 加密术最早应用于古代战争,当时是靠士兵随身携带的信件来传递情报,但总是免不了被敌方俘虏,从而使情报落入敌手,这对作战部队而言可是生死悠关的大事。传说当时的凯撒大帝有一个能加密的办法,就在写命令前做一个对应表: 明码:A B C D E F....W X Y Z 密码:D E F G H I....Z A B C 如果他想写BABY,就用EDEB来表示。当大将收到了EDEB这个密码后,向前推3个字母,就得到了明文。这个对应表的移位数是3,当然别的数也可以,作战前由凯撒定好后通知大将们。 这种加密方式其实就是把坐标系横移了3格,这种方法非常简单,但同时也很容易被敌方猜到,敌人从1到25推25次,得到25组新编码,必有一种编码是真实的情报内容,把这组编码区别出来非常容易,因为其它24组都是毫无意义的字母组合,只有这一组是有意义的句子,找个识字的人就可以看得出来。 凯撒该怎么办呢?有个聪明人帮他出了个主意,对应表不按字母顺序写,而是搞个乱乎的。例如A对Q,B对F,随便配对,只要保证26个明密码对里,每个都出现一次就行了。 每次出征前,凯撒都会临时搞个非常乱乎的明密码对应表,然后发给大将。这招很不错,敌人即使截获了密文,由于不知道明密码对应表,也很难破译出来,这其实也是坐标系的一种变换,这种方法被后人称为“单表系统”。 很多年过去了,有人发现了这种加密方法的漏洞,因为英文字母的出现次数是不同的,例如E出现的次数最多,甚至可以搞出个频次表来,如果一件密文中R出现的次数最多,那这个R会不会就是E呢?这个猜想很合理,即使代表的不是E,那它代表的也应是明文中出现次数较多的字母。按照这种思路试试吧,My God,密码解开了。 现在又轮到加密方纠结了,他们想,破解方是在拿明密文中字母出现的频次做文章,如果我们能把频次的区别消除掉,他们不就没办法了吗?道理虽然很好,但怎样才能消除这种频次的差别呢,毕竟明文中字母的频次就是不一样,这本身没法改变啊。 功夫不负有心人,有一天加密方终于找到了解决问题的关键,这个关键就是“二维”,这个方法被后人称为“多表系统”,就是把明文字母两个一组的重新排列,按组去设置乱码表。明码表有:AA AB...AZ BA BB...BZ CA CB....ZZ,每组再指定一个两个字母的密码对。例如明文BABY,密文就是分别对应BA和BY的两组密码对。这个方法其实就是把一维坐标系扩展成了二维。
半角模型专题专练复习进程
半角模型专题专练
半角模型例题 已知,正方形ABCD 中,∠EAF 两边分别交线段BC 、DC 于点E 、F ,且∠EAF ﹦45° 结论1:BE ﹢DF ﹦EF 结论2:S △ABE ﹢S △ADF ﹦S △AEF 结论3:AH ﹦AD 结论4:△CEF 的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB 结论5:当BE ﹦DF 时,△CEF 的面积最小 结论6:BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论8:EA 、FA 是△CEF 的外角平分线 结论9:四点共圆 结论10:△ANE 和△AMF 是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论11:MN ﹦√2 2EF (可由相似得到) 结论12:S △AEF ﹦2S △AMN (可由相似的性质得到) 结论5的证明: 设正方形ABCD 的边长为1 则S △AEF ﹦1﹣S 1﹣S 2﹣S 3 ﹦1﹣12x ﹣12y ﹣1 2(1﹣x)(1﹣y) ﹦1 2﹣1 2xy 所以当x ﹦y 时,△AEF 的面积最小 结论6的证明: 将△ADN 顺时针旋转90°使AD 与AB 重合 ∴DN ﹦BN ′ 易证△AMN ≌△AMN ′ ∴MN ﹦MN ′ 在Rt △BMN ′中,由勾股定理可得: BM 2﹢BN ′2﹦MN ′2 即BM 2﹢DN 2﹦MN 2 结论7的所有相似三角形:
△AMN ∽△DFN △AMN ∽△BME △AMN ∽△BAN △AMN ∽△DMA △AMN ∽△AFE 结论8的证明: 因为△AMN ∽△AFE ∴∠3=∠2 因为△AMN ∽△BAN ∴∠3=∠4 ∴∠2=∠4 因为AB ∥CD ∴∠1=∠4 ∴∠1=∠2 结论9的证明: 因为∠EAN ﹦∠EBN =45° ∴A 、B 、E 、N 四点共圆(辅圆定理:共边同侧等顶角) 同理可证C 、E 、N 、F 四点共圆 A 、M 、F 、D 四点共圆 C 、E 、M 、F 四点共圆 **必会结论-------- 图形研究正方形半角模型 已知:正方形ABCD ,E 、F 分别在边BC 、CD 上,且?=∠45EAF ,AE 、AF 分别交BD 于H 、G ,连EF . 一、全等关系 (1)求证:①EF BE DF =+;②DG 2﹢BH 2﹦HG 2;③AE 平分BEF ∠,AF 平分DFE ∠. 二、相似关系 (2)求证:①DG CE 2=;②BH CF 2=;③HG EF 2=. (3)求证:④DH BG AB ?=2;⑤HG BG AG ?=2;⑥21=?CF DF CE BE . 三、垂直关系 (4)求证:①EG AG ⊥;②FH AH ⊥;③BE AB HCF =∠tan . (5)、和差关系 求证:①BE DG BG 2=-;②DH DF AD 2=+; ③||2||DG BH DF BE -=-.
金老师教育-中考数学总复习:28特殊三角形--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)
中考总复习:特殊三角形—知识讲解(提高) 【考纲要求】 【高清课堂:等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1.了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念,会识别这三种图形;理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定. 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题. 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质: (1)具有三角形的一切性质; (2)两底角相等(等边对等角); (3)顶角的平分线,底边中线,底边上的高互相重合(三线合一); (4)等边三角形的各角都相等,且都等于60°. 要点诠释:等边三角形中高线,中线,角平分线三线合一,共有三条. 3.判定: (1)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边); (2)三个角都相等的三角形是等边三角形; (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形. 要点诠释: (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念; (2)等边三角形是特殊的等腰三角形. 考点二、直角三角形 1.直角三角形:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形. 2.性质: (1)直角三角形中两锐角互余; (2)直角三角形中,30°锐角所对的直角边等于斜边的一半; (3)在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°; (4)勾股定理:直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方; (5)勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;
八上培优半角模型
八上培优5 半角模型方法:截长补短图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。还有2α套α的情况。求证的结论一般是线段的和与差。解决的方法是:截长补短构造全等三角形。旋转移位造全等,翻折分割构全等。截长法,补短法。 勤学早和新观察均有专题。勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。这些题大同小异,只是图形略有变化而已。证明过程一般要证明两次全等。 下面是新观察第34页1~4题 1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且∠EBF=60゜.求证:EF=AE+CF. 2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证:AE=EF+CF. 3.如图,∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积. 4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,∠B+∠D=180゜,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠BAD=2∠EAF. (1)求证:EF=BE+DF; (2)在(1)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关系.
3.如图3,在四边形ABDC 中,∠B+∠C=180°,DB=DC ,∠BDC=120°,以D 为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点,连接EF ,探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系,并加以证明. 勤学早第40页试题 1.(1)如图,已知AB=?AC, ∠BAC=90°,?∠?MAN=45°, 过点C 作NC?⊥ AC 交AN 于点N ,过点B 作BM?垂直AB 交AM 于点M ,当∠MAN 在∠BAC 内部时,求证:BM+CN?=MN; N N G B A N 证明: 延长MB 到点G ,使BG=CN,连接AG ,证△ABG ≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L ∵∠GAM=∠GAB + ∠ BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L ∠MAN, 证△AMN ≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM 十NC. 证明二:(此证明方法见新观察培优第27页例3) (2)如图,在(1)的条件下,当AM 和AN 在AB 两侧时,(1)的结论是否成立请说明理由. 解:不成立,结论是:MN=CN 一BM, 证明略. 基本模型二 120°套 60° 2. 如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点,∠DCE=60°,∠DAE= 120°, 求证:DE=BE 证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD , △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE. 3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,点E 为AB 上一点,∠DCE=∠DAE= 60°, 求证:AD+DE= BE. 证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ,易证△CBF ≌△CAD , △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE. 比较:新观察培优版27页 例4如 图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BDC 是顶角,∠BDC= 120°的等腰三角形,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长. 分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°,所以∠BDM 十∠CDN=60°,注意到DB=DC ,考虑运用“旋转法”将∠BDM 和∠CDN 移到一起,寻找全等三角形。另一方面,△AMN 的周长AM+AN + MN= AB+ AC+MN-BM- CN. 猜想MN= BM+CN,证三角形全等解决. 新观察培优68页 例5 如图, 点A 、B(2,0)在x 轴上原点两侧, C 在y 轴正半轴上, OC 平分∠ACB. (1)求A 点坐标; (2)如图1, AQ 在∠CAB 内部,P 是AQ 上一点, 满足∠ACB=∠AQB, AP=BQ . 试判断△CPQ 的形状,并予以证明; (3)如图2. BD ⊥BC 交y 轴负半轴于D. ∠BDO=60°, F 为线段AC 上一动点,E 在CB 延长线上,满足∠CFD+∠E=180°. 当F 在AC 上移动时,结论: ①CE+CF 值不变; ②CE- CF 值不变,其中
半角模型专题--优选专练.doc
半角模型例题 已知,正方形 ABCD中,∠ EAF两边分别交线段 BC、 DC于点 E、F,且∠ EAF﹦ 45°结论 1:BE﹢ DF﹦EF 结论 2:S△ABE﹢ S△ADF﹦S△AEF 结论 3:AH﹦ AD 结论 4:△ CEF的周长﹦ 2 倍的正方形边长﹦ 2AB 结论 5:当 BE﹦DF时,△ CEF的面积最小 22 2 结论 6:BM﹢DN﹦MN 结论 7:三角形相似,可由三角形相似的传递性得到 结论 8:EA、 FA是△ CEF的外角平分线 结论 9:四点共圆 结论 10:△ ANE和△ AMF是等腰直角三角形(可通过共圆得到) 结论 11: MN﹦EF(可由相似得到) 结论 12: S△ AEF﹦2S△ AMN(可由相似的性质得到) 结论 5 的证明: 设正方形 ABCD的边长为 1 则S△AEF﹦1﹣S1﹣S2﹣ S3 ﹦1﹣ x﹣ y﹣ (1 ﹣x)(1 ﹣y) ﹦﹣ xy 所以当 x﹦y 时,△ AEF的面积最小 结论 6 的证明: 将△ ADN顺时针旋转 90°使 AD与 AB重合 ′ ∴DN﹦ BN ′ 易证△ AMN≌△ AMN ′ ∴MN﹦ MN ′ 在 Rt△BMN中,由勾股定理可得: 2′ 2′2 BM﹢BN ﹦MN 22 2 即 BM﹢DN﹦MN 结论 7 的所有相似三角形: △ AMN∽△ DFN△AMN∽△ BME△AMN∽△ BAN△ AMN∽△ DMA△AMN∽△ AFE
结论 8 的证明: 因为△ AMN∽△ AFE ∴∠ 3=∠ 2 因为△ AMN∽△ BAN ∴∠ 3=∠ 4 ∴∠ 2=∠ 4 因为 AB∥CD ∴∠ 1=∠ 4 ∴∠ 1=∠ 2 结论 9 的证明: 因为∠ EAN﹦∠ EBN= 45° ∴A、B、E、N 四点共圆(辅圆定 理:共边同侧等顶角) 同理可证 C、E、N、F 四点共圆 A、M、 F、 D 四点共圆 C、E、 M、 F 四点共圆 **必会结论 --------图形研究正方形半角模型 已知:正方形 ABCD ,E、F分别在边 BC 、 CD 上,且 EAF 45 ,AE、AF分别交BD于H、 G ,连EF. 一、全等关系 ()求证:① 2 2 2 平分,平分 DF BE EF ;②DG﹢ BH﹦ HG;③AE BEF AF DFE . 1 二、相似关系 (2)求证:①CE 2DG ;② CF 2 BH ;③ EF 2HG . (3)求证:④AB2 BG DH ;⑤ AG 2 BG HG ;⑥BE DF 1 . CE CF 2 三、垂直关系 (4)求证:①AG EG ;②AH FH ;③tan HCF AB . (5) 、和差关系 BE 求证:① BG DG 2BE ;② AD DF 2DH ; ③ | BE DF | 2 | BH DG | .
中考数学必会几何模型:半角模型
半角模型 已知如图:①∠2=1 2 ∠AOB;②OA=OB. O A B E F 1 23 连接FB,将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置,连接F′E,FE,可得△OEF≌△OEF′ 43 2 1 F' F E B A O 模型分析 ∵△OBF≌△OAF′, ∴∠3=∠4,OF=OF′. ∴∠2=1 2 ∠AOB, ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 又∵OE是公共边, ∴△OEF≌△OEF′. (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; (3)常见的半角模型是90°含45°,120°含60°. 模型实例 例1 已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,它的两边分别交线段CB、DC于点M、N.(1)求证:BM+DN=MN. (2)作AH⊥MN于点H,求证:AH=AB.
证明:(1)延长ND 到E ,使DE=BM , ∵四边形ABCD 是正方形,∴AD=AB . 在△ADE 和△ABM 中, ?? ? ??=∠=∠=BM DE B ADE AB AD ∴△ADE ≌△ABM . ∴AE=AM ,∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°,∴∠BAM+∠NAD=45°. ∴ ∠MAN=∠EAN=45°. 在△AMN 和△AEN 中, ?? ? ??=∠=∠=AN AN EAN M AN EA M A ∴△AMN ≌△AEN . ∴MN=EN . ∴BM+DN=DE+DN=EN=MN . (2)由(1)知,△AMN ≌△AEN . ∴S △AMN =S △AEN . 即EN AD 2 1 MN AH 21?=?. 又∵MN=EN , ∴AH=AD . 即AH=AB .
半角模型(八年级人教版)
半角模型(八上人教版) 知识导航 夹半角模型是初二全等几何另一个非常重要的模型,其证明过程值巧妙,图形变化之丰富,还能与很多知识点(如角平分线定理,勾股定理)相结合,是很多区、校大型考试压轴题中的常客。其辅助线的思路有两种:一是截长补短,二是旋转。学会截长补短可以解决基本问题,而理解旋转才能真正理解这种模型. 已知如图: 1. 1 2= AOB 2 ∠∠ 2. OA OB =。 连接FB ,将△FOB 绕点O 旋转至△FOA 的位置, 连接F ′E 、FE ,可得△OEF ′≌△OEF 。 模型分析 (1)半角模型的命名:存在两个角度是一半关系,并且这两个角共顶点; (2)通过先旋转全等再轴对称全等,一般结论是证明线段和差关系; 夹半角模型分类: (1)90度夹45度;(2)120度夹60度;(3)2α夹α. 题型一 90度夹45度 例1.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°,AB =BC =CD =AD ,E 在BC 上,F 在 CD 上,且∠EAF =45°,求证:(1)BE +DF =EF ( 2)∠AEB =∠AEF .
例2. 如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,45 ∠=?. EAF (1)如图(1),试判断EF,BE,DF间的数量关系,并说明理由; (2)如图(2),若AH EF ⊥于点H,试判断线段AH与AB的数量关系,并说明理由. 例3. 如图,正方形ABCD中,1 AB=,以线段BC、CD上两点P、Q和方形的点A为顶点作正方形的内接等边APQ ?的边长. ?,求APQ 例4.(1)如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点且