量子力学(周世勋)课后答案-第七章

7.1.证明：i z y x =σσσ

??? 证：由对易关系 z x y y x i σσσσσ

?2????=- 及 反对易关系 0????=+x y y x σσσσ

， 得 z y x i σσσ

???= 上式两边乘z σ

?，得 2????z z y x i σσσσ= ∵ 1?2=z σ

∴ i z y x =σσσ

??? 7.2 求在自旋态)(2

1z S χ中，x

S ?和y S ?的测不准关系： ?)()(22=y x S S ??

解：在z S ?表象中)(2

1z S χ、x

S ?、y S ?的矩阵表示分别为 ???? ??=01)(21z S χ ???? ??=01102? x S ???? ??-=002?i i S y ∴ 在)(2

1z S χ态中

00101102)0 1(2121=???

?

?????? ??==+ χχx x S S 4010110201102)0 1(?2

22

2

121 =???? ?????? ?????? ??==+

χχx

x

S S 4

)(22

22

=-=?x

x

x S S S 001002)0 1(?212

1=???

? ?????? ??-==+i i S S y y χχ 401002002)0 1(?222

2

121 =???

? ?????? ??-???? ??-==+

i i i i S S y y

χχ 4

)(22

22

=-=?y

y

y S S S

16

)()(4

2

2

=??y x S S ①

讨论：由x

S ?、y S ?的对易关系 [x S ?，y S ?]z

S i ? = 要求 4

)()(2

2

2

2z y x S S S ≥??

在)(2

1z S χ态中，2

=

z S ∴ 16

)()(4

2

2

≥y x S S ??

可见①式符合上式的要求。

7.3.求???

? ??--=???? ??=002?01102?i i S S y x 及的本征值和所属的本征函数。 解：x S ?的本征方程为01102a a b b λ??????= ??? ?

??????

移项得: 20

2

a b λ

λ?

?

- ???=

? ? ???- ???

x

S ?的久期方程为

02

2=--λ

λ

可得 20)2(22 ±=?=-λλ

∴ x

S ?的本征值为2

±。 设对应于本征值2

的本征函数为 ???? ??=112/1b a χ 由本征方程 2

/12/12

?χχ =x S ，得

????

??=???? ?????? ??1111201102b a b a 111111 a b b a a b =????

? ??=???? ??? 由归一化条件 12/12/1=+χχ，得

1),(11*1*1=???

? ??a a a a 即 122

1=a ∴ 2

1 2

111=

=

b a

对应于本征值2 的本征函数为 ???

?

??=11212/1χ 设对应于本征值2

-的本征函数为 ???? ??=-222/1b a χ 由本征方程 ???? ??-=--222/12/12?b a S x χχ 222222 a b b a a b -=?????

??--=???? ??? 由归一化条件，得

1),(22

*2*2

=???? ??--a a a a 即 122

2

=a ∴ 2

1 2

122-

==

b a

对应于本征值2 -

的本征函数为 ???

?

??-=-11212/1χ 同理可求得y

S ?的本征值为2 ±。其相应的本征函数分别为 ???? ??=i 12121χ ???? ??-=-i 12121χ #

7.4 求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影

γβαcos ?cos ?cos ??z

y x n S S S S ++= 的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量z S ?有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？z

S ?的平均值是多少？ 解：在z S ? 表象，n

S ?的矩阵元为 γβαcos 10012cos 002cos 01102????? ??-+???? ??-+???? ??= i i S n ???

?

??

-+-=γβ

αβαγcos cos cos cos cos cos 2i i S n 其相应的久期方程为

0cos 2

)cos (cos 2)cos (cos 2cos 2=--+--λγβαβαλγ i i 即0)cos (cos 4

cos 42222

22

=+--βαγλ )1cos cos cos (222=++γβα利用

得0422

=- λ ? 2

±=λ 所以n

S ?的本征值为2 ±。 设对应于2

=

n S 的本征函数的矩阵表示为???

? ??=b a S n )(21χ，则 ???

?

??=???? ?????? ??

-+-b a b a i i 2cos cos cos cos cos cos 2 γβ

αβαγ b b i a =-+?γβαcos )cos (cos

得γ

β

αcos 1cos cos ++=

i b

由归一化条件，得2

2*

*

),(12

121b a b a b a +=???

? ??==+

χχ

1cos 1cos cos 2

2

2

=+++a i a γ

βα

1cos 122

=+a γ

?????

?

??+++=)cos 1(2cos cos 1cos 1)(2

1γβαγχi S n

12

112

210()01()()n z z S S S χχ-??

=

????

=

可见， z

S ?的可能值为 2

2 - 相应的几率为 2

cos 1γ

+ 2cos 1)cos 1(2cos cos 22γγβα-=++

γγγcos 2

2cos 122cos 12

=--+=

z S

同理可求得 对应于2

-=n S 的本征函数为

?

???

?

?

??-+--=-)cos 1(2cos cos 2cos 1)(2

1γβαγχi S n 在此态中，z

S ?的可能值为 2 2 - 相应的几率为 2cos 1γ- 2

cos 1γ

+

γcos 2

-=z S

#

7.5设氢的状态是 ?????

?

??-=),()(23),()(2

110211121?θ?θψY r R Y r R

①求轨道角动量z 分量z L ?和自旋角动量z 分量z

S ?的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ??2?

μ

μ--=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩表示）。 解：ψ可改写成

???? ??-???? ??=10),()(23

01),()(2110211121?θ?θψY r R Y r R z z S Y r R S Y r R (),()(23

)(),()(212

11021211121--=

χ?θχ?θ

从ψ的表达式中可看出z

L ?的可能值为 0 相应的几率为

41 4

3 4

=

?z L z

S ?的可能值为 2 2 - 相应的几率2

i C 为

41 4

3

4

4324122

-=?-?=

=∑zi i z S C S )4(422 -?-?-=--

=μμμμe e S e L e M z z z B M e 4

142=?= μ 7.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两

个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？

解：体系可能的状态有4个。设两个单粒子态为i φ，j φ，则体系可能的状态为

)()()(3211q q q i i i φφφ=Φ )()()(3212q q q j j j φφφ=Φ

3123132231()()()()()()()()()]i i j i i j i i j q q q q q q q q q ?????????Φ=

++

4123132231()()()()()()()()()]j j i j j i j j i q q q q q q q q q ?????????Φ=

++

7.8 设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是221()2

U r r μω=。如果

电子之间的库仑能和)(r U 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。

解：体系的哈密顿算符为

12

22

232

22221???11??2222i i i i i ij j ij H H H H T U r r r μωμωμμ==+???=+=-?+=-+ ? ????

∑

不考虑空间-自旋相互作用，电子波函数写为空间部分和自旋部分之积。电子波函数的空间部分12(,)r r ψ满足定态S-方程

1212?(,)(,)H r r E r r ψψ=

可以用分离变量法得到12(,)r r ψ为每个电子在每个空间维度的波函数之积

12(,)()ij ij

r r r ψψ=∏，ij ij

E E =∑

其中 2222

1()()22ij ij ij ij ij r r E r r μωψψμ???-+= ? ????

即为一维谐振子势下的S-方程。 可得 ()

1

()2

ij

ij n

E n ω=+，()()ij nij ij r r ψψ=。

一个电子处于基态，即三个方向n j =0，波函数为000()()()x y z ψψψ 另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，

1,0

x y z n n n ===，波函数为

100()()()x y z ψψψ。

总空间波函数为 010*********()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ'=

或

110101020202()()()()()()x y z x y z ψψψψψψψ''=

考虑电子的全同性，电子为费米子，

波函数要求满足交换反对称性。所以空间波函数应为对称或反对称波函数。

1. 空间对称波函数12(,)()/s r r ψψψ'''=+总波函数为12(,)s A r r ψχ

2. 空间反对称波函数12(,)()/A r r ψψψ'''=- 总波函数为12(,)1,2,3A S

r r α

ψχα=

下面有01,ψψ的具体形式，不作要求。

)()()()(22r E r r U r ψψψμ=+?-

)()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+??+??+??- )()(21)()(2222222222r E r r r z y x ψψμωψμ=+??+??+??- 考虑到 2222z y x r ++=，令

)()()()(z Z y Y x X r =ψ

EXYZ XYZ z y x XYZ z

y x =+++??+??+??-)(21)(222222222222μωμ E z x Z Z y x Y Y x x X X =+??-

++??-++??-)2

112()2112()2112(2

22

2

2

222

2222222μωμμωμμωμ

x E x x X X =+??-?)2112(2

22

22μωμ y E y x Y Y =+??-)21

12(222

22μωμ z E z x Z Z =+??-)2112(222

22μωμ z y x E E E E ++=

)()(222

1

x H e N x X n x n n αα-=?

)()(222

1

y H e N y Y m y m m αα-=

)()(222

1

z H e

N z Z z αα -=

)()()()(2221

z H y H x H e N N N r m n r m n nm αααψα -= )()()()(222

1

z H y H x H e

N N N r m n r m n nm αααψα -=

ω )(23+++=m n E nm

其中 !

22/1n N n n πα=

，

μω

α=

对于基态0=== m n ，10=H

2

221

2/30000)()(r

e

r απ

αψψ-==?

对于沿χ方向的第一激发态01=== m n ，， x x H 2)1α=（

2

22

1

2/30000)()(r

e r απ

α

ψψ-==

222

1

4

/32/5100122)(r xe

r απ

αψψ-=

=

两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为

))](()()([2

1),(2011211021r r r r r r S ψψψψψ+=

][)(2

1

1)

(21

22/34

2221222212

r r r r e

x e x +-+-+=ααπ

α

)

(21

122/34

22212

)(r r e x x +-+=απ

α

)]()()()([2

1),(1120211021r r r r r r A ψψψψψ-=

)

(21

122/34

22212

)(r r e x x +--=απ

α

而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即

)3(S )2(S )1(S χχχ、、和A χ

综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即 独态： A S r r χψ),(211=Φ

三重态： ??

???=Φ=Φ=Φ)3(214)

2(213)1(212),(),(),(S A S A S A r r r r r r χψχψχψ