平面向量的正交分解和坐标表示及运算
复习回顾
1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ）
A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )
A.3 B .-3 C.0 D.2
4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值.
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
一、基本概念
1．平面向量的坐标表示
（1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。
(3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝
下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。
(4).
. 向量的坐标运算
①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________;
b a -=__________________ ; a λ=___________________.
(5). 向量平行的坐标表示:b a // ?______________________ .
（6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ .
二． 典例分析
例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求 的坐标.
(1,2),(2,1),AB A B =-u u u r （2）已知求 的坐标.
(1,2),(2,1),AB B A =-u u u r （3）已知求 的坐标.
(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+r r r r r r r r 练习1 .已知求 的坐标.
2.已知点
()A -1,5和向量()2,3a =r ，若AB=3a u u u r r ，则点B 的坐标为_____________________ .
例2、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、
（-1，3）、（3，4），求顶点D 的坐标.
变式. 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
例3. (2012·绍兴模拟)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD ＝ ( )
A．(2,4) B．(3,5)
C．(－3，－5) D．(－2，－4)
变式．(2012·淮安模拟)已知向量a ＝(6,4)，b ＝(0,2)，OC ＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数
y ＝sin ? ??
??π12x 的图象上，则实 数λ的值为________．
例4. (2011·广东高考)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．
若λ为实数，(a ＋λb )∥c 则λ＝ ( )
A.14
B.12 C ．1
D ．2
变式．(2011·北京西城区期末)已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若AB∥a，则实数y的值为 ( ) A．5 B．6
C．7 D．8
例5．已知向量
)3,2(
=
a
，
)6,
(x
b=
，且b
a//，则=
x_____________________ .
练习1．已知向量
(1,1),(1,2)
a b
=-=
r r
，且
(2)//()
a b a b
λ
+-
r r r r
，则=
λ_____________________ ．
2.已知
(1,2),(,1),2
a b x u a b
===+
r r r r r
，2
v a b
=-
r r r
，且//
u v
r r
，求实数x；
本节检测
1．设平面向量a＝(－1,0)，b＝(0,2)，则2a－3b＝( ) A．(6,3) B．(－2，－6)
C．(2,1) D．(7,2)
2．(2012·黔西南州模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x)，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
3．(2012·宁德模拟)已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于(
) A ．－12a ＋32b B.12a －32b
C ．－32a －12b
D ．－32a ＋12b
4．(2012·嘉兴模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB u u u r ＝λa ＋b ，AC u u u r ＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
5．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交
于点F.若AC u u u r ＝a ，BD u u u r ＝b ，则AF u u u r ＝( )
A.14a ＋12
b B.23a ＋13b C.12a ＋14
b D.13a ＋23
b
6．(2011·湖南高考)设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．
7．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示
为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b.
巩固练习：
1．若M(3，
-2) N(-5， -1) 且 21=MP ， 求P 点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)
， C(3， 4) ， 则AB -2BC = .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.
4．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2
＝? ????12
，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是 （ ） A ．① B ．①③
C ．②③
D ．①②③
5．已知向量a ＝(1,1)，2a ＋b ＝(4,3)，c ＝(x ，－2)且b ∥c ，则x 的值为 ( )
A ．4
B ．－4
C ．2
D ．－2
6．已知两点
A (4,1)，
B (7，－3)，则与AB 同向的单位向量是 ( )
A.? ????35，－45
B.? ??
??－35，45 C.? ????－45，35 D.? ????45
，－35
7．在平行四边形ABCD 中，若AB ＝(1,3)，AC ＝(2,5)，则AD ＝________，BD ＝________.
平面向量的坐标运算(教案)
平面向量的坐标运算（一）（教案） 教学目标： 知识与技能：（1）理解平面向量的坐标概念；（2）掌握平面向量的坐标运算. 过程与方法：（1）通过对坐标平面内点和向量的类比，培养学生类比推理的能力； （2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、演绎的能力； （3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力. 情感、态度与价值观:（1）让学生在探索中体验探究的艰辛和成功的乐趣，培养学生锲而不舍的求索精神和合作交流的团队精神，提高学生的数学素养； （2）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性，进而理解数学的本质； （3）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律. 教学重点和教学难点： 教学重点：平面向量的坐标运算； 教学难点：平面向量坐标的意义. 教学方法：“引导发现法”、“探究学习”及“合作学习”的模式. 教学手段：利用多媒体动画演示及实物展示平台增加直观性，提高课堂教学效率. 教学过程设计： 一、创设问题情境，引入课题. 同学们，我们知道，向量的概念是从物理中抽象出来的，人们最初对向量的研究是从几何的的角度来进行的，但是随着问题的不断深入，我们发现用图形来研究向量有一些不便之处，那么，有没有一种更简洁的方式可以来表示向量呢？ 我国著名数学家华罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”图形关系往往与某些数量关系密切联系在一起，数与形是互相依赖的，所以我们想到了用数来表示向量. 思路一：用一个数能否表示向量？（请学生回答） （不能，因为向量既有大小，又有方向）
思路二：用两个数能否表示向量？（引导学生思考） 在平面直角坐标系内，一个点和一对有序实数对之间有一一对应的关系，那么，向量是否也能找到与之对应的实数呢？ 让我们先来探讨这样一个问题： 探究一：如图，为互相垂直的单位向量，请用,i j 表示图中的向量,,,.a b c d 使1122=a e e λλ+ ，其中的1e ，2e 称为平面的一组基底. 强调：基底不唯一，只要不共线，就可作为基底，而一旦基底选定，任一向量在基底方向的分解形式就是唯一的. 二、理解概念，加深认识. 根据平面向量基本定理，我们知道，在选定基底的情况下，所给,,,.a b c d 四 个向量在基底方向的分解形式是唯一的，也就是说，这几个向量用基底、来表示的形式是唯一的，每个向量对应的这对实数对我们就将其称之为向量的坐标. 推广到平面内的任意向量，我们怎样来定义向量的坐标？（引导学生思考，请学生尝试给出定义） 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 a xi yj =+ …………○ 1 我们把),(y x 叫做向量的（直角）坐标，记作
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 【教学目标】 1、知识与技能 理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。 2、过程与方法 在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。 3、情感、态度与价值观 让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。 【教学重点】 平面向量的坐标运算。 【教学难点】 理解向量坐标化的意义。 【教学过程】 〖创设情境 导入新课〗 【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果， 一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑； 一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。 类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和 22e λ，使1122a e e λλ=+。而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。 我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取 两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{} ,i j 可以作为一个基底。由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。既然我们现在是在平面 直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。那么，如果我们把向量也放入直角坐标系内，向量又能否用一个有序实数对来作为它的坐标呢？今天我们就在平面向量基 本定理基础之上来探讨这个问题:平面向量的坐标运算 【问题】如图所示：（1）写出A B 、两点的坐标； （2）若1i j ==，以向量,i j 为基底表示向量a 。 【交流】（1）()()__,__,__,__A B ； （2）__a i j =+。【猜想】a 的坐标为 。 〖合作交流 解读探究〗 j i a B A 4321 4 3 21 O y x
向量的坐标表示及其运算
资源信息表
（2）向量的坐标表示及其运算（2） 一、教学内容分析 向量是研究数学的工具，是学习数形结合思想方法的直观而又生动的内容.向量的坐标以及向量运算的坐标形式，则从“数、式”的角度对向量以及向量的运算作了精确的、定量的描述.本节课是向量的坐标及其运算的第二课时，一方面把“形”与“数、式”结合起来思考，以“数”入微，借“形”思考，体会并感悟数形结合的思维方式；另一方面通过例5的演绎推理教学，体会代数证明的严谨性，也为定比分点（三点共线）的教学提供基础. 二、教学目标设计 1．理解并掌握两个非零向量平行的充要条件，巩固加深充
要条件的证明方式； 2．会用平行的充要条件解决点共线问题； 3、定比分点坐标公式. 三、教学重点及难点 课本例5的演绎证明； 分类思想，数形结合思想在解决问题时的运用； 特殊——一般——特殊的探究问题意识. 五、教学过程设计： 复习向量平行的概念： 提问：（1）升么是平行向量方向相同或相反的向量叫做平行向
量。 （2）实数与向量相乘有何几何意义 （3）由此对任意两个向量,a b ，我们可以用怎样的数量关系来刻画平行对任意两个向量,a b ，若存在一个常数λ，使得 a b λ=?成立，则两向量a 与向量b 平行 （4）思考：如果向量,a b 用坐标表示为) ,(),,(2211y x y x ==能否用向量的坐标来刻画这个数量关系12 12 x x y y λλ=??=? 思考：如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x y x ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 由此，通过改进引出 课本例5 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==， 则//a b 的充要条件是1221x y x y =. 分析：代数证明的方法与技巧，严密、严谨. 证明：分两步证明， （Ⅰ）先证必要性：//a b 1221x y x y ?= 非零向量//a b ?存在非零实数λ，使得a b λ=，即
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(教、学案)
2. 3.2平面向量正交分解及坐标表示 教学目标： （1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算； （3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线. 教学重点：平面向量的坐标运算 教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程： 一、复习引入： ， 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22 e (1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、讲解新课： 1．平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得 yj xi a += (1) 1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 ` ),(y x a = (2) 2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○ 2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .
特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=. 如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，则点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算 （1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=， b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++= 即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= @ （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标. AB =OB OA =( x 2， y 2) (x 1，y 1)= (x 2 x 1， y 2 y 1) （3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例： 例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标. 例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标. 例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
《空间向量的正交分解及其坐标表示》 教学设计 杨华 燕大附中
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 一、教学任务及对象 1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算 【考纲要求】 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【基础知识】 一、平面向量基本定理 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得2211e e λλ+=，不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 二、平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量、作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a 可表示成a xi y j =+，由于a 与数对(,)x y 是一一对应的，因此把(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫作a 在y 轴上的坐标. 规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无
关，只与其相对位置有关。 三、平面向量的坐标运算 1、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b +=1212(,)x x y y ++. 2、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a b -=1212(,)x x y y --. 3、设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. 4、设a =()y x ,，R ∈λ，则λa =(,)x y λλ. 5、设a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //12210x y x y ?-=（斜乘相减等于零） 6、设a =()y x ,，则22a x y =+ 四、两个向量平行（共线）的充要条件 1、如果0a ≠，则b a //的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=（没有坐标背景） 2、如果a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则b a //的充要条件是12210x y x y -=(坐标背景) 五、三点共线的充要条件 1、A 、B 、C 三点共线的充要条件是AB BC λ= 2、设OA 、OB 不共线，点P 、A 、B 三点共线的充要条件是 (1,,)OP OA OB R λμλμλμ=++=∈. 特别地，当12 λμ==时，P 是AB 中点。
高中数学 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教案 新人教A版选修2-1
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学： 如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。 因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则
a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。 例题分析： 例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。 例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。 例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。 练习：见学案 小结： 作业：见作业纸
人教版高中数学B版必修4练习 向量的正交分解与向量坐标运算
2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、基础过关 1． 已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3 2 b 等于 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 2． 已知a －1 2 b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于 ( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2) 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为 ( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 4． 已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12 MN → ，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－8,1) B.????1，32 C.? ???－1，－3 2 D ．(8，－1) 5． 已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14BC → 的坐标是________． 6． 已知A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2,0)，D (x ，y )，且AC →＝2BD → ，则x ＋y ＝________. 7． 设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)．若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的 有向线段首尾相接能构成四边形，求向量d . 8． 已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a 、b 表示p . 二、能力提升 9． 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD → 等于 ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)
平面向量基本定理与平面向量正交分解及坐标表示
编号：001 §2.3.1平面向量基本定理 §2.3.2平面向量正交分解及坐标表示 班级: 姓名: 【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【重难点】平面向量基本定理；正交分解下的坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接： 复习1：向量b 、() 0a a ≠是共线的两个向量，则a 、b 之间的关系可以表示为 . 复习2：给定平面内任意两个向量1e 、2e （如下图），请同学们作出向量1232e e +、122e e - . （二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理 学法指导： 在物理中我们研究了力的合成与分解，力的合成与分解互为逆运算，都符合平行四边形 法则：如果用表示两个共点力F1和F2的线段为邻边作平行四边形，那么合力F 的大小和方向就可以用F1、F2所夹的角的大小来表示。（注：已知分力要求合力，叫做力的合成。已知合力要求分力叫做力的分解。） 即力的合成就是由平行四边形的两邻边求对角线的问题。力的分解是力的合成的逆运算，同样遵循的平行四边形定则。力的分解就是由对角线求两邻边的问题，这是我们在物理中学过的知识。在数学中，物理中的力，本质上就是我们数学中的向量，如果已知平面内的某一向量m （其中m 为非零向量），就可以按照平行四边形法则，将其分解到两个向量1e ，2e （其中1e ，2e 为非零向量）两个方向。分解到1e 方向的向量记为a ，则a 与1e 共线，即11a e λ=，分解到2e 方向的向量记为b ，则b 与2e 共线，即22b e λ=，那么1122m a b e e λλ=+=+. 问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如1122e e λλ+的向量表示呢？ 1.平面向量的基本定理:如果1e ,2e 是同一平面内两个 的向量，a 是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数1λ，2λ，使 。其中，不共线的这两个向量,1e 2e 叫做表示这一平面内所有向量的基底。 问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？ 2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a b ，作=a ，=b ，则 叫 做向量a 与b 的夹角。如果,θ=∠AOB 则θ的取值范围是 。当 时， 表示a 与b 同向；当 时，表示a 与b 反向；当 时，表示a 与b 垂直。 记作：a b ⊥.在不共线的两个向量中，90θ=，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为 _____________，叫做把向量正交分解。 问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于 直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？ 3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x 、y ，使得____________，这样，平面内的任一向量 a 都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x 叫做 a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示：i =__________，j =__________，0=__________ 二、合作探究 【例1】（见课本P94例1） 【例2】已知梯形ABCD 中，//AB DC ，且2A B C D =，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD a =， AB b =。试用,a b 为基底表示DC 、BC .
平面向量的坐标运算
平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝xi ＋yj ，则把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)， a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝(λx ，λy )，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量 AB 的起点 A (x 1，y 1)，终点 B (x 2，y 2)，则 AB ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即向量的坐标等于表示此向量的有 向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ∥b ?a ＝λb ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a ＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b ＝(0，y )． 2．已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M (－1，－2)．
平面向量的正交分解和坐标表示及运算
复习回顾 1、下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 2.已知向量a ＝1e -22e ，b ＝21e +2e ，其中1e 、2e 不共线，则a +b 与c ＝61e -22e 的关系（ ） A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( ) A.3 B .-3 C.0 D.2 4.设1e 与2e 是两个不共线向量, a =31e +42e ,b =-21e +52e ,若实数λ、μ满足λa +μb =51e -2e ,求λ、μ的值. 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 一、基本概念
1．平面向量的坐标表示 （1）____________________________________________________________则称这两个向量互相垂直. （2）.在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量1e ，2e ，这时，就在坐标平面内建立了一个正交基底｛1e ，2e ｝，1e ，2e 分别是x 轴和y 轴上的____________，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的_____________。 (3).在坐标平面xOy 内，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在惟一的有实数对（x ，y ），使得a =x 1e +y 2e ，（x ，y ）就是向量a 在基底｛1e ，2e ｝ 下的__________________，即a =________________________,其中x 叫做向量a 在x 轴上的____________，y 叫做a 在y 轴上的____________。 (4). . 向量的坐标运算 ①平面向量的坐标运算:若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则b a +=__________________; b a -=__________________ ; a λ=___________________. (5). 向量平行的坐标表示:b a // ?______________________ . （6）. 向量模的公式:设a =(x,y),则=a _____________________ . 二． 典例分析 例1、(2,3),(3,5),A B BA =-u u u r (1)已知求 的坐标.
专题3-空间向量的正交分解与坐标表示
23,,e e 为有公共起点O 的三个两两
点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得 =a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________． 注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算 （1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323?=?=?=e e e e e e __________． （2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331?=?=?=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算 空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则 （1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ， 112233(,,)a b a b a b -=---a b ， 123(,,)a a a λλλλ=a ， 112233a b a b a b ?=++a b ； （2）112233,,a b a b a b λλλλ?=?===∥a b a b ， 11223300a b a b a b ??=?++=⊥a b a b ， =?=|a |a a __________， 112233 22222 2 123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++= ++++<>a b ； （3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离 ||d AB == 222121212()()()x x y y z z -+-+-． 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(讲义版)
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算 一、 考情分析 1.了解平面向量的基本定理及其意义； 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 二、 知识梳理 1.平面向量的基本定理 如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2. 其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}.a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 4.平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [微点提醒] 1.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)且a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. 2.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的. 三、 经典例题
高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案 新人教A版必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 整体设计 教学分析 平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因. 在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j. 于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想. 三维目标 1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理. 2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 重点难点 教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面 向量的坐标表示. 教学难点:平面向量基本定理的运用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手
《向量的分解和向量的坐标运算》习题
《向量的正交分解和向量的坐标运算》习题 一、选择题 1．(08·广东理)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF → ＝( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋1 4 b D.13a ＋23 b 2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 3．(08·湖南)设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA → ，AF → ＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC → ( ) A ．反向平行 B ．同向平行 C ．互相垂直 D ．既不平行也不垂直 4．在?ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AM →＝4MC →，P 为AD 的中点，则MP → ＝( ) A.45a ＋3 10 b B.45a ＋1310 b 5．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2 ＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D.6或－ 6 6．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.2 3 B.43 C ．－3 D ．0 7．(09·全国Ⅰ文)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )
平面向量坐标运算
ξ10向量的数量积.平移 一．知识精讲 1． 数量积的概念 （1） 向量的夹角：如图，已知两个向量a 和b ，使=a,=b 。则)1800( ≤≤=∠θθAOB 叫做响亮a 与b 的夹角，记为
向量的分解与向量的坐标运算
§2.2向量的分解与向量的坐标运算 第一课时 平面向量基本定理 一、自主学习 1、平面向量基本定理 （1）定理：如果21e e 和是一个平面内的两个 的向量，那么该平面内的 a ，存在唯一的 a 1, a 2，使a = . （2）基底与向量的分解 把 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 },{21e e 。2211e a e a +叫做向量a 关于基底},{21e e 的分解式。 2、直线的向量参数方程式 （1）向量的参数方程 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点（如上图所示），则对直线l 上 一点P ，一定存在惟一的一个实数t 与之对应，向量等式= ，反之，对每一个数值，在直线l 上都有 的一个点P 与对之对应，向量等于OP = + 叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称 。 （2）线段中点的向量表达式 在向量等式t t +-=)1(中，若t= ，则点P 是AB 的中点，且= 。 这是线段AB 的中点的向量表达式。 二、典例解析 中，M 、N 分别是边DC 、BC 的中点。 （1）求证：MN BD 21； （2）设b y a x MN b AD a AB +===且,，求x, y 的值。 三、小结 四、课后作业 1、下列三种说法： ①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底； ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可以作为基底中的向量。 其中正确的是（ ） ∥
A 、①② B 、②③ C 、①③ D 、①②③ 2、已知b n a m c +=，要使c b a ,,的终点在一条直线上（设c b a ,,有公共起点）， ),(,R n m n m ∈需满足的条件是（ ） A 、1-=+n m B 、0=+n m C 、1=-n m D 、1=+n m 3、OC OB OA ,,的终点A ，B ，C 在一条直线上，且, 3CB AC -=设 q OB p OA ==,，r =，则以下等式成立的是（ ） A 、q p r 2 321+-= B 、q p r 2+-= C 、q p r 2123-= D 、p q r 2+-= 4、设)(3,82),5(2 2b a b a b a -=+-=+=，则共线的三点是（ ） A 、A ，B ，C B 、B ，C ，D C 、A ，B ，D D 、A ，C ，D 5、在△ABC 中，BC EF //,5 1=交AC 于F 点，设b AC a AB ==,，用b a ,表示向量BF 为 。 6、设M 、N 、P 是△ABC 三边上的点，它们使31,31,31===，若b a ==,，试用b a ,将,,表示出来。 §2.2向量的分解与向量的坐标运算 第二课时 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 一、自主学习 1、（1）如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直。 （2）如果平面向量基底的两个基向量互相 ，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做 。 （3）在直解坐标系内，分别取与x 轴和y 轴方向 的单位向量21,e e ，对任一向量，存在唯一的有序实数对（a 1, a 2），使得2211e a e a a += ， 就