九年级数学上册期末试卷测试卷(解析版)

九年级数学上册期末试卷测试卷（解析版）

一、选择题

1．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）

A ．（﹣1，2）

B ．（﹣1，﹣2）

C ．（1，﹣2）

D ．（1，2） 2．关于x 的一元一次方程122a x m -+=的解为1x =，则a m -的值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3

D ．2

3．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ） A ．x ＝0 B ．x ＝3 C ．x 1＝0，x 2＝3 D ．x 1＝0，x 2＝－3 4．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ）

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

5．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x ﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围

是（ ） A ．k ＞﹣1 B ．k ＜1且k≠0

C ．k≥﹣1且k≠0

D ．k ＞﹣1且k≠0

6．若25x y =，则x y y

+的值为（ ） A ．

25 B ．

72

C ．

57

D ．7

5

7．如图，已知O 的内接正方形边长为2，则O 的半径是（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．22 8．已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．无法判断

9．sin60°的值是( ) A ．

B ．

C ．

D ．

10．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（ ）

A ．40°

B ．50°

C ．80°

D ．100° 11．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠

E =40°，则∠

F 的度数为（ ）

A ．40

B ．60

C ．80

D ．100

12．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，90,105A ABC ??∠=∠=．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）

A ．2

B ．3

C ．

32

D ．2

二、填空题

13．若方程2410x x -+=的两根12,x x ，则122(1)x x x 的值为__________．

14．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．

15．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A ＝50°，∠C ＝110°，则∠B′的度数为_____．

16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A （

5

3

，0）、B （0，4），则点B 2020的横坐标为_____．

17．如图是二次函数2

y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.

18．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__．

19．二次函数2y ax bx c =++的图像开口方向向上，则a ______0.(用“=、>、<”填空) 20．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线

OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为

__________．

21．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则

1212x x x x +-?=__________．

22．如图，边长为2的正方形ABCD ，以AB 为直径作O ，CF 与O 相切于点E ，

与AD 交于点F ，则CDF ?的面积为__________．

23．如图，1ABB △，12AB B ，△A 2B 2B 3 是全等的等边三角形，点 B ，B 1，B 2，B 3 在同一条 直线上，连接 A 2B 交 AB 1 于点 P ，交 A 1B 1 于点 Q ，则 PB 1∶QB 1 的值为___．

24．若关于x 的一元二次方程22

(1)0k x x k -+-=的一个根为1，则k 的值为__________.

三、解答题

25．某校九年级（2）班A 、B 、C 、D 四位同学参加了校篮球队选拔. （1）若从这四人中随杋选取一人，恰好选中B 参加校篮球队的概率是______； （2）若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中B 、C 两位同学参加校篮球队的概率.

26．如图，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=?，点G 是BC 中点.连接AG .作BD AG ⊥，垂

足为F，ABD

?的外接圆O交BC于点E，连接AE.

（1）求证：AB AE

=；

（2）过点D作圆O的切线，交BC于点M.若

1

4

GM

GC

=，求tan ABC

∠的值；

（3）在（2）的条件下，当1

DF=时，求BG的长.

27．如图，四边形 ABCD 为矩形.

(1)如图1，E为CD上一定点，在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后,点D落在 BC边上(尺规作图，保留作图痕迹);

(2)如图2，在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B' C'恰好经过点D，且满足B' C' ⊥BD(尺规作图，保留作图痕迹);

(3)在（2）的条件下，若AB＝2，BC＝4，则CN＝ .

28．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）．（1）则b＝，c＝；

（2）该二次函数图象与y轴的交点坐标为，顶点坐标为；

（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象；

（4）根据图象，当－3＜x＜2时，y的取值范围是．

29．将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地

都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A 型矩形纸片的概率；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）． 30．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣16的图象经过点（﹣2，﹣40）和点（6，8）． （1）求这个二次函数图象与x 轴的交点坐标； （2）当y ＞0时，直接写出自变量x 的取值范围．

31．在2017年“KFC ”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 32．如图，OA l ⊥于点,A B 是OA 上一点，O 是以O 为圆心，OB 为半径的圆．C 是

O 上的点，连结CB 并延长，交l 于点D ，且AC AD =．

（1）求证：AC 是O 的切线（证明过程中如可用数字表示的角，建议在图中用数字标

注后用数字表示）；

（2）若

O 的半径为5，6BC =，求线段AC 的长．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】

根据顶点式2

()y a x h k =-+，顶点坐标是（h ，k ），即可求解.

∵顶点式2

=-+，顶点坐标是（h，k），

()

y a x h k

∴抛物线2

(1)2

=-+的顶点坐标是（1，2）．

y x

故选D．

2．D

解析：D

【解析】

【分析】

满足题意的有两点，一是此方程为一元一次方程，即未知数x的次数为1；二是方程的解为x=1,即1使等式成立，根据两点列式求解.

【详解】

解：根据题意得，

a-1=1,2+m=2,

解得，a=2,m=0,

∴a-m=2.

故选：D.

【点睛】

本题考查一元一次方程的定义及方程解的定义，对定义的理解是解答此题的关键.

3．D

解析：D

【解析】

【分析】

先移项，然后利用因式分解法求解．

【详解】

解：（1）x2=-3x，

x2+3x=0，

x（x+3）=0，

解得：x1=0，x2=-3．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．4．A

解析：A

【解析】

【分析】

根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．

【详解】

解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．

【点睛】

本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．5．D

解析：D

【解析】

∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0．

解得：k＞﹣1且k≠0．故选D．

考点：一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，分类思想的应用．6．D

解析：D

【解析】

【分析】

由已知可得x与y的关系，然后代入所求式子计算即可.

【详解】

解：∵

2

5

x

y

=，

∴

2

5

x y =，

∴

2

7

5

5

y y

x y

y y

+

+

==.

故选：D.

【点睛】

本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.

7．C

解析：C

【解析】

【分析】

如图，连接BD，根据圆周角定理可得BD为⊙O的直径，利用勾股定理求出BD的长，进而可得⊙O的半径的长.

【详解】

如图，连接BD，

∵四边形ABCD是正方形，边长为2，

∴BC=CD=2，∠BCD=90°，

∴

，

∵正方形ABCD是⊙O的内接四边形，∴BD是⊙O的直径，

∴⊙O的半径是1

22

2

=2，

故选：C.

【点睛】

本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出BD是直径是解题关键.

8．B

解析：B

【解析】

【分析】

根据圆心距和两圆半径的之间关系可得出两圆之间的位置关系．

【详解】

∵⊙O的直径为4，

∴⊙O的半径为2，

∵圆心O到直线l的距离是2，

∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知直线l与⊙O的位置关系是相切．

故选：B．

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系的应用，理解直线和圆的位置关系的内容是解此题的关键，注意：已知圆的半径是r，圆心到直线的距离是d，当d＝r时，直线和圆相切，当d＞r时，直线和圆相离，当d＜r时，直线和圆相交．

9．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据特殊角的三角函数值解答即可.

【详解】

sin60°=，

故选C.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值，熟记几个特殊角的三角函数值是解题关键.

10．A

解析：A

试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．

解：连结BC，如图，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠BAC=50°，

∴∠B=90°﹣50°=40°，

∴∠ADC=∠B=40°．

故选A．

考点：圆周角定理．

11．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C，然后利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，进而可得答案．

【详解】

解：∵△ABC≌△DEF，

∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C，

∵∠A=60°，

∴∠C=180°-60°-40°=80°，

∴∠F=80°，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．

12．D

解析：D

【解析】

【分析】

先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD2AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD2AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．

∵∠A ＝90°，AB ＝AD ， ∴△ABD 为等腰直角三角形，

∴∠ABD ＝45°，BD AB ， ∵∠ABC ＝105°， ∴∠CBD ＝60°， 而CB ＝CD ，

∴△CBD 为等边三角形，

∴BC ＝BD AB ，

∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，

∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB ：CB ，

×1． 故选D ． 【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．

二、填空题 13．5 【解析】 【分析】

根据根与系数的关系求出，代入即可求解． 【详解】 ∵是方程的两根 ∴=-=4，==1 ∴===4+1=5， 故答案为：5． 【点睛】

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是

解析：5 【解析】 【分析】

根据根与系数的关系求出12x x +，12x x ?代入即可求解． 【详解】

∵12,x x 是方程2410x x -+=的两根

∴12x x +=-

b a =4，12x x ?=

c a

=1 ∴122(1)x x x =1122x x x x ++=1212x x x x ++=4+1=5， 故答案为：5． 【点睛】

此题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟知12x x +=-

b a ，12x x ?=c

a

的运用． 14．12 【解析】 【分析】

根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG∥AB、AB=2CG 可得出CG 为△E

解析：12 【解析】 【分析】

根据正方形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出△ABF ∽△GDF ，根据相似三角形的性质可

得出

AF AB

GF GD

==2，结合FG =2可求出AF 、AG 的长度，由CG ∥AB 、AB =2CG 可得出CG 为△EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE 的长度，此题得解． 【详解】

∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABF =∠GDF ，∠BAF =∠DGF ，∴△ABF ∽△GDF ，∴

AF AB

GF GD

==2，∴AF =2GF =4，∴AG =6． ∵CG ∥AB ，AB =2CG ，∴CG 为△EAB 的中位线，∴AE =2AG =12． 故答案为：12．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF 的长度是解题的关键．

15．20° 【解析】 【分析】

先根据三角形内角和计算出∠B的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．

【详解】

解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，

∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°

解析：20°

【解析】

【分析】

先根据三角形内角和计算出∠B的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．【详解】

解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，

∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，

∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B′＝∠B＝20°．

故答案为20°．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，它们对应面积的比等于相似比的平方.

16．10100

【解析】

【分析】

首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．

【详解】

由图象可知点B2020在第一象限

解析：10100

【解析】

【分析】

首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．

【详解】

由图象可知点B2020在第一象限，

∵OA=5

3

，OB=4，∠AOB=90°，

∴AB

13

3

===，

∴OA+AB1+B1C2=5

3

+

13

3

+4=10，

∴B 2的横坐标为：10，

同理：B 4的横坐标为：2×10=20， B 6的横坐标为：3×10=30，

∴点B 2020横坐标为：2020

102

?=10100． 故答案为：10100． 【点睛】

本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B 点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．

17．【解析】 【分析】

求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果. 【详解】

由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 解析：15x -<<

【解析】 【分析】

求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果. 【详解】

由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<. 故答案为15x -<< 【点睛】

要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.

18．【解析】 【分析】

根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：， 三月份的产量为：. 【详解】

二月份的产量为：， 三月份的产量为：. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟

解析：2500(1)720x +=

【解析】 【分析】

根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +， 三月份的产量为：2

500(1)720x +=. 【详解】

二月份的产量为：500(1)x +， 三月份的产量为：2500(1)720x +=. 【点睛】

本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）.

19．> 【解析】 【分析】

根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案． 【详解】

解：因为二次函数的图像开口方向向上， 所以有>0. 故填>. 【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次

解析：> 【解析】 【分析】

根据题意直接利用二次函数的图象与a 的关系即可得出答案． 【详解】

解：因为二次函数2

y ax bx c =++的图像开口方向向上， 所以有a >0. 故填>. 【点睛】

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数a 与抛物线的关系是解题的关键，图像开口方向向上，a >0；图像开口方向向下，a <0．

20．【解析】 【分析】

圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、

PN ，设圆C 的半径为r ，再 解析：4223-

【解析】 【分析】

圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ． 【详解】

解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D

∵2OP =，6OQ =， ∴PQ=OQ －OP=4 根据垂径定理，PN=1

22

PQ = ∴ON=PN ＋OP=4 在Rt △OND 中，∠O=45°

∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r ∵圆C 与OB 相切于点M ， ∴∠CMD=90°

∴△CMD 为等腰直角三角形 ∴CM=DM=r ，22CM r =

∴NC=ND －CD=42r 根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2 即()

2

22422r

r -+=

解得：124223,4223r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）

故答案为：23． 【点睛】

此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂

径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．

21．2 【解析】 【分析】

根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可． 【详解】 解：∵ ∴=-3, =-5 ∴-3-(-5)=2 故答案为2． 【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠

解析：2 【解析】 【分析】

根据根与系数的关系确定12x x +和12x x ?，然后代入计算即可． 【详解】

解：∵2350x x +-= ∴12x x +=-3, 12x x ?=-5 ∴1212x x x x +-?=-3-(-5)=2 故答案为2． 【点睛】

本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a

+=-

，12c

x x a

?=

是解答本题的关键． 22．【解析】 【分析】

运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答． 【详解】

解：∵与相切于点，与交于点 ∴EF=AF,EC=BC=2

设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x 在Rt△C

解析：3

2

【解析】 【分析】

运用切线长定理和勾股定理求出DF ，进而完成解答． 【详解】 解：∵CF 与

O 相切于点E ，与AD 交于点F

∴EF=AF,EC=BC=2

设EF=AF=x,则CF=2+x,DF=2-x 在Rt △CDF 中,由勾股定理得: DF 2=CF 2-CD 2,即(2-x)2=(2+x)2-22 解得:x=

12,则DF=32

∴CDF ?的面积为13222??=3

2

故答案为3

2

． 【点睛】

本题考查了切线长定理和勾股定理等知识点，根据切线长定理得到相等的线段是解答本题的关键．

23．【解析】 【分析】

根据题意说明PB1∥A2 B3，A1B1∥A2B2，从而说明△BB1P∽△BA2 B3，△BB1Q∽△BB2A2，再得到PB1 和A2B3的关系以及QB1和A2B2的关系，根据

解析：2

3

【解析】 【分析】

根据题意说明PB 1∥A 2 B 3，A 1B 1∥A 2B 2，从而说明△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，再得到PB 1 和A 2B 3的关系以及QB 1和A 2B 2的关系，根据A 2B 3=A 2B 2，得到PB 1和QB 1的比值. 【详解】

解：∵△ABB 1，△A 1B 1B 2，△A 2B 2B 3是全等的等边三角形， ∴∠BB 1P=∠B 3，∠A 1B 1 B 2=∠A 2B 2B 3， ∴PB 1∥A 2B 3，A 1B 1∥A 2B 2，

∴△BB 1P ∽△BA 2 B 3，△BB 1Q ∽△BB 2A 2，

∴

112331==3PB BB A B BB ,112221

==2

QB BB A B BB , ∴1231=

3PB A B ，1221

=2

QB A B ， ∵2322=A B A B ，

∴PB 1∶QB 1=13A 2B 3∶1

2

A 2

B 2=2：3. 故答案为：23

. 【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．

24．0 【解析】

把x ＝1代入方程得，， 即， 解得.

此方程为一元二次方程， ， 即，

故答案为0.

解析：0 【解析】

把x ＝1代入方程得，2110k k -+-=， 即20k k -=， 解得120,1k k ==. 此方程为一元二次方程，

10k ∴-≠，

即1k ≠，

0.k ∴=

故答案为0.

三、解答题

25．（1）1

4；（2）P （BC 两位同学参加篮球队）16

= 【解析】 【分析】

(1)根据概率公式P m

n

=

(n 次试验中，事件A 出现m 次)计算即可 (2)用列表法求得全部情况的总数与符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率. 【详解】

解：(1)()1P B 4

=

恰好选中B 参加校篮球队的概率是14

. (2)列表格如下：

∴P （BC 两位同学参加篮球队）21126

== 【点睛】

本题考查的是用列表法或树状图法求事件的概率问题，通过题目找出全部情况的总数与符合条件的情况数目与熟记概率公式是解题的关键. 26．（1）详见解析；（2）2；（3）5. 【解析】 【分析】

（1）根据等腰三角形的判定即可求解； （2）根据切线的性质证明//DM AG ，根据

CD CM CA CG =得到3

4

CD CA =，再得到ABD ACB ??，故

AD AB

AB AC

=，表示出2AB k =，再根据Rt ABC ?中，利用tan ABC ∠的定义即可求解；

（3）根据tan tan 2ADF BAF ∠=∠=，利用三角函数的定义即可求解. 【详解】

（1）证明：∵90BAC ∠=?，G 为BC 中点， ∴AG BG GC ==，∴ABG BAG ∠=∠.

又∵BD AG ⊥，∴90BAG DAF ADF DAF ∠+∠=∠+∠=?， ∴ADB BAG ∠=∠.

∵AB AB =，∴AEB ADB ∠=∠，∴ABE AEB ∠=∠，∴AB AE =. （2）解：∵O 是ABD ?的外接圆，且90BAC ∠=?，

∴BD 是直径. ∵

DM 是切线，∴DM BD ⊥，∵BD AG ⊥，∴//DM AG ，∴

CD CM

CA CG

=，

∵

14GM GC =，∴3

4

CD CA =， ∴设3CD k =，4AC k =，∴AD k =. ∵BDA ABC ∠=∠，BAD CAB ∠=∠， ∴ABD

ACB ??，∴

AD AB

AB AC

=，∴2AB AD AC =?，∴2AB k =， ∴在Rt ABC ?中，tan 2AC

ABC AB

∠=

=. （3）∵1DF =，∴tan tan 2ADF BAF ∠=∠=， ∴

2AF =，4BF =.

∴222425AB =+=，245AC AB ==. ∴()()

2

2

254510BC =

+=，

由（1）得ADB BAG ∠=∠ ∴ABG BAG ∠=∠,∴AG=BG 故G 为BC 中点， ∴1

52

BG BC =

=.

【点睛】

.此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知圆切线的判定、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质.

27．（1）图见解析（2）图见解析（3）51

2

【解析】 【分析】

（1）以点E 为圆心，以DE 长为半径画弧，交BC 于点D ′，连接DD ′，作DD ′的垂直平分线交AD 于点F 即可；

（2）先作射线BD ，然后过点D 作BD 的垂线与BC 的延长线交于点H ，作∠BHD 的角平分线交CD 于点N ，交AD 于点M ，在HD 上截取HC ′=HC ，然后在射线C ′D 上截取C ′B ′=BC ，此时的M 、N 即为满足条件的点；

（3）在（2）的条件下，根据AB ＝2，BC ＝4，即可求出CN 的长． 【详解】

（1）如图，点F 为所求；