2021届河北省邢台市第二中学高三上学期11月月考数学试题(解析版)

2021届河北省邢台市第二中学高三上学期11月月考数学试题（解析

版）

考试范围：一轮复习第一章——第七章；考试时间：120分钟

一?单选题

1. 下列命题中错误的是（ ）

A. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题

B. 命题“()00,x ?∈+∞00ln 1x x =-”的否定是“()0,,ln 1x x x ?∈+∞≠-”

C. 若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题

D. 00x ?>使“00ax bx >”是“0a b >>”的必要不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】

由原命题与逆否命题真假性相同判断A ，由特称命题的否定形式判断B,由复合命题的真假判断C ，由充分性必要性条件判断D.

【详解】A.“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，则其逆否命题为真命题，A 正确. B.特称命题的

否定需要将存在量词变为全称量词，再否定其结论，故B 正确.

C.p q ∨为真命题，包含,p q 有一个为真一个为假和,p q 均为真，p q ∧为真则需要两者均为真，故若p q ∨为真命题，p q ∧不一定为真.C 错.

D.若0a b ＞＞，00x ?＞，使00ax bx ＞成立，反之不一定成立.故D 正确． 故本题选C.

【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，充分必要条件的判断方法，全称命题与特称命题的否定，以及逆否命题等基础知识，是基础题. 2. 函数3

1()ln 13

f x x x =-+的零点个数为( ) A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】C 【解析】

21()01f x x x x =

-=?'= ,所以当(0,1)x ∈ 时2

()0,()(,)3

f x f x ∈-∞'> ; 当(1,)x ∈+∞ 时

2

()0,()(,)3

f x f x ∈-∞'< ;因此零点个数为2,选C.

3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c

，则C = A.

π12

B.

π6

C.

π4

D.

π3

【答案】B 【解析】

【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，

∵

π

2＜A ＜π， ∴A= 3π4

，

由正弦定理可得

c sin sin a

C A

=

， ∵a=2，

，

∴sinC=sin c A a

=12=22

， ∵a ＞c ， ∴C=

π

6

， 故选B ．

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4. 已知a ，b 为单位向量，2a b a b +=-，则a 在a b +上的投影为（

）

A.

13

B.

C.

D.

3

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意结合平面向量数量积的运算可得1

3

a b ?=，进而可得()

b a a +?、a b +，代入投影表达式即可得解.

【详解】因为a ，b 为单位向量，所以1==a b ， 又2a b a b +=-，所以()

()

2

2

2a b

a b +=-

所以22222242a a b b a a b b +?+=-?+，即121242a b a b +?+=-?+， 所以1

3

a b ?=

，则(

)

2

26

3

a b a b

+=+=

，()

243a a b a a b ?+=+?=

，

所以a 在a b +上的投影为

(

)4

326a a b a b

?+=

=

+故选：C.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了一个向量在另一个向量上投影的求解，属于中档题. 5.

ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的

中线BD =ABC 的周长为（ ） A. 15 B. 14

C. 16

D. 12

【答案】A 【解析】

【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，

所以sin sin 22sin cos C A A A ==，

由正弦定理及余弦定理可得，222

22b c a c a bc

+-=?，

所以2223bc ab ac a =+-， 所以3

2c a =

，54

b a =，

若AC 边上的中线2

BD =

， 所以2

225379242a a a ????

??+=+?? ? ?????????

，

解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A.

【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.

6. 设2{|430}A x x x =-+，{|(32)0}B x ln x =-<，则A B =（ ）

A. 3(1,)2

B. (1，3]

C. 3(,)2

-∞

D. 3

(2

，3]

【答案】A 【解析】 【分析】

求出集合,A B 后可得A

B .

【详解】13{|}A x x =≤≤，3{|0321}{|1}2

B x x x x =<-<=<<；

∴3

(1,)2

A B ?=，

故选：A .

【点睛】本题考查一元二次不等式的解、对数不等式的解及集合的交，解对数不等式时注意真数恒为正，本题属于中档题.

7. 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（ ）

A.

35

B.

35

C.

92

D.

98

【答案】C 【解析】 【详解】 【分析】

设1AA 的中点为N ，则1MN

BC ，连接11,,MN NB BC MC ， ，则梯形1MNBC 就是过

1C ，B ，M 正方体的截面，其面积为(

)

1329

2+22=

2

22

?

?

，故选 C.

8. 已知(12)z i i -=，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的虚部为

5

i

B. 复数z 对应的点在复平面的第二象限

C. 复数z 的共轭复数255

i z =- D. 15

z =

【答案】B 【解析】

【分析】

由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项． 【详解】由已知得1(121)212(12)(12)55i i z i i i +=

==-+--+，所以复数z 的虚部为15，而不是5

i

，A 错误； 在复平面内，复数z 对应的点为21,55??

-

??

?，在第二象限，B 正确. 255

i

z =--，C 错误；

215||2255z ????

=-+= ? ?????

，D 错误； 故选：B ．

【点睛】本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．

二?多选题

9. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）

A. E 为PA 的中点

B. BD ⊥平面PAC

C. PB 与CD 所成的角为

3

π D. 三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4. 【答案】ABD 【解析】 【分析】

采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，锥体体积公式的计算，可得结果.

【详解】对于A ，连接AC 交BD 于点M ，连接EM ，如图所示，

PC //面BDE ，PC ?面APC ，且面APC 面=BDE EM ，PC ∴//EM ，

又

四边形ABCD 是正方形，∴M 为AC 的中点，

∴E 为PA 的中点，故A 正确.

对于B ，

PA ⊥面ABCD ，BD ?面ABCD ，∴PA BD ⊥，

又AC BD ⊥，AC PA A ?=，,AC PA ?面PAC

∴BD ⊥面PAC ，故B 正确.

对于C ，

//AB CD ，∴PBA ∠为PB 与CD 所成的角，

PA ⊥面ABCD ，AB 面ABCD ，∴PA AB ⊥，

在Rt PAB 中，PA AB =，4PBA=π

∴∠，故C 错误.

对于D ，由等体积法可得1.3C BDE E BCD BCD V V S EA --==?，1

3

-=??P ABCD ABCD V S PA

又

1,2

2BCD ABCD S S PA EA =

=，∴14--=P ABC C BD D

E V V ，故D 正确. 故选：ABD .

【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属中档题. 10. 已知函数3

1()423

f x x x =

-+，下列说法中正确的有（ ） A. 函数()f x 的极大值为

22

3，极小值为103

- B. 当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为22

3，最小值为103

-

C. 函数()f x 的单调减区间为[]22-,

D. 曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+ 【答案】ACD 【解析】 【分析】

利用导数研究函数()f x 的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程，根据计算结果可得答案. 【详解】因为3

1()423

f x x x =

-+ 所以2

()4f x x =-'，

由()0f x '>，得2x <-或2x >，由()0f x '<，得22x -<<，

所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在[]22-,

上递减，在(2,)+∞上递增，故选项C 正确， 所以当2x =-时，()f x 取得极大值3122

(2)(2)4(2)233f -=

?--?-+=， 在2x =时，()f x 取得极小值3110

(2)242233

f =?-?+=-，故选项A 正确，

当[]3,4x ∈时，()f x 为单调递增函数，所以当3x =时，()f x 取得最小值3

1(3)343213

f =?-?+=-，当4x =时，()f x 取得最大值3122(4)444233

f =

?-?+=，故选项B 不正确， 因为(0)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=--，即42y x =-+，故选项D 正确. 故选：ACD.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题. 11. 已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，如下四个结论正确的是（ ） A. AB AC ⊥；

B. 四边形ABCD 为平行四边形；

C. AC 与BD 夹角的余弦值为145

； D. 85AB AC +=

【答案】BD 【解析】 【分析】

求出向量,,,AB AC DC BD 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断. 【详解】由(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)A B C D ，

所以()2,3AB =-，()7,1AC =，()2,3DC =-， ()3,7BD =, 对于A ，143110AB AC ?=-=≠，故A 错误；

对于B ，由()2,3AB =-，()2,3DC =-，则AB DC =， 即AB 与DC 平行且相等，故B 正确；

对于C ，cos ,50AC BD AC BD AC BD

?=

=

=C 错误；

对于D ，()||9,2AB AC +=-=D 正确； 故选：BD

【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题. 12. 下面命题正确的是（ ） A. “1a > ”是“

1

1a

<”的充分不必要条件 B. 命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C. 设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥ ”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D. 设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】

分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误．

【详解】对于A ，()1110100a a a a a a -?->?<或1a >，则“1a >”是“11a

<”的充分不必要条件，故A 对；

对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则

210x x ++≥”，故B 对；

对于C ，“2x ≥且2y ≥” ? “2

2

4x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “2

2

4x y +≥”的充分条件，故C 错； 对于D ，00ab a ≠?≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 故选：ABD ．

【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题．

三?填空题

13. 已知函数2()ln f x ax x x =-在1[,)e

+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是_____. 【答案】12

a

≥ 【解析】

()2ln 10f x ax x =--≥',解得ln 12a x x +≥

在1,e ??

+∞????

上恒成立,构造函数()()()22

1

·ln 1ln 1ln ,0x x x x x g x g x x x x -++-='===,解得x=1, ()g x ∴在1,1e ?? ???

上单调递增,在()1,+∞上

单调递减,g(x)的最大值为g(1)=1, 21a ∴≥,1

2a ≥,故填1

2

a ≥. 点睛:本题考查函数导数与单调性.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

14. ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos ,60a C c A b B -==?，则A 的大小为__________． 【答案】75? 【解析】 由

()3acosC ccosA b -=，根据正弦定理得

()3sinAcosC sinCcosA sinB -=，即

()3

3sin A C -=

， ()1sin ,?3026

A C A C π

-=-==?，

又因为180B 120A C +=?-=?， 所以2150,A 75A =?=?， 故答案

75?．

15. 如图所示，,OA OB 为两个不共线向量，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且

(,)OC xOA yOB x y R =+∈则22

x y +的最小值为________.

【答案】

18

【解析】 【分析】

首先根据平面向量的基本定理得到12

x y +=，利用基本不等式得到()2

1416

+≤

=x y xy ，再根据

()2

222x y x y xy +=+-求最小值即可.

【详解】因为M 、N 分别为OA 、OB 的中点， 所以22=+=+OC xOA yOB xON yOM .

又因为M 、N 、C 三点共线，所以221x y +=，即1

2

x y +=.

因为0x >，0y >，所以()2

14

16

+≤

=

x y xy ，当且仅当14x y ==时取等号.

所以()2

2

2

1111

224488

+=+-=

-≥-=x y x y xy xy . 故答案为：

1

8

【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，同时考查了平面向量的基本定理，属于中档题.

16. 设cos2(sin cos )=++z i θθθ，若z 为实数，则θ=________；若z 为纯虚数，则θ=________. 【答案】 (1). 4

-k π

π，k Z ∈ (2). 4

k π

π+

，k Z ∈

【解析】 【分析】

根据复数分类的定义结合三角函数的性质，即可得出答案.

【详解】若z 为实数，则sin cos 0θθ+=，即tan 1θ=-，解得,4

k k Z π

θπ=-+∈

若z 为纯虚数，则cos 20sin cos 0θθθ=??

+≠?，即(cos sin )(cos sin )0

sin cos 0θθθθθθ-+=??+≠?

即cos sin 0θθ-=，tan 1θ=，解得,4

k k Z π

θπ=+∈

故答案为：4

-

k π

π，k Z ∈；4

k π

π+

，k Z ∈

【点睛】本题主要考查了由复数的类型求参数的范围，涉及了三角函数的化简求值，属于中档题.

四?解答题

17. 已知函数()2

()log log 2(0,1)a a f x x x a a =-->≠. （1）当2a =时，求(2)f ； （2）求解关于x 的不等式()0f x >；

（3）若[2,4],()4x f x ?∈≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2-；

（2）当1a >时，()0f x >的解集为()2

10,,a a ?

?+∞ ???

，

当01a <<时；()2

10,,a a ??

+∞ ???

（3）(3

1,

22?

??????

.

【解析】 【分析】

（1）将2a =直接代入解析式计算即可.

（2）将()2

()log log 20a a f x x x =-->整理为()()log 2log 10a a x x -+>，解得log 1<-a x 或

log 2a x >，再对a 讨论即可解不等式.

（3）将问题转化为min ()4f x ≥，分别分1a >和01a <<讨论，求()f x 最小值，令其大于4，即可求解. 【详解】（1）当2a =时，()()2

22log log 2f x x x =--()21122f ∴=--=-

（2）由()0f x >得：()()()2

log log 2log 2log 10a a a a x x x x --=-+>

log 1a x ∴<-或log 2a x >

当1a >时，解不等式可得：1

0x a

<<

或2x a > 当01a <<时，解不等式可得：1

x a

>

或20x a << 综上所述：当1a >时，()0f x >的解集为()2

10,

,a a ??+∞ ???

；当01a <<时，()0f x >的解集为

()

2

10,,a a ??+∞ ???

（3）由()4f x ≥得：()()()2

log log 6log 3log 20a a a a x x x x --=-+≥

log 2a x ∴≤-或log 3a x ≥

①当1a >时，()max log log 4a a x =，()min log log 2a a x =

2log 42log a a a -∴≤-=或3log 23log a a a ≥=

，解得：1a <≤②当01a <<时，()max log log 2a a x =，()min log log 4a a x =

2log 22log a a a -∴≤-=或3log 43log a a a ≥=

，解得：

12

a ≤< 综上所述：a

的取值范围为(3

,11,

22?

??????

【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性、考查函数的最值和恒成立问题、考查分类讨论的思想，属于中档题.

18. 己知向量(),cos 2a m x =，()sin 2,b x n =，设函数()f x a b =

?，且()y f x =的图象过点(

12

π

和

点2(

,2)3

π

-. （1）当63

x ππ

-≤≤时，求函数()y f x =的最大值和最小值及相应的x 的值；

（2）将函数()y f x =的图象向右平移

4

π

个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，若()g x m =在[]0,2π有两个不同的解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）最大值为2，此时6

x π

=；最小值为－

1，此时6

x π

=-

. （22m ≤<

【解析】 【分析】

（1）根据向量数量积坐标公式，列出函数()sin 2cos 2f x a b m x n x =?=+，再根据函数图像过定点，求解函数解析式，当63x ππ

-

≤≤时，解出26

x π+的范围，根据三角函数性质，可求最值； （2）根据三角函数平移伸缩变换，写出()y g x =解析式，画出()y g x =在[]0,2π上的图象，根据图像即可求解参数取值范围.

【详解】解：（1）由题意知()sin 2cos 2f x a b m x n x =?=

+.

根据()y f x =的图象过点12π? ?和2,

23π??- ???，得到sin cos 66

442sin cos

33m n m n ππππ=+??-=+??

，

解得3m =，1n =.

()3sin 2cos 22sin 26f x a b x x x π?

?=?=+=+ ??

?

当63x ππ-

≤≤时，52666x πππ-≤+≤，12sin 226x π?

?-≤+≤ ??

?，

()f x 最大值为2，此时6

x π

=

，

()f x 最小值为－1，此时6

x π

=-

.

（2）将函数()y f x =的图象向右平移一个单位

得2sin 22sin 2463y x x πππ??

?

??

?=-

+=- ? ? ??

?????

， 再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得()2sin 23x g x π??

=-

??

? 令23x t π=

-，2,33t ππ??∈-????，如图当3

sin 1t ≤<时，

()g x m =在[]0,2π有两个不同的解

∴32sin 223x π??

≤-<

??

?，即32m ≤<.

【点睛】本题考查（1）三角函数最值问题（2）三角函数的平移伸缩变换，考查计算能力，考查转化与化归思想，考查数形结合思想，属于中等题型. 19. 在①1a ，

14，2a 成等差数列，②1a ，21a +，3a 成等比数列，③33

4

S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.

已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，()

*

132,n n S a a n =+∈N ，10a ≠ ，且________.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记2

2n log n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（1）1

12n n a -??=- ???

；（2）n (1)T n n =-.

【解析】 【分析】

（1）由132n n S a a =+可得出数列{}n a 是等比数列，且得出公比，由选择的条件可求出首项为1，即可写出通项公式；

（2）求出n b ，再由等差数列的前n 项和求出n T .

【

详解】（1）由已知132n n S a a =+，2n ≥时，11132n n S a a --=+.两式相减得到13-=-n n n a a a ，

即112n n a a -=-，因为10a ≠，所以数列{}n a 是公比为12-的等比数列，从而1

112n n a a -??=- ???

. 选①1a ，

1

4

，2a 成等差数列， 由1a ，14，2a 成等差数列，可得12124a a +=?，即111122a a -=，解得11a =，所以1

12n n a -??=- ???

.

选②1a ，21a +，3a 成等比数列，

1a ，21a +，3a 成等比数列，即1a ，1112a -+，114a 成等比数列，2

211

11124a a ??-+= ???

，解得11a =，所以1

12n n a -??=- ?

??

.

选③334

S =

， 334S =，即111113244a a a ??+-+= ???，解得11a =，所以1

12n n a -??=- ???

. （2）22

22

222222211log log log log 22222n n n n n b a n ---????

=-=--=-==- ? ?

??

??

.

则()

n 123022(1)2

n n n T b b b b n n +-=+++???+=

=-.

【点睛】本题考查等比数列的判断和通项公式的求法，考查等差数列的前n 项和的求法，属于基础题.

20. 已知函数(

)2

sin cos f x x x x x ??=-+ ? ???，x ∈R . （1）求函数()f x 的单调递增区间；

（2）若α为锐角且7129f πα??

+

=- ???，β满足()3cos 5

αβ-=，求sin β. 【答案】（1）5,1212k k ππππ?

?-+???

?，k Z ∈；（2）624±. 【解析】 【分析】

（1）利用正弦型函数的单调增区间求()f x 的单调递增区间即可；（2）由已知条件可知1

cos 3

α=

，22

sin 3

α=

，结合()3cos 5αβ-=即可求sin β； 【详解】（Ⅰ）()2233

sin cos sin cos 22

f x x x x x =-

+13sin 2cos 222x x =+

sin 23x π??=+ ???，可知2222

3

2

k x k π

π

π

ππ-

≤+

≤

+，k Z ∈为单调增区间，

解得51212

x k k ππ

ππ-

+≤≤，k Z ∈， ∴函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ?

?

-

+???

?

，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα?

?

??+

=+==- ? ??

???

，22

7cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=- 因

α为锐角，所以1

cos 3α=，22sin 3

α=，

又因为()3cos 5

αβ-=

，所以()4sin 5αβ-=±，

由()()()624

sin sin sin cos cos sin 15

βααβααβααβ±=--=?--?-=

????. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，结合三角恒等变换、同角三角函数关系求正弦值；注意应用了复合函数的单调性求单调区间；

21. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PB PD =．

（1）证明:BD ⊥平面PAC ；

（2）若PA 与底面ABCD 所成的角为30°，PA PC ⊥，求二面角B PC D --的余弦值． 【答案】（1）见解析，（2）1

7

- 【解析】 【分析】

（1）连接BD 交AC 于O ，连接PO ，则有AC BD ⊥，O 为BD 的中点，再由PB PD =可得BD PO ⊥，由线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）由（1）可知，平面PAC ⊥平面ABCD ，两平面的交线为AC ，所以过P 作PE 垂直AC 于E ，则PE ⊥平面ABCD ，从而可知平面30PAC ∠=?，若设PC =2，由可把其它边求出来，然后以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角B PC D --的余弦值.

【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接PO ， 因

四边形ABCD 为正方形，

所以AC BD ⊥，O 为BD 的中点， 因为PB PD =，所以BD PO ⊥， 因为AC

PO O =，

所以BD ⊥平面PAC ；

（2）解：因为BD ⊥平面PAC ，BD 在平面ABCD 内， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ，

过P 作PE 垂直AC 于E ，则PE ⊥平面ABCD ，

所以PAC ∠为PA 与底面ABCD 所成的角，即30PAC ∠=?，设PC =2， 因为PA PC ⊥，所以23,3,3,4,22PA PE AE AC AD =====如图，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，过A 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系， 则3232

(0,0,0),(22,0,0),(22,22,0),(0,22,0),(

3)22

A B C D P ,

22(0,22,0),(,,3)(22,0,0)22

BC CP DC ==-

-=

，, 设平面PBC 法向量为(,,)n x y z =，则

220

22

3022n BC y n CP x y z ??==?

??=--+=??

，令1z =，则(6,0,1)n =， 设平面PDC 的法向量为(,,)m a b c =，则

220

22

3022n DC a n CP a b c ??==?

??=--+=??

，令1c =，则(0,6,1)m =， 所以1

cos ,7

77m n m n m n

?=

=

=?，

由图可知二面角B PC D --的平面角为钝角， 所以二面角B PC D --的余弦值为17

-

【点睛】此题考查线面垂直的证明，考查二面欠余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查运算能力，属于中档题. 22. 已知函数()(2)(2)x f x ax e e a =---. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）当1x >时，()0f x >，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析;（2）[1)+∞，

. 【解析】

试题分析：（1）先求导数，再讨论2ax a -+符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于()10f =，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得0a >且

21a

a

-≤，即得a 的取值范围.

试题解析：解：（1）()()2x

f x ax a e =-+'，

当0a =时，()20x

f x e '=-<，∴()f x 在R 上单调递减.

当0a >时，令()0f x '<，得2a x a -<；令()0f x '>，得2a

x a

->. ∴()f x 的单调递减区间为2,

a a -?

?-∞ ?

??，单调递增区间为2,a a -??

+∞ ???

. 当0a <时，令()0f x '<，得2a x a ->；令()0f x '>，得2a

x a

-<. ∴()f x 的单调递减区间为2,a a -??+∞

???，单调递增区间为2,a a -??-∞ ???

. （2）当0a =时，()f x 在()1,+∞上单调递减，∴()()10f x f <=，不合题意. 当0a <时，()()()()

2

2

2

22222220f a e e a a e e e e =---=--+<，不合题意.

当1a ≥时，()()20x

f x ax a e '=-+>，()f x 在()1,+∞上单调递增，

∴()()10f x f >=，故1a ≥满足题意.

当01a <<时，()f x 在21,a a -?? ???上单调递减，在2,a a -??+∞

???

单调递增， ∴()()min 210a f x f f a -??

=<=

???

，故01a <<不满足题意. 综上，a 的取值范围为[

)1,+∞.

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.