数学素养

《课标》所确定的中学生数学素养

———从十个核心概念说开去

张号（兴国中学）

1.引言

时代的迅速发展，特别是现代信息技术的飞速发展，使得数学与人类社会之间的紧密关系愈显突出。数学已经深入地渗透到社会生活和日常工作中的方方面面，人们无时无刻都在与数学打着交道。稍加留意，便可发现网页、杂志、报纸、电视及广播等媒体所传递的信息或数据，都或多或少地涉及到相关领域的数学知识或是数学问题。数学已俨然成为了人类文化的重要组成部分，这就要求人们具有更高水平的数学素养。作为现代社会每一个公民应该具备的基本素养，数学素养已成为工作、学习和人际交流的一种实际需要[1]。鉴于此，作为学校教育的数学，要将培养学生的数学素养作为自己的根本任务，要将提升学生的数学素养作为数学教育的最终目标，这已成为当前国际数学教育研究的重点课题。

2.数学素养的已有研究

从已有的文献来看，国内外关于数学素养的研究主要集中在数学素养内涵的界定、数学素养的构成要素以及水平的划分上。学者们从不同的角度与视野对数学素养进行了深入的分析：刘喆等人在分析了西方数学教育中数学素养概念的基础上，归纳出了“特定区域和背景”说、“数学内容”说、“数学过程”说、“综合性”诠释等四种定义观念类型[2]；王子兴在分析了数学素养的形成条件以及数学素养与数学知识、数学能力的关系后，并以此为逻辑基础，提出了数学素养涵盖创新意识、数学思维、数学意识、用数学的意识、理解和欣赏数学的美学价值等五个要素[3]。此外，关于数学素养的文献还很多，这里就不再赘述。对诸多的观点，我们很难轻易的判断哪个说法正确哪个错误。不同的观点不仅反映了研究者的个人观点及时代特征，也表明数学素养涵盖范围之广。纵观这些表述，我们发现关于数学素养的这些研究要么是通过学习活动解释数学素养，要么是通过素养或素质的概念演绎数学素养，或是从社会经济活动的角度解读数学素养[1]，都强调数学意识、问题解决、逻辑推理、信息交流等。

数学素养属于认识论和方法论的综合性思维形式,它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。要对其下一个确切的定义并非易事，已有的努力让我们倍感欣慰的同时，也总让人觉得有点遗憾或是少了些什么。数学素养似乎成了一个说不清、道不明的东西。我们学数学的人，思维要灵活些，不要一个方向看问题，不要一味地纠缠于某一概念的内涵。内涵说不清，我们可以从反面、侧面去讲。我个人非常赞同顾沛先生对数学素养的回答。在被学生问到“什么是数学素养？”时，顾沛先生说，“很多年的数学学习后，那些数学公式、定理、解题方法也许都会被忘记，但是形成数学素养却终身受用。数学素养就是把所学的数学知识都排出或忘掉后剩下的东西”。并从通俗与专业两个角度对其表现出来的能力进行了分析。

无论从哪个角度来研究数学素养，都少不了数学知识、数学能力、数学素养以及情感态度之间的相互关系。扎实的数学基础知识是数学素养形成的必要条件，良好的数学能力是数学素养的外在表现和重要标志，情感态度又是形成数学素养的动力和催化剂。杨叔子院士对《论语·宪问》中“有德者必有言，有言者不必有德；仁者必有勇，勇者不必有仁”的巧妙解释，为我们很好的道明了数学知识、数学能力及数学素养间的关系，即：有数学素养一定

有数学知识，有数学知识不一定具备数学素养；具被数学素养必定具有一定的数学能力，但具有数学能力却不一定具备数学素养。

为了进一步清晰、直观地了解这四者之间的关系，我们通过下图来说明。可以看出：数学素养并不等同于数学知识和数学能力，它已经超越了知识与能力的范畴；数学能力与数学素养又都是以数学知识为基础，反过来又促进数学知识的丰富和发展；情感态度并不直接影响数学素养的形成与发展，情感态度通过直接影响知识的掌握与能力的形成而对数学素养的发展起间接的作用，而数学素养则直接影响情感态度的发展。

数学知识

数学素养

数学能力情感态度

3.课标中的数学素养

义务教育数学课程标准，无论是课标设计的基本理念，还是课程总目标，或是三维目标，抑或是最新扩展的“四基”和“十个核心概念”，都或多或少地从不同角度与深度反应义务教育阶段学生所应该培养的数学素养。数学素养并不是在数学课程之外另加的内容，它是站在人全面发展的角度对数学教育提出的要求，是呼唤教育观念转变的呐喊，是对全面实施素质教育的诠释。

上文已提到关于数学素养研究的角度很多，各种提法都具有一定的时代性及合理性。但关于“数学素养是数学情感态度价值观、数学知识、数学能力的综合体现”以及“数学：‘四基’明确了数学素养”这两种说法，笔者觉得不大合适。我们认为，数学素养是超越了知识与能力之上的东西，更多地表现为一些观念性的东西和一些相关的能力，是个人综合素质的体现。而“知识与技能目标”与“基本知识”、“基本技能”只是数学素养形成必备基础；“情感、态度、价值观”中的“价值观”可以认为是观念性的成分，但“情感与态度”实在是不能算在数学素养之内的，良好的情感、态度对数学素养的形成只是起着催化剂的作用；而“过程与方法目标”与“基本活动经验”也仅是学生掌握知识、形成技能，进而体会数学思想，形成数学素养的一种有利的工具和辅助手段而已，并不能算作数学素养的真实成分。可见，上述两种说法并不合适。

十个核心概念所涉及的都是学生在学习的过程中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，它们在本质上都体现了数学的基本思想，明确了数学素质的要求，是培养学生数学素养的核心。总体来看，十个核心概念反应了义务教育阶段学生数学素养的四个方面要求：数学意识、数学思维能力、数学思想、数学观念。这里我们无意要对数学意识、数学思想、数学观念、数学思维能力进行严格的区分，仅是从核心概念的指称上对其进行一定的划分。

1.数学意识

这里的数学意识是指能用数学的眼光观察、思考周围的世界，以及对身边的事物有一定的数学敏感性。主要表现在能主动的应用数学解决现实生活中的问题，有发现新问题、新思想、新方法、新知识的创新意识以及良好的数感和符号意识。一项调查[5]对《光明日报》、《工人日报》、《农民日报》、《参考消息》、《中国教育报》、《中国证券报》、《天文爱好者》等一批密切联系百姓生活且具有一定代表性的报纸杂志进行了数据统计，结果显示，像大数、百分数等数学术语以及统计图、数学公式等大量且频繁地出现在与生活有关的报道及广告之中。难怪有人说，我们生活在一个充斥着各种数和图形的时代。举一个很常见的例子：你到超市去，看到水果摊上插着的牌子上写着“桔子0.8元/斤”。一般人看到后，大脑里会产生这样一种想法，“这么便宜！”（可能会伴有喜悦的心情，今天我多买点）于是就跑到跟前使劲的往袋子里装桔子，装到一半时突然想起，今天来超市的目的是要买鸡蛋的，身上只带了20块钱。于是就接着思考，在买了鸡蛋后能卖多少桔子…

当你看到牌子上标示的价格并产生惊讶或喜悦时，实际上正是你明白了符号“0.8元/斤”的意思后所产生的对低价格的敏感反应，这正是相关数感及符号意识的生动体现；当你考虑先买鸡蛋，后买多少桔子时，正是应用数学的体现。在我们日常生活中，常常会接触到各种“数”、数学符号，并且时刻会遇到许多问题需要用数学去解决。因此，形成良好的数感及符号意识，养成主动应用数学解决问题的习惯，并在解决问题的过程中有所发现、有所创新是学生适应社会生活必备的数学素养。

2.数学思维能力

我们把运算能力、几何直观以及推理能力统归为数学思维能力。运算能力它不只是数学的操作技能，更是一种数学的思维能力；几何直观就是依托、利用图形进行数学思考和想象，本质上是一种借助图形所展开的数学想象力，属于思维能力的范畴；推理能力属于数学思考（思维）能力中的一种，是培养数学素养的重要内容。数学思维能力的培养和提高是数学素养的核心[6]。无论何时何地，我们都在无意识地运用数学思维进行观察、分析、思考等活动，只是我们不曾刻意关注罢了。数学思维已经成为人们生活的一部分，是人适应社会生活所必备的基本能力之一。就拿运算能力来说，你早上到楼下去吃早餐，付钱时你可能就在心里不自觉地核查：两根油条2块、一碗豆腐脑2块5…总共是多少，应找我多少....;坐公交车买票时，你也会计算给多钱，找多钱；等等。

通过数学思维能力培养所形成的思维的严谨性、系统性、创造性、灵活性、深刻性、敏捷性等会影响到生活的各个方面，在很大程度上影响着人事的进展，决定着事情的完满与否。你若是一个公司的领导，系统性的思维能力对你来说是不可或缺的能力，因为你要顾全大局，从大局利益出发，恰当的处理好局部与整体的关系，要具有一定的统筹力及一定程度的预见力，这会关系到你一庄生意的谈成与否，关系到公司的生存及今后的发展。良好的数学思维能力有助于我们养成实事求是的科学态度；思路清晰、条理分明、落笔有据、言之有理的严谨品质；认真细致、一丝不苟的工作作风。

3.数学思想

从数学教育的角度来讲，数学思想应被理解为更高层次的理性认识，是关于数学内容和方法的本质认识，是对数学内容和方法进一步的抽象和概括。[7]史宁中教授在《数学思想概论》一书中将数学思想概括为三个基本数学思想：抽象思想、模型思想、推理思想，并认为其他数学思想都是从这三种衍生出来，发展出来的。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在课程总目标中也明确指明，通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基本思想[8]。“授人以鱼，不如授人以渔”，这个道理我们都懂。我

们的数学教育就是要教给学生“渔”，即“数学思想”。一个人对数学思想的掌握、理解程度，直接决定数学学习水平的优劣和数学能力的强弱，决定着数学素养水平的高低，影响着其工作于学习的效率。正如日本学者米山国藏所说的那样，一个人完成学业走上社会后，如果不是在于数学相关的领域工作，他学过的数学知识几年后会被遗忘，而“唯有深深铭刻于学生头脑中的数学的精神、思想方法……在随时发生作用，使他们受益终生。”

十个核心概念从本质上说是基本数学思想的集中体现，比如，数感、符号意识、运算能力、推理能力和模型思想等就不同程度地直接体现了抽象、推理、模型的基本思想要求。[9] 其中，模型思想作为唯一一个以“思想”指称的核心概念，是学生体会、理解数学与外部世界联系的基本途径。日常生活离不开模型思想，建立模型思想能是我们以更经济、更省时的方式解决生活中的问题，有利于我们抓住事物的本质关系，不致于盲目的做出判断，不致于被事物的表面假象所蒙蔽。比如，就拿每日的烧水来说，一般家庭用的最多的是煤气和电。那么，在煤气与电两者之间哪个更便宜些呢？我们可以运用模型思想建立数学模型，通过计算进行比较，便可知那种方式更实惠些。再如，我们经常会在路边见到这样一些赌博游戏[10]，拿两个骰子，掷一次，看掷的点数，如果是5、6、7、8、9，就算庄家赢，否则就算别人赢，看起来似乎很公平，结果往往是庄家赢得多。这实际上是一个小小的骗术，本质上体现的是概率中古典概型这一数学模型，通过计算概率可以算出，掷出5、6、7、8、9点的概率是2/3，掷出其他点数的概率的1/3。如果你头脑中有古典概型这一模型思想，就不致于上当受骗，被假象所欺。

4.数学观念

数学观念是人们对数学的基本看法和概括认识，是人们对某一数学对象或数学过程的本质和本体的见解和意识，包括对某数学知识而言，人们为什么想、怎样想和想出了什么等一些问题，常常表现为人们主动运用数学精神、数学思想或数学思维方法考察周围事物和处理问题的意识或习惯。作为观念性成分的数学素养，数学观念是数学思想的升华，但在本质上却体现了人们用数学的思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识或思想习惯。[11]十个核心概念明确了义务教育阶段的数学课程应该发展学生的空间观念和数据分析观念，这是时代对公民提出的基本要求。就拿空间观念来说，一方面，我们就生活在三维空间之内，了解、探索我们生活的空间能使人类更好地生存、活动和利用空间。比如，你到了一个陌生的地方去问路，指路的人对你说，“从这一直往前走，到第二个大十字左拐，遇到第一个路口右拐，往前在走大约100米，路西、门口有一棵大树”，如果你没有一个清晰的空间观念，你可能就转晕了。可见，良好的空间观念是我们生活所必备的素养之一。另一方面，我们现在讲创新，创新不是平白无故就冒出来的，它往往是以现实空间中的原型为基础进行想象、构建的，并且所创造出来的新事物也往往是以具体实物呈现出来的，设计者首先要在头脑里通过想象，构建所造之物的形状、大小、个部件之间的位置关系以及在图纸上绘制图形，再经过反复的修该方案，直至完善，这一过程人的思维不断地在二维和三维之间转换，利用图形的直观进行思考，空间观念在这一过程中发挥着至关重要的作用。对飞鸟翅膀构造的研究，设计出了飞机机翼；通过对蝙蝠超声波定位的效仿，制造出了雷达；通过对开水壶的观察，瓦特发明了蒸汽机……这样的例子在科学史上屡见不鲜。可以想见，对一个缺乏空间观念或空间观念极差的人几乎很难谈创造发明。

以上四个方面，不是互相独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。由于数学素养是一个多方位、多层面、多维度的综合系统，在对其进行评价时就不能仅从单一角度去考虑。我们认为，像PISA这种以测试相关数学能力来评价数学素养的方式虽然有其合理性，但能力毕竟是能力，也只是某一特定环境下的能力，并不能完全、真实的反应学生

的数学素养水平。仅从能力角度去评价学生的数学素养是不够的，应从多个方位、多个角度

进行综合评价，如在对学生进行测试时，可对其答题过程做全程监控，观察其答题时的表情、

行为举止、以及发出的声音，再结合心理学知识、答题后的问卷调查、访谈，参考学生平时

的表现等进行综合评价。

参考文献

[1]胡典顺.数学素养研究综述[J].课程·教材·教法，2010，12:50-51.

[2]刘喆，高凌飚.西方数学教育中数学素养概念之辨析[J].中国教育学刊,2011,7:42.

[3]王子兴.论思想素养[J].数学通报,2002,1:6.

[4]

[5]黄翔.数学教育的价值[M].北京：高等教育出版社，2004.8:101-102.

[6]张亚静.数学素养：学生的一种重要素质——基于数学文化价值的思考[J].中国教育学

刊,2006,3：

[7]邵光华.作为教育任务的数学教育[M].

[8]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准[S].北京：北京师范大学出版社，

2012.1:8.

[9]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准解读：2011

年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2

[10]宋宇.生活中的数学思维[M].北京：光明日报出版社，2011.6：105.

[11]潘小明.关于数学素养及其培养的若干认识[J].数学教育学报，2009,5:25.