《数学实验》上机指导书

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实验题目

实验一解方程和方程组与极限运算

一、实验目的

（1）掌握Mathematica软件的计算器功能；

（2）学会使用Mathematica软件求各种类型方程（或方程组）的数值解和符号解；

（3）通过本实验深刻理解极限概念；

（4）学习并掌握利用Mathematica求极限的基本方法。

二、预备知识

（1）方程（或方程组）代数解法的基本理论，函数的零点，方程（或方程组）的解及数值解；

（2）本实验所用命令：

●用“= =”连接两个代数表达式构成一个方程

●求方程（组）的代数解：

Solve[方程或方程组，变量或变量组]

●求方程（组）的数值解：

NSolve[方程或方程组，变量或变量组]

●从初始值开始搜索方程或方程组的解：

FindRoot[方程或方程组，变量或变量组初值]

●在界定范围内搜索方程或方程组的解：

FindRoot[方程或方程组，变量或变量组范围]

●绘图命令：

Plot[表达式，{变量，上限，下限}，可选项]

●微分方程求解命令：

DSolve[微分方程, y[x], x]

（3）极限、左极限、右极限的概念；

（4）本实验所用Mathematica 有关命令：

● Limit[expr, x->x 0] 求表达式在0

x x →时的极限

● Limit[expr,x->x 0,Direction -> 1] 求左极限 ● Limit[expr,x->x 0,Direction ->-1] 求右极限

三、实验内容与要求

（1）计算54564546?；4567646545。

（2）对于方程0342234=+--x x x ，试用Solve 和NSolve 分别对它进行求解，并比较得到的结果，体会代数解即精确解与数值解的差别。

（3）先观察函数x x x f cos sin )(-=的图形，然后选择一个初始点求解，并且根据图形确定在某个区间中搜索它的零点。

（4）求方程组??

?=+=+222

1

11c y b x a c y b x a 的解，然后代入系数和常数项的一组初值，并求解。

（5）求微分方程x x y x y x y e )(2)(3)(=+'+''的通解。 （6）用 Mathematica 软件计算下列极限： （1）12

33

lim

++-∞

→n n n n ； （2）x πx tan lim 2

-

→

； （3）

x π

x tan lim

2

+

→

；

（4）x x x x x ---∞→+-3333lim ； （5）n

n z n z n ??? ??-+-∞→22lim ； （6）21

0)sin(lim x x x x ??? ?

?→； （7）???? ??-+→x x a x 1)1(lim 0；（8）???? ?

????? ??+∞→∞→222lim lim y x y x x y ；（9）()

??? ??+-→→y xy y x x y 3252223lim lim ； （10）()

???

? ?

?

+-→→y xy y x y x 3252232

lim lim

；（11）???? ?????? ??+∞→∞→222lim lim y x y x y x ；（12）??? ??→)1sin(lim 0x x 。 四、实验操作

（1）学会N[]和expr//N 的使用方法。

In[1]:=546*54564

In[2]:=N[%]

In[3]:=46545^45676 // N

（2）学会Solve[]和NSolve[]的使用方法。

In[5]:= p=x^4-2x^3-4x^2+3;Solve[p==0,x]

In[6]:=NSolve[p= =0,x]

（3）学会Clear[]和FindRoot[]的使用方法

In[7]:=Clear[x]

In[8]:=f=Sin[x]-Cos[x]

In[9]:=Plot[f,{x,-4,4}]

In[10]:=FindRoot[f,{x,1}]

In[11]:=FindRoot[f,{x,{0,1}}]

（4）学会用Solve[]求解方程组。

In[12]:=Solve[{a1*x+b1*y==c1,a2*x+b2*y==c2},{x,y}]（5）学会DSolve[]的使用方法

In[13]:=DSolve[y''[x]+3y'[x]+2y[x]==Exp[x],y[x],x]（6）用 Mathematica软件计算下列极限：

（1）In[1]:= Limit[(n^3)/(-n^3+n^2+1),n ->Infinity];（2）In[2]:= Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->1]（3）In[3]:= Limit[Tan[x],x->Pi/2,Direction->-1]

（4）In[4]:= Limit 3x3x

3x3x

,x

（5）In[5]:= Limit 2n z

2n z

n

,n

（6）In[6]:= Limit Sin x

x 1

x2,x0

（7）In[7]:= Limit[((1+x)^a-1)/x,x->0]

（8）In[8]:= Limit[Limit[x^2y/(x^2+y^2),x],y]（9）In[9]:=Limit Limit x2y22xy53y,x2,y3

（10）In[10]:=Limit Limit

x2y

x2y2

,x,y

（11）In[11]:=Limit Limit

x2y

x2y2

,y,x

（12）In[12]:=Limit[Sin[1/x], x->0] (*无极限的例子*)

实验二积分运算与微分基本运算及函数的幂级数展开

一、实验目的

（1）通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法；

（2）学习并掌握二重积分及线性积分的计算方法；

（3）学习常用积分命令；

（4）掌握求函数的导函数和偏导数方法；

（5）学会使用Mathematica软件进行函数的幂级数展开。

二、预备知识

（1）定积分的概念、几何意义，二重积分的概念、二重积分化为定积分的过程及其计算方法；

（2）本实验所用Mathematica有关命令：

●无限积分：Integrate[f,x]

●定积分：Integrate[f,{x，上限，下限}]

（3）函数的导函数、偏导数以及函数的幂级数展开式；

（4）本实验所用的Mathematica函数提示：

（a）求导数（或偏导数）

●D[表达式F,x] 求F对于变量x的导数；

●D[表达式F,x1,x2,...] 按顺序求F关于x1，x2,…的偏导数；

●D[表达式F,{x,n}] 求F对x的n阶导数。

（b）幂级数展开

● Series[表达式F,{x,x0,n}] 求F关于变量x在x0的n阶泰勒展式。

三、实验内容与要求

（1）求函数

32)sin(x x a f =的原函数；

（2）求x ax n

d ?；

（3）求?1

d x ax n ；

（4）求??+1

01

22d d x x y xy x ； （5）求??x

y y x x 00d cos d π

。 （6）求出被积函数F (x )=

5

312+++x x x 的原函数和导函数，并画出被积函数、原函数和导函数的图形，试分辨出哪一条曲线属于哪个函数。

（7）对函数sin x 在0点展开10阶和20阶，并以图形方式对比展开的结果和sin x 的差别，并分析阶数高的展式对于原来函数的逼近程度是否优于阶数低的展式。

四、实验操作

（1）In[1]:=Integrate[a*Sin[x^2]x^3,x] （2）In[2]:=Integrate[a*x^n, x] （3）In[3]:=Integrate[a*x^n, {x, 0, 1}]

（4）In[4]:=Integrate[Integrate[x*y, {y, 2x, x^2 + 1}], {x, 0, 1}] （5）In[5]:=Integrate[x*Cos[y],{x,0,Pi},{y,0,x}] （6）In[1]:=f1=(x+1)/(x^2+3x+5)

In[2]:=f2=Integrate[f1,x] In[3]:=f3=D[f1,x]

In[4]:=Plot[{f1,f2,f3},{x,-1,1}] （7）In[5]:=s1=Series[Sin[x],{x,0,10}]

In[6]:=s2=Series[Sin[x],{x,0,20}] In[7]:=g1=Normal[s1] In[8]:=g2=Normal[s2]

In[9]:=Plot[{g1,Sin[x]},{x,-5,5}]

In[10]:=Plot[{g2,Sin[x]},{x,-5,5}] In[11]:=Plot[g1-g2,{x,-5,5}]

实验三 放射性废料的处理问题

一、实验目的

巩固和理解微分方程理论及其应用。

二、预备知识

常微分方程理论和Mathematica 解方程的命令。

三、问题的提出

美国原子能委员会以往处理浓缩放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辩说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉到海底时的速度超过12.2 m/s ，圆桶与海底碰撞会发生破裂。为避免圆桶碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重为239.46 kg ，体

积为0.2058 m 3,海水密度为1035.71 kg/m 3

。如果圆桶下沉到海底时的速度小于12.2 m/s ，就说明这种方法是可靠的；否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比，其正比例常数为0.6。 （1）根据问题建立数学模型。

（2）根据数学模型求解的结果，判断这种处理废料的方法是否合理？

四、问题分析及建立模型 圆桶运动规律： f

F G F --=合

(1)

22dt

s

d m dt dv m ma F ===合 （2）

其中mg G

=，gV

F ρ=

dt

ds

k kv f ==

由题设可得圆桶的位移和速度分别满足如下微分方程：

????

????

?===--==0)0(0)0(022s v dt ds

dt ds k

gV mg dt

s d m t ρ (3) kv gV mg dt

dv

m --=ρ (4) 2、若

2

2

??

? ??==dt ds k kv f ，类似上面，可得到这时圆桶的速度分别满足如下微分方程：

2kv gV mg dt

dv m --=ρ 五、计算过程

1、由（1）（2）（3）（4）以及题设的初始数据，通过如下Mathematica 程序就可以求出圆筒的位移和速度的方程。 源程序：

In[1]:=m = 239.46; w = 0.2058; g = 9.8; p = 1035.71; k = 0.6;

DSolve[{m*s''[t] == m*g - p*g*w - k*s'[t], s[0] == 0, s'[0] == 0}, s[t], t]

DSolve[{m*v'[t] == m*g - p*g*w - k*v[t], v[0] == 0}, v[t], t] Out[1=

s t

2.718280.00250564t171511.171511.2.718280.00250564t

429.7442.718280.00250564t t（5）v t429.744429.7442.718280.00250564t0.00250564t（6）2、由（5）及S(t)=90m，由下面程序

FindRoot

90 2.718281828459045`0.002505637684790779`t

171510.99243459993`

171510.9924345999`

2.718281828459045`0.002505637684790779`t

429.7444059999998`

2.718281828459045`0.002505637684790779`t t,

t,13

得到：t=12.994 ，带入（6），运行如下命令

v t_

429.7444059999998`

429.7444059999998`

2.718281828459045`0.002505637684790779`t

0.002505637684790779`t;

v12.9994

得V=13.772>12.2，此时说明此法处理废料不行。

六、结果分析

在实际情况中k 与 v 的关系很难确定，所以上面的模型有它的局限性，且对不同的介质比如在空气中和在水中k 与 v 的关系就不同。在一般情况下，k应是v的函数，即k=k(v)，至于是什么样的函数很难确定。