平行四边形的边、角的特征 公开课获奖教案

18．1平行四边形

18．1.1平行四边形的性质

第1课时平行四边形的边、角的特征

1．理解平行四边形的概念；(重点)

2．掌握平行四边形边、角的性质；(重点)

3．利用平行四边形边、角的性质解决问题．(难点)

一、情境导入

如图，平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美．它是什么样的对称图形呢？它又具有哪些基本性质呢？

二、合作探究

探究点一：平行四边形的定义

如图，在四边形ABCD中，∠B ＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．

解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．

证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．

方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．

探究点二：平行四边形的边、角特征

【类型一】利用平行四边形的性质求边长

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．

解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.

方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．

【类型二】利用平行四边形的性质求角

如图，在平行四边形ABCD中，

CE ⊥AB 于E ，若∠A ＝125°，则∠BCE 的度数为( )

A ．35°

B ．55°

C ．25°

D ．30°

解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°.∵∠A ＝125°，∴∠B ＝55°.∵CE ⊥AB 于E ，∴∠BEC ＝90°，∴∠BCE ＝90°－55°＝35°.故选A.

方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．

【类型三】 利用平行四边形的性质证明有关结论

如图，点G 、E 、F 分别在平行四

边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .

解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS ”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE 中，∵????

?CF ＝CE ，∠FCP ＝∠ECP ，

CP ＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .

方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．

【类型四】 判断直线的位置关系

如图，在平行四边形ABCD 中，

AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．

解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．

解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝

1

2∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋

1

2∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC

＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．

方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．

探究点三：两平行线间的距离

如图，已知l 1∥l 2，点E ，F 在l 1

上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．

解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．

证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝1

2GH ·h ，S △FGH

＝1

2GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH

＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于

△FHO 的面积．

方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．

三、板书设计

1．平行四边形的定义

2．平行四边形的边、角特征 3．两平行线间的距离

学生通过观看多媒体课件的演示和动

手操作的过程，得出并掌握平行四边形的性质，效果比较好．例题能够引导学生用不同的方法去解决问题并加以变式练习，使教师能根据学生的掌握情况及时解决学生在练习的过程中发现问题，并通过投影指出错误，规范说理过程，极大提高课堂效率．

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理

1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点) 2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题；(重点) 3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点) 一、情境导入

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？

二、合作探究

探究点一：勾股定理

【类型一】 直接运用勾股定理

如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，

AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，CD ⊥AB 于D ，求：

(1)AC 的长；

(2)S △ABC

； (3)CD 的长． 解析：(1)由于在△ABC 中，∠ACB ＝

90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，根据勾股定理即可求出AC 的长；(2)直接利用三角形的面

积公式即可求出S △ABC ；(3)根据面积公式得到CD ·AB ＝BC ·AC 即可求出CD .

解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13cm ，BC ＝5cm ，∴AC ＝AB 2－BC 2＝

12cm ；

(2)S △ABC ＝12CB ·AC ＝12×5×12＝

30(cm 2)；

(3)∵S △ABC ＝12AC ·BC ＝1

2

CD ·AB ，∴CD

＝

AC ·BC AB ＝60

13

cm. 方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．

【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用

在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，

BC 边上的高AD ＝12，试求△ABC 的周长．

解析：本题应分△ABC 为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．

解：此题应分两种情况说明：

(1)当△ABC 为锐角三角形时，如图①所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝

152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝5

＋9＝14，∴△ABC 的周长为15＋13＋14＝42；

(2)当△ABC 为钝角三角形时，如图②所示．在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝

152－122＝9.在Rt △ACD 中，CD ＝AC 2－AD 2＝132－122＝5，∴BC ＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△

ABC 的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．

【类型三】 勾股定理的证明

探索与研究： 方法1：如图：

对任意的符合条件的直角三角形ABC 绕其顶点A 旋转90°得直角三角形AED ，所以∠BAE ＝90°，且四边形ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形ABFE 的面积相等，而四边形ABFE 的面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt △BEA 和Rt △ACD 拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE 面积等于Rt △BAE 和Rt △BFE 的面积之和进行

解答；方法2：根据△ABC 和Rt △ACD 的

面积之和等于Rt △ABD 和△BCD 的面积之和解答．

解：方法1：S 正方形ACFD ＝S 四边形ABFE ＝S △BAE ＋S △BFE ，即b 2＝12c 2＋1

2

(b ＋a )(b －a )，整理

得2b 2＝c 2＋b 2－a 2，∴a 2＋b 2＝c 2；

方法2：此图也可以看成Rt △BEA 绕其直角顶点E 顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ，∴S △ABC ＋S △ACD ＝S △ABD ＋S △BCD ，即12b 2＋12ab ＝12c 2＋1

2a (b －a )，整理得

b 2＋ab ＝

c 2＋a (b －a )，b 2＋ab ＝c 2＋ab －a 2，

∴a 2

＋b 2＝c 2.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

如图是一株美丽的勾股树，其中

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、

D 的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形

E 的面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A 、B 的面积和为S 1，正方形C 、D 的面积和为S 2，S 1＋S 2＝S 3，即S 3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A 、B 、C 、D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A 、B 、C 、D 的面积和即是最大正方形的面积．

三、板书设计 1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2.

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、

“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．

3．勾股定理与图形的面积

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．