2.1.2求曲线的方程(2)(教学设计)

2.1.2求曲线的方程（2）（教学设计）

教学目标：

知识目标：1.根据条件，求较复杂的曲线方程.

2.求曲线的交点.

3.曲线的交点与方程组解的关系. 能力目标:

1.进一步提高应用“五步”法求曲线方程的能力.

2.会求曲线交点坐标,通过曲线方程讨论曲线性质. 情感目标：

1.渗透数形结合思想.

2.培养学生的辨证思维.

教学重点

1.求曲线方程的实质就是找曲线上任意一点坐标(x,y)的关系式f(x,y)=0.

2.求曲线交点问题转化为方程组的解的问题.

教学难点

1. 寻找“几何关系”.

2. 转化为“动点坐标”关系.

教学方法

启发诱导式教学法.

启发诱导学生联想新旧知识点的联系，从而发现解决问题的途径.

教学过程

一、复习回顾：

求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:

1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ;

2.写出适合条件P 的几何点集:{}

()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式;

5.证明(查漏除杂).

说明：回顾求简单曲线方程的一般步骤,阐明步骤(2)、(3)为关键步骤,说明(5)步不要求书面表达,但思维一定要到位,注意等价性即可. 二、师生互动，新课讲解： （一）、直接法：

由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．

例1：(1)求和定圆x 2+y 2=R 2的圆周的距离等于R 的动点P 的轨迹方程；

(2)过点A(a ，o)作圆O ∶x 2+y 2=R 2(a ＞R ＞o)的割线，求割线被圆O 截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析：

动点P 的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R 或|OP|=0．

解：（1）设动点P(x ，y)，则有|OP|=2R 或|OP|=0． 即x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0．

故所求动点P 的轨迹方程为x 2+y 2=4R 2或x 2+y 2=0． （2）设弦的中点为M(x ，y)，连结OM ， 则OM ⊥AM ． ∵kOM ·kAM=-1，

其轨迹是以OA 为直径的圆在圆O 内的一段弧(不含端点)．

变式训练1：.如图，在平面直角坐标系中，已知动点P (x ，y )，PM ⊥y 轴，垂足为M ，点N 与点P 关于x

轴对称且OP →·M N →

＝4，求动点P 的轨迹方程。

解：x 24－y 2

2＝1

（二）、代入法（相关点法）：若动点P(x ，y)随已知曲线上的点Q(x 0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x 、y 表示，则将Q 点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P 的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代入法)．

例2：已知△ABC ，A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线132

-=x y 上移动，求△ABC 的重心的轨迹方程．

解析： 设△ABC 的重心为G (x ，y )，顶点C 的坐标为(x 1

，y 1

)，由重心坐标公式得???

x ＝－2＋0＋x

1

3

y ＝0－2＋y

1

3

，

∴?????

x 1＝3x ＋2

y 1

＝3y ＋2， 代入y 1＝3x 21－1，得3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1.

∴y ＝9x 2＋12x ＋3即为所求轨迹方程

题后感悟] (1)代入法：像本例将所求点M 的坐标代入已知曲线方程求得动点M 的轨迹方程的方法叫代入法．

(2)代入法求轨迹(曲线)方程的基本步骤为

①设点：设所求轨迹上任意点M (x ，y )，设动点(已知轨迹的动点)P (x 0，y 0)．

②求关系式：求出两个动点的关系式?

????

x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).

③代入：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．

变式训练2：已知O 为直角坐标系原点，M 为圆()322

2

=+-y x 上的动点，试求MO 中点的轨迹方程。

（三）、参数法：如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出，也没有明显的相关点，但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响，此时，可先建立x 、y 分别与这个变量的关系，然后将该变量(参数)消去，即可得到x 、y 的关系式．

例3：过原点的直线与圆0562

2=+-+x y x 相交于A 、B 两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程。 解：设过原点的直线为y=kx ，弦AB 的中点M(x,y) 把y=kx 代入x2+y2-6x+5=0得：

x2+(kx)2-6x+5=0即: (1+k2)x2-6x+5=0

消去k 得：y2=3x-x2

∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为y2=3x-x2。

变式训练3：二次函数2

2

()x (21)1()f x m x m m R =+++-∈的顶点的轨迹方程。

答案:

三、课堂小结，巩固反思：

221k 16x x +=+∴2

2121k 16k

kx kx y y +=+=+∴???

???

?+=+=+=+=∴221221k 13k 2y y y k 132x x x 04

3=--y x

1、求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:

1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M 的坐标(,)x y ;

2.写出适合条件P 的几何点集:{}

()P M P M =; 3.用坐标表示条件()P M ,列出方程(,)0f x y =; 4.化简方程(,)0f x y =为最简形式; 5.证明(查漏除杂).

2、 常用求轨迹方程的方法。 四、【课时作业】 1、（课本P37习题2.1 B 组 NO ：1） 2、（课本P37习题2.1 B 组 NO ：2）

3、△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的积是4

9

，求顶点A 的轨迹方程。 （注：暂不考虑变量的取值范围）

解：

22

13681

y x -=

4、点P 与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？

解：

22

11612

x y += 5、已知曲线C ：y 2=x+1，定点A(3,1)，B 为C 上任一点，点P 为AB 的中点，当B 在曲线C 上运动时，求点P 的轨迹方程。

6、已知点M 到点F(0,1)和直线l ：y ＝－1的距离相等，求点M 的轨迹方程．

图2

解：设点M 的坐标为(x ，y)，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|＝|MQ|}，其中Q 是点M 到直线y ＝－1的垂线的垂足．由两点间距离公式及点到直线的距离公式，得x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，将上式两边平方，得x 2＋(y －1)2＝(y ＋1)2，化简，得y ＝1

4

x 2.①

),

,(y x P 令),

,(11y x B ??????

?=+=+.2

1,2

311

y y x x ???-=-=∴.

12,

3211

y y x x .

)12(1)32(2-=+-∴y x P 点的轨迹方程是所求，

又2

111y x =+ 解: