第一章 误差分析与误差的传播习题及解答

第一章 误差分析与误差的传播

一、判断题：

1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( ?)

2. 用1-2

2

x 近似表示cos x 产生舍入误差。 (? )

3. 任给实数a 及向量x ，则||||||||x x a a =。 (?)

二、填空题：

1.设*

2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*

x

有(3)位有效数字。

2.

*

x 的相对误差的

1

2

倍。 3. 为了使计算 3

2)1(6)1(41310--

-+-+

=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写

为 ，为了减少舍入误差，应将表达式

1999

2001-改写为 。

（1

1

,))64(3(10-=

-++=x t t t t y ，

199920012+；）

4. 7

22

,

141.3,142.3分别作为π的近似值有 , , 位有效数字。（4 ,3 ,3；） 5. π的近似值3.1428是准确到 近似值。答： 2

10-

6. 取 3.142x =作为 3.141592654x =┅的近似值，则x 有 位有效数字.答：4

7. 近似值*

0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；

*x 的相对误差的( 3

1)倍；

9. 计算方法主要研究( )误差和( )误差；（截断，舍入） 10.近似数x*=0.0310,有（ ）位有数数字。解：3位

11. 按四舍五入原则数 2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。（ 2.7183 和 8.0000）

12. 、，则A 的谱半径

＝ ，A 的＝

（

）

11.计算取，利用（ ）式计算误差最小。

四个选项：

解：

三、选择题 1. 用1+

3

x 近似表示3

1x +所产生的误差是( D )误差。 A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断 2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

3. 用s *

=21

g t 2

表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )，

s t 是在时间t 内的实际距离，则s t - s *

是（C ）误差。

A. 舍入

B. 观测

C. 模型

D. 截断 4、舍入误差是( )产生的误差。

A. 只取有限位数

B.模型准确值与用数值方法求得的准确值

C. 观察与测量

D.数学模型准确值与实际值 （A ） 5、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。

A. 6

B. 5

C. 4

D. 7 （B ） 6、用 1+x 近似表示e x

所产生的误差是( )误差。

A. 模型

B. 观测

C. 截断

D. 舍入 （C ）

7. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()()1212x x x x εεε-=- B. ()()()1212x x x x εεε+=+ C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=

答：A

8. x = 1.234, 有3位有效数字，则相对误差限 ε r ≤（ ）．

(A).0.5×10 -1

； (B). 0.5×10 -2

； (C). 0.5×10 -3

； (D). 0.1×10 -2

．

答：B

四、解答题

1. 设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x 的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式有

已知x*的相对误差满足，而，故

即

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几

位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得

有5位有效数字，其误差限，相对误差限

有2位有效数字，

有5位有效数字，

3.下列公式如何才比较准确？

（1）

（2）

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）

（2）

4.设

2

1

2

S gt

=，假定g是准确的，而对t的测量有0.1

±秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，

而相对误差却减少。解：

2**2

2211()0.122

()0.10.2

()1122

,(),().r r e S S S gt gt gt e S gt e S t gt gt t e S e S =-=

-====

∴↑↑↓ 5. 计算下列矩阵的范数：

1），求

2），求

3) ，求

解：1）

2）

3）

6. 求矩阵101010202A -??

??=????-??

的谱半径.

解

()()1

010

1

132

2

I A λλλλλλλ--=-=--- 4分

矩阵A 的特征值为1

230,1,3λλλ=== 8分

所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ

==

7. 证明向量X 的范数满足不等式 （1

）

2

X

X ∞

∞

≤≤ (2)

11

1

X X X

n

∞

≤≤

证明（1）设j x 是向量

X 的分量，则2

22

21

max n

i i i i X

x x n X ∞

∞

=??=≤≤??∑，

所以由向量范数的概念可知，结论成立。 5分

（2）由

1

111max n i i i i X

x x X

n n ∞

=??=≥=??∑

1

1

max n

i i i i X

x x X ∞=??=≤=??∑

所以结论成立。 8、为了使20

的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？

解：设

20

有n 位有效数字，由

4.420=，知41=a

令 %1.0108

1

1021)20()1()1(1*

----n n r a ε,

取 4=n

, %1.010125.0)20(3

*

故 472.420≈

五、简述题

1. 叙述在数值运算中，误差分析的方法与原则是什么？

解：数值运算中常用的误差分析的方法有：概率分析法、向后误差分析法、区间分析法等。

误差分析的原则有：1）要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法；2）要避免两近数相减；3）要防止大数吃掉小数：4）注意简化计算步骤，减少运算次数。