第一讲 集合(1和2)

高中数学

第一讲 集合(一)

◆知识网络

一．知识要点分析：

1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。

2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。 3理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，理解“?≠ ”、“?”的含义。 4.会判断简单集合的相等关系

⑴结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；

⑵掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。 二．重点知识分析：

1.集合的基本概念及表示方法。

2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。

3.子集的概念、真子集的概念。 三．难点知识分析：

1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。

2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。

3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。

4.集合的交、并的性质。

三．知识要点精讲

1.集合的概念

⑴集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

集合

集合的概念

集合的表示方法

集合间的基本关系

集合的基本运算 列举法 包含

Ｖｅｎｎ图

描述法

子集

真子集

相等 交集 并集 补集

⑵元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2.集合元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。

◆确定性 我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。

怎样理解集合的“确定的”性呢？

其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。

例1

判断下列对象能否构成集合。

１.某校的年轻教师 ２.某校大于50岁的教师 ３.某校的女教师

◆互异性 集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。

通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。

例2 已知{

}12,12-∈a a ，则a ＝ .

◆无序性 集合中的元素是没有顺序的。

这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。

注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。

例3 （湖北高考）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={}Q b P a b a ∈∈+,|，若

P={}5,2,0，Q={

}6,2,1，则P+Q 中元素的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6

2.集合的分类及表示方法

⑴集合通常用大写拉丁字母A 、B 、C ……表示，元素通常用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示。

这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。 ⑵常见数集的表示：

自然数集，即非负整数集，记作N ；（注：包括“0”） 正整数集，记作N + 或者N *；（注：不包括“0”） 整数集，记作Z ；

有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 复数集，记作Ｃ。

⑶集合的分类：

集合可以根据它含元素的个数分为“有限集”和“无限集”

⑷集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法，还有图像法。

◇自然语言法就是用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可。如“由所有正方形构成的集合”、“大于2且小于10的奇数构成的集合”都是用自然语言表示的。

◇列举法就是将集合中的元素一一列举说明来表示集合。比如{2，3，4，5}、{a ，b ，c ，d}。注意元素之间用“，”分隔开。

◇描述法就是通过将集合中元素的范围和共同特征描述出来，以此方法表示集合。用符号来表示就是{x ∈A|P （x ）}，其中x 表示集合中的代表元，A 指的是代表元x 的范围， P （x ）表示代表元x 的共同特征，“|”表示将代表元与其特征分隔开来，使得意思明确。 注意：①写清楚集合中的代表元的代号，如集合{x ∈R|x<1}不能写成{x<1}；

②集合与代表元素所采用的字母符号无关，如集合{x ∈R|x<1}也可以写成 {y ∈R|y<1}，还可以写成{a ∈R|a<1}，都是一样的集合； ③准确使用“且”和“或”；

④集合中不能出现未被说明的符号，如{x ∈Z|x=2k}中的k 未被说明，故此集合元素是不明确的；

⑤描述的内容应该都要写进集合符号内，如{x ∈Z|x=2k}，k ∈Z 不符合要求，应该写成{x ∈Z|x=2k ，k ∈Z}；

⑥有时联系上下文，元素的范围x ∈R 是明确的，则x ∈R 可以省略。

几种特殊数集的范围和意义需要牢记，经常会应用到。 注意区分下面集合中的元素所表示的含义： ⑴集合(){

}

,|x y y x =中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y x =的解集，或

者理解为曲线y x =

上的点组成的点集；

⑵集合{}

x |y x =

中的元素是x ，这个集合表示函数y x =

中自变量x 的取值范围，

即表示函数的定义域；

⑶集合{

}

y |y x =

中的元素是y ，这个集合表示函数y x =

中函数值y 的取值范围，

即表示函数的值域；

⑷集合{

}

y x =中的元素只有一个（方程y x =

），它是用列举法表示的单元素集合．

◇还有其他的一些表示方法，这里介绍一个常用的方法就是维恩图，也叫文氏图，用

于显示元素集合重叠区域的图示。

上图中圆圈A 内表示集合A ，圆圈Ａ以外的元素都不属于集合Ａ，同时我们还可以看出Ａ是Ｂ的子集。在解题中使用维恩图的方式比较直观，往往更易理解。

注：维恩图的应用往往起到帮助理解的作用。在集合类题目的求解中，特别是集合应用题中，往往数形结合的方法比较简易快捷的得到结果。

例4 向50名学生调查对A 、B 两件事的态度，有如下结果：赞成A 的人是全体人数的5

3

，

其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学

生比对A 、B 都赞成的学生数的3

1

多1人。问：对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各

有多少人？

3.集合与元素的关系

元素与集合有属于和不属于两种关系。如果a 是集合A 的元素，则a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，则a 不属于A ，记作a ?A 。

注意a 与{a}的区别，a 表示一个元素，而{a}表示一个集合，两者是属于的关系，如0∈{0}。

4.集合与集合的关系

如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或称集合B 包含集合A ，记作A 包含于B 。这时，我们也说集合A 是集合B 的子集。任何一个集合是它本身的子集，注意不要漏掉。如果A 包含于B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集。如果A 包含B ，B 包含C ，则A 包含C 。（注：包含具有“传递性”）

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 5.空集的特性

不含任何元素的集合叫做空集，记作?。?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。?只有一个子集，即它本身。注意?与{?}的区别，?是不含任何元素的集合，{?}是指以空集为元素的集合，已经成为非空集合了。

B A

C

顾名思义，空集就是什么都没有的集合。可以这么理解，空口袋也是口袋啊。

第二讲 集合(二)

例5 判断正误

{}?∈?（ ） {}???（ ） {}

{}0，，??∈?（ ） 6.有限集合的子集个数

由n 个元素构成的集合有2n 个子集、2n -1个真子集、2n -1个非空子集、2n -2个非空真子集。

例6．已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ）

A ．15

B ．16

C ．3

D ．4

7.运算关系（交、并、补）

◇由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，记作Ａ∪Ｂ，读作“A 并B ”，即Ａ∪Ｂ={x|x ∈A ，或x ∈B}。“或”的意思是指两者满足其一即可，当然都满足也是可以的。在写并集时要注意元素的互异性，两个集合的公共元素只能出现一次。比如A={1,2,3}，B={1,2,4}，则Ａ∪Ｂ={1,2,3,4}，而不能写成Ａ∪Ｂ={1,1,2,2,3,4}。

并集就是把两个集合中的元素合在一起，去掉重复的，然后放进一个集合里。 ◇由所有属于集合Ａ且属于集合Ｂ的元素组成的集合，称为集合Ａ与集合Ｂ的交集，记作Ａ∩Ｂ，读作“Ａ交Ｂ”。即Ａ∩Ｂ={x|x ∈A ，且x ∈B}。“且”的意思是指两者必须都满足，缺一不可。另外要注意“所有”，不能漏掉一些元素。

交集就是两个集合中相同的元素全部挑出来，组成一个新集合。

◇如果一个集合含有我们所要研究的每个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。全集是一个相对的概念。设Ｕ是一个全集,A 是Ｕ的一个子集,由Ｕ中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做Ｕ中子集A 的补集(或余集)，记作C ＵA 。补集是相对于全集而存在的，在研究补集之前必须先明确全集。

补集就是互补的集合。通俗理解就是一个全集，一刀切两半，这样分开后的两个集合就是互补了，而且一个元素在一个集合中，那么肯定不在另一个集合里。从符号的角度来看，若x ∈Ｕ，则x ∈A 和x ∈C ＵA 二者必居其一。 2. 运算性质

⑴C ＵＵ＝?，C Ｕ?＝Ｕ，C Ｕ（C ＵA ）＝Ａ，Ａ∪C ＵA ＝Ｕ，Ａ∩C ＵA ＝?；

若Ａ包含于Ｂ，则C ＵA 包含C ＵＢ；反之，若C ＵA 包含C ＵＢ，则Ａ包含于Ｂ； 若Ａ＝Ｂ，则C ＵA ＝C ＵＢ；反之，若C ＵA ＝C ＵＢ，则A=B ； C Ｕ（A ∩B ）=C ＵA ∪C ＵB ，C Ｕ（A ∪B ）=C ＵA ∩C ＵB ； 注： 希望你能全部理解掌握！！！ ⑵对于任意两个集合A 、B ，都有：

A B B A = B A A ? B A B ? A B A ? B B A ? 注： 并集越并越大，交集越交越小

分配律，结合律：

Ａ∩（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ； Ａ∪（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ； Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）； Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）。

9. 德摩根定律计算集合元素个数公式

设有限集Ａ、Ｂ、Ｃ，card （A ）表示集合A 的元素个数，则 （１）card （Ａ∪Ｂ）＝card （Ａ）＋card （Ｂ）－card （Ａ∩Ｂ）．

（２）card （Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝card （Ａ）＋card （Ｂ）＋card （Ｃ）－card （Ａ∩Ｂ）－card （Ｂ∩Ｃ）－card （Ｃ∩Ａ）＋card （Ａ∩Ｂ∩Ｃ）

题型一：考查集合的概念与性质

1、下列命题真命题的个数有（ ）

⑴集合{

}的正有理数小于1是一个有限集； ⑵集合{}1|2-=x y y 与集合(){}1|,2-=x y y x 是同一个集合； ⑶由1，32，64，|-32|，0.5这些数组成的集合有5个元素； ⑷集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。

2、已知x 、y 、z 为非零实数，代数式

xyz

xyz z z y y x x +++的值所组成的集合为M ，则下列判断正确的是（ ）

A 、M ?0

B 、M ∈2

C 、M ?-4

D 、M ∈4

3、设a ，b ，c 为实数，))(()(2c bx x a x x f +++=，)1)(1()(2+++=bx cx ax x g 。记集合

},0)(|{R x x f x S ∈==，},0)(|{R x x g x T ∈==，若{}S ，{}T 分别为集合S ，T 的元素个数，

则下列结论不可能的是（ ）

A 、{}S =1且{}T =0

B 、{}S =1且{}T =1

C 、{}S =2且{}T =2

D 、{}S =2且{}T =3

题型分类与解题方法总结

4、已知集合{

}1,1+=m A ，则实数m 满足的条件是 。

题型二：元素和集合的关系

5、集合{}Z k k x x P ∈==,2|，{}Z k k x x Q ∈+==,12|，{}Z k k x x R ∈+==,14|，P a ∈，

Q b ∈，则有（ ）

Ａ、P b a ∈+ Ｂ、Q b a ∈+ Ｃ、R b a ∈+ Ｄ、以上都不对

题型三：集合间的关系

６、已知集合??????∈+==Z m m x x M ,61|，???

???∈-==Z n n x x N ,312|，

?

??

???∈+==Z p p x x P ,612|，则M 、N 、P 满足的关系是（ ）

Ａ、P N M ?= Ｂ、P N M =? Ｃ、P N M ?? Ｄ、M P N =?

７、设集合{

}6,5,4,3,2,1=A ，{}8,7,6,5,4=B ，则满足A S ?且?≠B S 的集合S 的个数是（ ）

Ａ、５７ Ｂ、５６ Ｃ、４９ Ｄ、８

题型四：两个集合相等的应用

８、设集合{

}b a A ,,1=，{}ab a a B ,,2=，且B A =，求20092008b a +的值。

题型五：已知集合的关系求字母的范围

９、已知{}32|+≤≤=a x a x A ，{}51|>-<=x x x B 或，若?=B A ，求a 的取值范围。

１０、设集合{}R x x x x A ∈=+-=,023|2，{}R x a x x x B ∈=+-=,04|2，若A B A = ，求实数a 的取值范围。

◆提高题

１１、设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，P b ∈都有b a +，b a -，ab ，

P b

a

∈（除数0≠b ）

，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题： ⑴数域必含有0，1两个数； ⑵整数集是数域； ⑶若有理数集Q M ?，则数集M 必为数域； ⑷数域必为无限集。

其中正确命题序号是 。

１２、设集合{}Z b Z a b a x x A ∈∈-==,,|22。求证：对Z k ∈，A k ?-24，A k ∈-12。