2017年全国卷3文科数学试题及参考答案

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试题类型：新课标Ⅲ

2017年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：

1.答题前，考生先将自己的、填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I 卷

一、单选题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分。) 1. 已知集合{}{}1,2,3,4,2,4,6,8A B ==，则A

B 中的元素的个数为( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 2. 复平面表示复数()2z i i =-+的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是( )

A. 月接待游客量逐月增加

B. 年接待游客量逐年增加

C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月

D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．已知4

sin cos 3

αα-=

，则sin 2α=( ) A. 79- B. 29- C. 29 D. 79

5. 设,x y 满足约束条件3260

00x y x y +-≤??

≥??≥?

则z x y =-的取值围是( )

A. []3,0-

B. []3,2-

C. []0,2

D. []0,3

6. 函数()1sin cos 536f x x x ππ???

?=++- ? ????

?的最大值为( )

65 B. 1 C. 35 D. 15

7. 函数2

sin 1x

y x x =++

的部分图像大致为( )

8．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

9. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

A. π

34π C.2π D. 4

π 10. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则( )

A.11A E DC ⊥

B. 1A E BD ⊥

C. 11A E BC ⊥

D. 1A E AC ⊥

11. 已知椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右顶点分别为A 1

，A 2

，且以线段A 1

A 2

为直径的

圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为( )

A B C D . 13

12. 已知函数()()211

2x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =( )

A . 12-

B . 13

C . 12

D . 1

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题、第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 已知向量()2,3a =-，()3,b m =，且a b ⊥，则m =____。 14. 双曲线()22

2109

x y a a -

=>的一条渐近线方程为35y x =，则a =____。

15. ABC ?角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知60,3C b c ===，则__.A = 16. 设函数()1,02,0

x x x f x x +≤?=?>?则满足()112f x f x ?

?+-> ???的x 的取值围是_______。

三、简答题(本大题共6小题，共70分。) 17. 设数列{}n a 满足()123...212n a a n a n +++-= (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)求数列21n a n ??

??+??

的前n 项和；

18. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：C )有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶。为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频率分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)。当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值并估计Y 大于0的概率？ 19. 如图，四面体ABCD 中，ABC ?是正三角形，AD CD = (1)证明：AC BD ⊥

(2)已知ACD ?是直角三角形，AB BD =,若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE EC ⊥，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比

20. 在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于,A B 两点，点C 的坐标为(0,1)。当m 变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；

(2)证明过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值。

21. 设函数()()2

ln 21f x x ax a x =+++.

(1)讨论()f x 的单调性； (2)当0a <时，证明()3

24f x a

-. 22. 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

在直角坐标系xOy 中，直线1l 与参数方程为2,

x t y kt =+??=?(t 为参数)，直线2l 的参数方程为

2x m m y k =-+??

=??

(m 为参数)，设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通方程；

(2) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设(

)3:cos sin 0l ρθθ+-，M 为l 3

与C 的交点，求M 的极径.

23.选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

已知函数f (x )=│x +1│–│x –2│. (1)求不等式f (x )≥1的解集；

(2)若不等式f (x )≥x 2

–x +m 的解集非空，求m 的取值围.

参考答案

单选题

1. B

2. C

3. A

4. A

5. B

6. A

7. D

8. D

9. B 10. C 11. A 12. C

单选题详解 1. 集合

和集合

有共同元素2，4，则

所以元素个数为2.

2. 化解得，所以复数位于第三象限。

3. 由折线图可知，每年月接待游客量从8月份后存在下降趋势，故选A ．

由题意易知，()2

16sin cos 9αα-=，1612sin cos 9αα∴-=，

167

sin 22sin cos 199

ααα∴==-=-

由题意，画出可行域，端点坐标 ,

在端点

处分别取的最小值与最大值.

所以最大值为，最小值为

故选

6．

()1111sin cos sin sin 536522f x x x x x x x ππ?????

?=++-=+++ ? ? ? ???????

()

333sin sin 2sin 5553x x x x x π??===?+ ??

? 故最大值为6

7．

注意到四个答案的差别，可以取一个较小的自变量值，比如0.01x =，

则()()

sin 0.01

0.0110.01 1.0100.01f =++>>，故排除,A C 注意,B D 的差别，可取特别大的自变量，此时2

sin x

x 可忽略不计此时1y x ≈+，故排除B