2012-2013高中数学《第二讲 参数方程》真题考点 新人教A版选修4-4

第二讲 参数方程 本章归纳整合

高考真题

1．(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

[命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由???

?

?x ＝ρcos θy ＝ρsin θ

得，cos θ＝x

ρ，sin θ＝y ρ

，ρ2＝x 2＋y 2

，代入ρ＝2sin

θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x

ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0.

答案 x 2

＋y 2

－4x －2y ＝0

2．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为???x ＝5cos θ，

y ＝sin θ(0≤θ<π)和?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的

交点坐标为________．

[命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程 转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围．

解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ

(0≤θ<π)，得x 25＋y 2

＝1(y ≥0，

x ≠－5)，由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 2

5＋y 2

＝1，x ＝54

y 2

，

则5y

4

＋16y 2－16＝0，解得y 2＝45或y 2

＝－4(舍去)，则x ＝54

y 2＝1，又y ≥0，所以

其交点坐标为? ????

1，255.

答案 ?

????

1，255

3．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆???

?

?x ＝5cos φ，y ＝3sin φ

(φ为参数)的右焦点，且与直线

?

????x ＝4－2t ，

y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________．

[命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问

题的能力．

解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2

－b 2

＝ 4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝ 0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1

2(x －4)，即x －2y －4＝0.

答案 x －2y －4＝0

4．(2011·湖南高考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?

????x ＝cos α，

y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系

(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________． [命题意图]本题考查圆的参数方程、直线的极坐标方程，直线与圆的位置关 系等基础知识，考查运算能力，考查等价转化的思想方法，考查方程思想． 解析 曲线C 1的普通方程是x 2

＋(y －1)2

＝1，曲线C 2的直角坐标方程是x －y ＋1＝0，由于直线x －y ＋1＝0经过圆x 2

＋(y －1)2

＝1的圆心，故两曲线的交 点个数是2. 答案 2

5．(2011·陕西)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别

在曲线C 1：?

????x ＝3＋cos θ，

y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．

[命题意图]本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程 互化的相关知识．

解析 消掉参数θ，得到C 1的普通方程(x －3)2

＋(y －4)2

＝1，表示以(3，4)为 圆心，以1为半径的圆；C 2的直角坐标方程为x 2

＋y 2

＝1表示的是单位圆，|AB | 的最小值为32

＋42

－1－1＝3. 答案 3

6．(2011·福建高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为

??

?x ＝3cos α，

y ＝sin α

(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极

点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为?

????4，π2，判断点P 与直线l

的位置关系；

(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． [命题意图]本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基 础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．

解 (1)把极坐标系下的点P ?

????4，π2化为直角坐标，得P (0，4)．

因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．

(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点

Q 到直线l 的距离为

d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ?

????α＋π6＋4

2

＝2cos ?

????α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ? ????α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.

7．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为???

?

?x ＝cos φ，y ＝sin φ，

(φ为参数)，曲线C 2的参

数方程为?

????x ＝a cos φ，

y ＝b sin φ，(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线

l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π

2

时，这两个交点

重合．

[命题意图]本题主要考查了参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与 极坐标方程的互化．

(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；

(2)设当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π

4

时，l 与

C 1，C 2的交点分别为A 2B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．

解 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分 别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.

当α＝π

2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这

两点重合，所以b ＝1.

(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2

＋y 2

＝1和x 2

9

＋y 2

＝1.

当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝2

2，与C 2交点B 1的横坐标

为x ′＝310

10

.

当α＝－π

4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对

称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为 （2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝2

5.