平面向量题型归纳
平面向量题型归纳
一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】
1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是
2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)；
5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：∥相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
∥两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
∥平行向量无传递性！（因为有0)；
∥三点A B C 、、共线? AB AC 、
共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）
A.AB CD =
B.AB AD BD -=
C.AD AB AC +=
D.AD BC +=0
7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-。例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。其中正确的是_______
题型1、基本概念
1：给出下列命题：
∥若|a |＝|b |，则a =b ；∥向量可以比较大小；∥方向不相同的两个向量一定不平行； ∥若a =b ，b =c ，则a =c ；∥若a //b ，b //c ，则a //c ；∥00a ?=；∥00a ?=； 其中正确的序号是 。
2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。 （9）若ma na =，则m n =。
（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（11）若||||a b a b ?=?，则//a b 。 （12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
二、向量加减运算
8.三角形法则：
AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）
9.平行四边形法则：
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
题型2.向量的加减运算
1、化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。
2、已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
3、在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 ( )
A. 0AD =
B. 00AB AD ==或
C. ABCD 是矩形
D. ABCD 是正方形 题型3.向量的数乘运算
1、计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-= 题型4.作图法求向量的和
1、已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +
和322
a b -。 题型5.根据图形由已知向量求未知向量 1、已知在ABC ?中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，
表示AD 。 2、在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。
题型6.向量的坐标运算
1、已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132
a b -= 。 练习：若物体受三个力1(1
,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。 2、已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。
3、.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。
2、已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。
5、已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内
的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1、已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：
A.1212e e e e +-和
B.1221326e e e e --和4
C.122133e e e e +-和
D.221e e e -和 练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A))2,1(),0,0(21-== (B) )7,5(),2,1(2
1=-= (C) )10,6(),5,3(21==e e (D) )4
3,21(),3,2(21-=-=e e 2、.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3
--
3、知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于
4、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、
B 、D 三点共线，求k 的值.
5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∥R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ） A ．3x +2y -11=0 B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=0
四．平面向量的数量积：
1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2
π时，，垂直。 实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a
a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λ≠0。
例1、已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____
例2、已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→
??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是 2．平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ
叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3．向量的运算律：
1．交换律：a b b a +=+，()
()a a λμλμ=，a b b a ?=?； 2．结合律：
()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ?=?=?； 3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()
a b c a c b c +?=?+?。 题型8：有关向量数量积的判断 1：判断下列各命题正确与否：
（1）)()(++=++；（2）若a b a c ?=?，则b c ≠当且仅当0a =时成立；
（3）?+?=?+)(；（4）()()a b c a b c ??=??对任意,,a b c 向量都成立；
（5）若0,a a b a c ≠?=?，则b c =；（6）对任意向量a ，有22a a =。 (7)m （+）=m +m 其中正确的序号是 。
2、下列命题中：∥ →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；∥ →
→→→→→??=??c b a c b a )()(；∥ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-?+；∥ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→b ；∥若,a b c b ?=?则a c =；∥22a a =；∥
2a b b a a ?=；∥222()a b a b ?=?；∥22
2()2a b a a b b -=-?+。其中正确的是______ 题型9、求单位向量 【与a 平行的单位向量：||
a e a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 。2.与1
(1,)2
m =-平行的单位向量是
题型10、数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||
a b a b θ?=? 向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =
+，2
2||a a =，2||()a b a b +=+ 1、∥ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→?BC ，则=?BC AB _________
2、已知1
1(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4
π，则k 等于____ 3、已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ?，（2）()a a b ?+， （3）1()2
a b b -?，（4）(2)(3)a b a b -?+。 4、已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____
5、已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。
6、已知(1,0)A ，(0,1)B ，(2,5)C ，求cos BAC ∠。
7、已知非零向量,（2-⊥=，则b a 与的夹角为
8：已知ABC ?中50ABC ∠=,BC BA =,则BA 与AC 的夹角为
9：已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若向量c =a +b ，且a ∥c ，则a b 的值为 10：∥已知|a |＝1|b |＝2，|a ＋b |＝2，则b 与2a -b 的夹角余弦值为 ． 11：已知向量｜a ｜=2，｜b ｜=2，a 和b 的夹角为 135，当向量a +λb 与λa +b 的
夹角为锐角时，求λ的取值范围。 题型11、求向量的模的问题 如向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+
1、已知零向量==+==，则），（2510.,12
2、已知向量,====221
3、已知向量
)3,1(=，=+-=)0,2(
4、已知向量-==),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为
5、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
(A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1
6、 设向量，1==及34=-，求3+
练习：已知向量,，3.,52-===b a -+
7、 设向量，则+-⊥==2),2(,21
8、已知向量、满足1a =，4||=b ，则|－|的最大值是 最小值是 。 题型12、结合三角函数求向量坐标
1. 已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，||2OA =，150xOA ∠=，求OA 的坐标。
2.已知O 是原点，点A 在第一象限，||43OA =60xOA ∠=，求OA 的坐标。
五、平行与垂直知识点：1221//a b a b x y x y λ?=?=；
题型13：向量共线问题
1、已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=若∥，则实数x
2、设向量），（，（3212==若向量+λ与向量)74(--=，共线，则=λ
3、已知向量），（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是（ ）
A ．-2
B ．0
C ．1
D ．2
练习：设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线
5、已知,不共线，k -=+=,，如果∥，那么k= ,与d 的方向关系是
练习：已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______
6、已知向量且），（，（,221m -==a ∥b ，则=+b a 32
题型14、 向量的垂直问题
1、已知向量x ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为
2、已知向量=--==n n ），若，（，（211 练习：已知=（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值
3、已知单位向量m m n n m ⊥-），求证：（的夹角为和23
π
4、=⊥-===k k 若（），（),2,()3,1(,13
练习： ）
满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥（ 5、以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________
题型15、在上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。
1、已知3||=→a ，5||=→
b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→
b 上的投影为______ 2、已知8a =，e 是单位向量，当它们之间的夹角为
3π时，a 在e 方向上的投影为 。
，45==，b a 与的夹角3
2πθ=
，则向量在向量上的投影为 题型16、三点共线问题 1.已知(0,2)A -，(2,2)B ，(3,4)C ，求证：,,A B C 三点共线。
2.设2(5),28,3()AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，求证：A B D 、、三点共线。 练习：已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是 。
3.已知(1,3)A -，(8,1)B -，若点(21,2)C a a -+在直线AB 上，求a 的值。
4.已知四个点的坐标(0,0)O ，(3,4)A ，(1,2)B -，(1,1)C ，是否存在常数t ，使OA tOB OC +=成立？
5：21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=，若 D B A ,,三点共线，则k =
6：∥设O 是直线l 外一定点，A 、B 、C 在直线l 上，且x +=3,则x = 7：设a ，b 是两个不共线向量，若a 与b 起点相同，t∥R ，t= 时，a ，t b ，
13
(a ＋b )三向量的终点在一条直线上。 8：如图，在∥ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同
的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________________．
9:在∥OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使|OM →|∥|OA →|＝1∥3，|ON →|∥|OB →|＝1∥4，设线段
AN 与BM 交于点P ，记OA →＝a ，OB →＝b ，用a ，b 表示向量OP →.
练习：如图，在∥OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12
OB →，AD 与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 、b 表示OM →；
(2)已知在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE →＝pOA →，OF →＝
qOB →，求证：17p ＋37q
＝1. 六、线段的定比分点：
1．定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数
λ ，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP 的以
定比为λ的定比分点；
2．λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；
例1、若点P 分AB 所成的比为34
，则A 分BP 所成的比为_______ 3．线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP 所成的
比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?
，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121222x x x y y y +?=???+?=??。 题型17、定比分点
2、若M （-3，-2），N （6，-1），且1MP MN 3--→
--→=-，则点P 的坐标为_______ 3、已知(,0),(3,2)A a B a +，直线12
y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a 等于 七、平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k =平移至(,)P x y ''，则x x h y y k
'=+??'=+?；曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.注意：
（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，
题型18、平移
1、按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______
2、函数x y 2sin =的图象按向量→a 平移后，所得函数的解析式是12cos +=x y ，则→
a ＝________
八、向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； （2）||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，特别地，当 a b 、
同向或有0?||||||a b a b +=+ ≥||||||||a b a b -=-；当 a b 、
反向或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+；当 a b 、不共线?||||||||||||a b a b a b -<±<+(这些和实数比较类似).
（3）在ABC ?中，∥若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G ++++?? ???
。如 1、若∥ABC 的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则∥ABC 的重心的坐标为_______
∥1()3
PG PA PB PC =++?G 为ABC ?的重心，特别地0PA PB PC P ++=?为ABC ?的重心；
∥PA PB PB PC PC PA P ?=?=??为ABC ?的垂心；
∥向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； ∥||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?ABC ?的内心；
（3）若P 分有向线段12PP 所成的比为λ，点M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ
+=+，特别地P 为12P P 的中点122
MP MP MP +?=； （4）向量 PA PB PC 、、中三终点A B C 、、共线?存在实数αβ、使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=.如
2、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点)1,3(A ,)3,1(-B ,若点C 满足=?→?OC ?→
??→?+OB OA 21λλ,其中R ∈21,λλ且121=+λλ,则点C 的轨迹是_______ 题型19、判断多边形的形状
1.若3AB e =，5CD e =-，且||||AD BC =,则四边形的形状是 。
2.已知(1,0)A ，(4,3)B ，(2,4)C ，(0,2)D ，证明四边形ABCD 是梯形。
3.已知(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ?是直角三角形。
4、在∥ABC 中，若0=?-?→→→→CB AB BA BA ，则∥ABC 的形状为
（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．直角三角形
5、在平面直角坐标系内，(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=,求证：ABC ?是等腰直角三角形。
6、平面四边形ABCD 中，=，=，=，=，且
?=?=?=?，判断四边形ABCD 的形状．
题型20：三角形四心
1、已知ABC ?的三个顶点A 、B 、C 及ABC ?所在平面内的一点P ，若0PA PB PC ++=
则点P 是?ABC 的 （ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
2. 已知点O 是三角形所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ?=?=?,则O 是三角形ABC 的（ ）
（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
3、已知点O 是三角形所在平面上一点，若222OA OB OC ==，则O 是三角形ABC 的（ ）
（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 练习、已知O ，N ，P 在所在平面内，且，
且，则点O ，N ，P 依次是的（ ）
（A ）重心 外心 垂心 （B ）重心 外心 内心
（C ）外心 重心 垂心 （D ）外心 重心 内心
4、∥在平面内有?ABC 和点O ，若()()0AB OA OB AC OC OA ?+=?+=，则点O 是?ABC 的
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
5、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足()OP OA AB AC λ=++,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ）
（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
6、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，
动点P 满足OP OA λ=++ ||||AB AC AB AC ?? ???
,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
7、已知点O 是平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足OP OA λ
=++ ||cos ||cos AB AC AB B AC C ?? ???
,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ）
ABC ?,0OA OB OC NA NB NC ==++=PA PB PB PC PC PA ?=?=?ABC ?
（A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
8、已知O 平面上一个定点，A 、B 、C 是平面内不共线三点，动点P 满足
2
OB OC OP λ+=++ ||cos ||cos AB AC AB B AC C ?? ???
,R λ∈，则动点P 一定通过ABC ?的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 题型21.平面向量与三角函数结合题
1、已知向量(2sin ,cos )42x x m =，(cos 4
x n =，设函数()f x m n =? ∥求函数()f x 的解析式
（2）求()f x 的最小正周期；
（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．
练习：已知向),cos ,sin 3(x m x a += ),cos ,(cos x m x b +-=且b a x f ?=)(
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当??
????-
∈3,6ππx 时，)(x f 的最小值是4-，求此时函数)(x f 的最大值，并求出相应的x 的值 练习2、.已知向量)cos ,(sin A A = , )2,1(-=，且0=?
∥求A tan 的值
（2）求函数)(sin tan 2cos )(R x x A x x f ∈+=的值域
2、 已知322
π
πα<<，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα。
(I)若||||AC BC =，求角α的值；
(II)当1AC BC ?=-时，求22sin sin(2)1tan ααα
++的值。 5、已知向量，，设函数
的图象关于直线对称，其中，为常数，且. （∥）求函数的最小正周期；
（∥）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围. 6.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A,B,C 三点满足OC =1OA 3+2OB 3
. (1)求证:A,B,C 三点共线;
(2)求|AC ||CB |
的值;
(3)已知A(1,cos x),B(1+cos x,cos x),x∥0,2π??????,f (x )=OA ·OC -22m 3??+ ???|AB |的最小值为-32,求实数m 的值.
(cos sin ,sin )x x x ωω
ω=-a (cos sin ,)x x x ωωω=--b ()f x λ=?+a b ()x ∈R πx =ωλ1(,1)2
ω∈()f x ()y f x =π(,0)4
()f x 3π[0,]5
平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结
第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：
2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
高三高考平面向量题型总结
平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）
2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)
江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
高三高考平面向量题型总结,经典
平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：
2018全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】
1. 判断正误（在括号内打或“X”） ⑴零向量与任意向量平行.（） （2）若a// b, b// c,贝U a// c.（） ⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（） （4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（） ⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（） 2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若 ③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（） A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017 ? 枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =() A.2 B.3 C. —2 D. —3 4.(2015 ?全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X = 5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示). 1 2 6.（2017 ?嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE = 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ ,入2= _______________ . 考点一平面向量的概念 【例1】下列命题中，不正确的是_________ （填序号）. ①若I a| = |b| ,则a= b； ②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件； ③若a= b, b= c,贝V a= c. 【训练1】下列命题中，正确的是_________ （填序号）. ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； a, b都是单位向量，则a= b；
2020年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练
（ （ 2020 年高考文科数学《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 平面向量的基本定理 例 1 给出下列命题： （1）向量 AB 与向量 BA 是共线向量，不是平行向量； （2）若向量 a 与向量 b 都是单位向量，则 a = b ； （3）若 AB = DC ，则 A, B, C , D 四点构成平行四边形； （4） l , m 为实数，若 l a = mb ，则 a 与 b 共线．其中错误的命题的序号是 ． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）错误，因为共线向量就是平行向量，平行向量就是共线向量；（2）错误，向量有方向和大小 两个要素，只有方向相同且长度相等，两个向量才相等。两个单位向量不一定相等，因为它们的方向不一 定相同； 3）是错误的，当 A 、B 、C 、D 在一条直线上时，它们不构成平行四边形； 4）是错误的，当 l =m =0 时， a 与 b 可以共线可以不共线 【易错点】对平行向量单位向量的概念理解不透彻容易忽视一些特殊情况，若 A B = DC ，则 A 、B 、C 、D 四点可能在一条直线上，所以不一定能构成平行四边形。l =m =0 ，若 l a = mb ，则 a 与 b 不一定共线。 【思维点拨】平面向量线性运算问题的求解策略： （1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量， 三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． （2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等 变形手段在线性运算中同样适用． （3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果． 1
平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒doc
一、多选题 1．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3 π ，a ＝7，则以下判断正确的是（ ） A ．△ABC 的外接圆面积是493 π ； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16； D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大 值是73 . 2．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B > D ． sin sin sin +=+a b c A B C 3．下列结论正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积33S =，则三角形外接圆半径为3 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A ．10,45,70b A C ==?=? B ．45,48,60b c B ===? C ．14,16,45a b A ===? D ．7,5,80a b A ===? 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ） A ．2 AB AB AC B ．2 BC CB AC C ．2AC AB BD D ．2 BD BA BD BC BD
2019高考平面向量及考试题型汇总
2019高考平面向量及考试题型汇总 高考数学平面向量部分知识点梳理 一、向量的概念： (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O. 单位向量aO 为单位向量?｜aO ｜＝1. (5) (6) 相反向量：a=-b?b=-a?a+b=0 (7)平行向量(共线向量) ：方向相同或相反的向量，称为平行向量. 记作a ∥b. 平 行向量也称为共线向量. (8)向量的运算： ?x =x 2 ??1 ?y 1=y 2(ｘ1，ｙ1) ＝（ｘ2，ｙ2） 二、重要的公式、定理： (1)平面向量基本定理：e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任 一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e1＋λ2e2. (2)两个向量平行的充要条件：a ∥b ?a ＝λb(b≠0) ?x1y2－x2y1＝O. (3)两个 向量垂直的充要条件：a ⊥b ?a ·b ＝O ?x1x2＋y1y2＝O. 1P 2所成的比为λ，即 P 1＝λPP 2(4)线段的定比分点公式：设点P 分有向线段P 11 OP ＝1+λOP 1＋1+λOP 2 (线段的定比分点的向量公式) ?x =????y =?? x 1+λx 2 , 1+λy 1+λy 2 . 1+λ (线段定比分点的坐标公式)
当λ＝ 1 x 1+x 2?x =, ??2? 1?y =y 1+y 2. ?2＝2（1＋OP 2）或? (5)平移公式： 设点P(x，y) 按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P ′（x ′，y ′）， ?x '=x +h , ? y '=y +k . 则O P ＝+a或? 曲线y ＝f （x ）按向量a ＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为： y －ｋ＝f （x －ｈ) (6) a b c ===2R . sin A sin B sin C 正弦定理： 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝c2＋a2－ 2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC. （7）三角形面积计算公式： 设△ABC 的三边为a ，b ，c ，其高分别为ha ，hb ，hc ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r. ①S △=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S △=Pr ③S △=abc/4R ④S △=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S △= P P -a P -b P -c [海伦公式] ⑥S △=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
平面向量题型汇总,基础
《平面向量》题型汇总 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量, 41==且满足2.=，则与的夹角为 . 2.已知非零向量, （2-⊥=，则与的夹角为 . 3.已知向量b a , 满足424)2.(==-=+-（，则与的夹角为 . 4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 【基础练习】
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12 (AC →＋AB → ).( ) 2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA → 相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC → (λ∈R )， 则λ＝( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 5.(必修4P92A12改编)已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC → ＝______，BC → ＝________(用a ，b 表示). 6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC → (λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念 【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
全国卷高考复习--平面向量(知识总结+题型)
第一部分 平面向量的概念及线性运算 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±错误! 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等,不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为０ 2.向量的线性运算 向量 运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a +b ＝ｂ+a . （2)结合律: (ａ＋b )+ｃ= a +( b + c ） 减法 求ａ与b 的相反向量 -b 的和的 运算叫做 a 与b 的差 a － b =ａ+(-b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ|｜a |； (2)当λ>0时，λａ的方向与a 的方向相同;当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝ 0时,λａ＝0 λ(μa )=λμa ; (λ+μ)a =λa +μa ； λ(a +b )=λａ＋λb 向量ａ(a ≠0)与ｂ共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa . 【基础练习】
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.（ ) （2）若ａ∥b ,ｂ∥c ,则a ∥c ．( ） (3)向量错误!与向量错误!是共线向量，则A ，B ,C ,D 四点在一条直线上．( ) （4)当两个非零向量a ,b 共线时,一定有b ＝λa ,反之成立.( ) (5)在△ABC 中,D 是BC 中点，则错误!=错误!(错误!+错误!)．( ) ２.给出下列命题：①零向量的长度为零,方向是任意的;②若ａ，b 都是单位向量,则a ＝b ； ③向量AB ，→与错误!相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① ? B.③ ?Ｃ.①③ D.①② 3.(2０17·枣庄模拟)设D 为△ＡBC 所在平面内一点,错误!=－错误!错误!+错误!错误!，若错误!=λ错误!(λ∈R )，则λ=( ） A.２ ?Ｂ.3 Ｃ.－2 ?D ．－３ 4．（2０15·全国Ⅱ卷)设向量a ，ｂ不平行，向量λａ+b 与a +2b 平行，则实数λ＝______＿___＿_. 5.（必修4Ｐ９２Ａ12改编)已知?ＡBCD 的对角线AC 和B Ｄ相交于O ,且错误!=a ，错误!=ｂ，则错误!＝___＿__,错误!=_____＿__(用a ,ｂ表示). ６．(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△A ＢC 的边ＡB ,BC 上的点,AD =错误!AB ,B Ｅ=错误!ＢC ,若错误!=λ1错误!+λ2错误!(λ1,λ2为实数)，则λ１＝__＿＿____,λ2=＿＿__＿__＿. 考点一 平面向量的概念 【例1】 下列命题中,不正确的是______＿_(填序号). ①若|ａ｜＝|ｂ|,则a ＝ｂ； ②若Ａ，B ，C ,D 是不共线的四点，则“错误!=错误!”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a =b ,b ＝c ，则ａ＝c ． 【训练１】 下列命题中，正确的是____＿__＿（填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量ａ与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段，有向线段也不是向量; ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反； ③正确，向量既有大小,又有方向，不能比较大小;向量的模均为实数，可以比较大小． 答案 ③ 考点二 平面向量的线性运算
2018全国卷高考复习 平面向量(知识总结+题型)
第一部分 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向 量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量；其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a |a | 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向 量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较 大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝ a ＋( b ＋ c ) 减法 求a 与b 的相反向量 －b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 a － b ＝a ＋(－b ) 数乘 求实数λ与向量a 的积的运算 (1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0 λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 【基础练习】
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12 (AC →＋AB → ).( ) 2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA → 相等.则所有正确命题的序号是( ) A.① B.③ C.①③ D.①② 3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC → (λ∈R )， 则λ＝( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 5.(必修4P92A12改编)已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC → ＝______，BC → ＝________(用a ，b 表示). 6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC → (λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念 【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c . 【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小. 解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；
平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒 百度文库
一、多选题 1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是 （ ） A ．() 0a b c -?= B ．() 0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?= D ．2a b c ++= 2．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 3．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点 时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8,33?? ??? 4．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 5．下列结论正确的是（ ） A ．在ABC 中，若A B >，则sin sin A B > B ．在锐角三角形AB C 中，不等式2220b c a +->恒成立 C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 D ．在ABC 中，若3b =，60A =?，三角形面积S =3 6．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 7．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =- C ．()13,4e =-，234,55??=- ??? e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
高考专题：平面向量中的三角形“四心”问题题型总结汇编
专题：平面向量中三角形“四心”问题题型总结 在三角形中，“四心”是一组特殊的点，它们的向量表达形式具有许多重要的性质，在近年高考试题中，总会出现一些新颖别致的问题，不仅考查了向量等知识点，而且培养了考生分析问题、解决问题的能力．现就“四心”作如下介绍： 1．“四心”的概念与性质 (1)重心：三角形三条中线的交点叫重心．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.在向量表达形式中，设点G 是△ABC 所在平面内的一点，则当点G 是△ABC 的 重心时，有GA ＋GB ＋GC ＝0或PG ＝13 (PA ＋PB ＋PC )(其中P 为平面内任意一点)．反之，若GA ＋GB ＋GC ＝0，则点G 是△ABC 的重心．在向量的坐标表示中，若G ，A ，B ，C 分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为G (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3， y 3)，则有x ＝x 1＋x 2＋x 33，y ＝y 1＋y 2＋y 33 . (2)垂心：三角形三条高线的交点叫垂心．它与顶点的连线垂直于对边．在向量表达形式中，若H 是△ABC 的垂心，则HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA 或HA 2＋BC 2 ＝HB 2＋CA 2＝HC 2＋AB 2.反之，若HA ·HB ＝HB ·HC ＝HC ·HA ，则H 是△ABC 的垂心． (3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫内心．内心就是三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．在向量表达形式中，若点I 是△ABC 的内心，则有|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0.反之，若|BC |·IA ＋|CA |·IB ＋|AB |·IC ＝0，则点I 是△ABC 的内心． (4)外心：三角形三条边的中垂线的交点叫外心．外心就是三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．在向量表达形式中，若点O 是△ABC 的外心，则(OA ＋OB )·BA ＝(OB ＋OC )·CB ＝(OC ＋OA )·AC ＝0或|OA |＝|OB |＝|OC |.反之，若|OA |＝|OB |＝|OC |，则点O 是△ABC 的外心． 2．关于“四心”的典型例题 [例1] 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________心． [解析] 由原等式，得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，根据平行四边形法则，知AB ＋AC 是△ABC 的中线所对应向量的2倍，所以点P 的轨迹必过△
2020年高考平面向量常考题型总结
平面向量题型分类 题型一：向量模的求法 【例1】设向量a ，b 满足||1,||a a b =-=()0a a b ?-=，求|2|a b + 【点评】公式||a b +===r r 公式，在利用该公式求解时，要先求出其它基本量，再代入公式. 【变式1】已知向量,a b r r 满足||2,||1,|| 2.a b a b ==-=r r r r （1）求a b ?r r 的值；（2）求||a b +r r 的值. 【例2】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22 a b θθθ==-<<． （Ⅰ）若a b ⊥r r ，求θ；（Ⅱ）求a b +r r 的最大值． 【变式2】已知直角梯形ABCD ,AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点， 则3PA PB +u u u r u u u r 的最小值为____________.
题型二：向量夹角的求法 方法一 利用公式cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 求解. 使用情景 一般没有坐标背景. 解题步骤 先求a b r r g ，||,||a b r r ，再代入公式cos ,a b a b a b <>=u u r r r r g r r 求解. 【例1】已知,2,x a b y a b =+=+r r r u r r r 且||||1,.a b a b ==⊥r r r r （1）求||||x y r u r 和；（2）求,x y r u r 夹角的余弦值. 【变式1】已知,a b r r 都是非零向量，且3a b +r r 与75a b -r r 垂直，4a b -r 与72a b -r r 垂直，求a r 与b r 的夹角. 方法二 利用公式121222221 1 2 2 cos x x y y x y x y θ+= +?+求解. 使用情景 一般有坐标背景. 解题步骤 先求出,a b r r 的坐标，再代入公式121222221 1 2 2 cos x x y y x y x y θ+= +?+求解. 【例2】 如图，函数2sin(),y x x R π?=+∈（其中02 π ?≤≤）的图像与y 轴交于点(0,1). （Ⅰ）求?的值； （Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM u u u u r 与PN u u u r 的夹角的余弦.