小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算
定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.
如：2＋3＝52×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘
积。
由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）
【巩固】可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7）＝（5＋21）×12＝26×12
＝312
【答案】312定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【巩固】【解析】所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）
÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】7
设a △2b a a b =?-?，那么，5△6=______，(5△2)△3=_____.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】56552613
=?-?=△52552221=?-?=△,1321216435
=?-=△【答案】435
【巩固】P 、Q 表示数，*P Q 表示2
P Q +，求3*(6*8)【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星
【题型】计算【解析】68373*(6*8)3*()3*7522
++====【答案】5【巩固】已知a ,b 是任意自然数,我们规定:a ⊕b =a +b -1,2a b ab ?=-,那么
[]4(68)(35)?⊕⊕?=
.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】原式4[(681)(352)]4[1313]=?+-⊕?-=?⊕4[13131]425=?+-=?425298
=?-=【答案】98
【巩固】M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____
=【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，初赛
【解析】原式()()200820102*20092009*20092009200922009
=+÷==+÷=????【答案】2009
【巩固】规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a
么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】19
【答案】19
【例2】“△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。如果1△2
＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，
可得c =1,d =2
6△1000＝6×c ＋1000×d =2006
【答案】2006
【巩固】对于非零自然数a 和b ，规定符号?的含义是：a ?b ＝2m a b a b ?+??（m 是一个确定的整数）。如果1?4＝2?3，那么3?4等于________。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星
【题型】计算【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】根据1?4=2?3，得到
1423214223m m ?+?+=????，解出m =6。所以，634113423412
?+?==??。【答案】11
12【例3】对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=
2x y x y x y ???+,求2△9。【考点】定义新运算之直接运算
【难度】2星【题型】计算【关键词】北京市，迎春杯【解析】根据定义6=2x y x y x y
???+于是有62922952295???==+?【答案】255
【巩固】“*”表示一种运算符号，它的含义是：()()111x y xy x y A *=
+++，已知()()11221212113
A *=+=?++，求19981999*。【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【解析】根据题意得()()()()()()12111,,2116,1211322116
A A A A =-=++==++++，所以()()111120001998199819991998199919981199911998199919992000199819992000399811998199920001998000+*=
+=+=?++????==??【答案】11998000
【例4】[A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
([18][22])[7]+÷=
.【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】因为21823=?有(11)(21)6+?+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.
原式(64)25=+÷=.
【答案】5
【巩固】x 为正数,
<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【巩固】【解析】<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,
所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.
【答案】11
定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例
如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12=.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星【题型】计算
【解析】18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.
【答案】42【例5】我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数
中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：1523(0.6)(0.625)23353411(0.3)( 2.25)996
??Θ+??+Θ的结果是多少？【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算【解析】15232531(0.6)(0.625)123353824341119312(0.3)( 2.25)9963412??Θ+?+===?+Θ+【答案】12
【巩固】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）
&5]×[5◎（3&7）]
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【巩固】【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）&5]×[5◎（3&9）]＝[6&5]×[5◎9]＝6×5＝30
【答案】30
我们规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数。则
()()108651120=
-?△△○13+15△【考点】定义新运算之直接运算
【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，决赛【解析】根据题目要求计算如下：(
)()()()108651120=861315=228=56-?-?+?△○○13+15△【答案】56
【例6】如果规定a ※b =13×a -b ÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【巩固】【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【答案】218
若用G （a ）表示自然数a 的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G
（6）=4，则G (36)+G (42)=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所
以有G 36G +=+=429817（
）（）。【答案】17
【巩固】如果&10a b a b =+÷,那么2&5=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星
【题型】计算【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】2&5=2+5÷10=2.5
【答案】2.5
【例7】“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】华杯赛，六年级，决赛
【解析】偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981
【答案】254948903981
【例8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼
在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另
一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思
是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它
便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是
从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△
狼)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【关键词】华杯赛，复赛
【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式=狼
【答案】狼
【例9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗
规定：警察小偷=警察，警察小偷=小偷．
那么：（猎人小兔）（山羊白菜）=．
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜
【答案】白菜
模块二、反解未知数型
【例10】如果a△b表示(2)
a b
=-?=,那么,当a△5=30时,a=.
-?,例如3△4(32)44
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】依题意,得(2)530
a=.
a-?=,解得8
【答案】8
【巩固】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x=.
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】因为4※1=342110
?-?=,所以x※(4※1)=x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
【答案】9
【巩固】如果a⊙b表示32
-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时,x=
a b
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25,由5x-25=5,解得x=6.
【答案】6
【巩固】对于数a 、b 、c 、d ，规定，＝2ab －c ＋d ，已知<1、3、5、x >＝7，求x 的值。
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】根据新定义的算式，列出关于x 的等式，解出x 即可。将1、3、5、x 代入新定义的运算得：2×1×3
－5＋x ＝1＋x ，又根据已知<1、3、5、x >＝7，故1＋x ＝7，x ＝6。
【答案】6
【例11】定义新运算为1a a b b
+=
，⑴求2(34) 的值；⑵若4 1.35x = 则x 的值为多少？【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】⑴因为313414+== ，所以212(34)2131+=== ⑵14 1.354
x x +== ，14 1.35 5.4, 4.4x x +=?==，所以x 的值为4.4.【答案】⑴3⑵4.4【巩固】对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++- ，其中a 、b 表示
自然数.如果(3)23660x **=，那么x 等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算
【解析】方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数．36606061=?，即：60*23660=，
则360x *=；60345=??，即3*360=,所以3x =．
方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *23660=，y *2(1)36606061y y =+==?,
所以60y =，那么也就有x *360=，60345=??，即3*360=，所以x 3=．
【答案】3
【例12】定义a b *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
714=(7+9+11+13)4=10*÷，1810=(18+16+14+12+10)5=14 *÷．在算术(1999)=80**的方格
中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算
【解析】1999=(19+99)2=59*÷【巩固】，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是
80259101?-=；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80260100?-=．因此所填的数可能是100和101．
【答案】100和101
如有a #b 新运算，a #b 表示a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，
21#2=1.如（21#（21#x ））=5，则x 可以是________（x 小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】4星【题型】计算
【关键词】101中学，入学测试
【解析】这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的
方法.
第一步先把（21#x ）看成一个整体y .对于21#y =5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y
等于（21-5）=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，
这样满足要求的数为26，47…，即形如21N +5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y
所代表的式子（21#x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y 的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#x ）=8与（21#x ）=16.对于（21#x ）=8可分别解得，把21作被除数时：x =13，把21作除数时为：x =29，50，…形如21N +8的整数（N 是正整数）.
对于（21#x ）=16，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x =37，58……所有形如21N +16
这样的整数.（N 是正整数）.所以符合条件的答案是13,29,37．
【答案】13,29,37．
【例13】已知x 、y 满足[]2009x y +=，{}20.09y y +=；其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示x 的
小数部分，即{}[]x x x =-，那么x =。
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【关键词】学而思杯，6年级，第3题
【解析】根据题意，[]y 是整数，所以2009[]x y =-也是整数，那么{}[]0x x x =-=，由此可得
20.09{}20.09020.09y x =-=-=，所以[]20y =，2009[]2009201989x y =-=-=。
【答案】1989
【例14】规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数．若（A ○5＋B △3）×（B ○5+
A △3）＝96，且A 、
B 均为大于0的自然数，A ×B 的所有取值
为．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A 或者B 有3
类不同的范围，A 小于3，A 大于等于3，小于5，A 大于等于5。对于B 也有类似，两者合起来
共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1)当A ＜3，B ＜3，则（5+B ）×（5+A ）=96=6×16=8×12，无解；
2)当3≤A ＜5，B ＜3时，则有（5+B ）×（5+3）=96，显然无解；
3)当A ≥5，B ＜3时，则有（A +B ）×（5+3）=96，则A +B =12.
所以有A =10，B =2，此时乘积为20或者A =11,B =1,此时乘积为11。
4)当A ＜3，3≤B ＜5，有（5+3）×（5+A ）=96，无解；
5)当3≤A ＜5，3≤B ＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6)当A ≥5，3≤B ＜5，有（A +3）×（5+3）=27，则A =9.此时B =3后者B =4。则他们乘积有27与
36两种；
7)当A ＜3，B ≥5时，有（5+3）×（B +A ）=96。此时A +B =12。A 与B 的乘积有11与20两种；
8)当3≤A ＜5，B ≥5，有（5+3）×（B +3）=96。此时有B =9.不符；
9)
当A ≥5，B ≥5，有（A +3）×（B +3）=96=8×12。则A =5,B =9，乘积为45。
所以A 与B 的乘积有11,20,27，36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45模块三、观察规律型
【例15】如果1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋2223※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算（3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【巩固】【解析】通过观察发现：a ※b 中的b 表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a 组成，都由一个数位，
依次增加到b 个数位。（5※3）×5＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】3075
规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星
【题型】计算【解析】7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
【答案】86415
【例16】有一个数学运算符号?，使下列算式成立：
248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?
?=【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】通过对248?=，5313?=，3511?=，9725?=这几个算式的观察，找到规律：
，因此
【答案】17
【巩固】规定a △b (2)(1)a a a b =?+-+-,计算：（2△1）++ （11△10）=______.
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b ＝a －1，所以，我们不妨把b ＝a －1代入原定义．
a △
b (2)(1)a a a b =?+-+-就变成了a △b (2)(1)(1)a a a a =?+-+--=2a ．所以2△122=，
3△223=，……，3△2211=，则原式22=＋23＋24＋…＋21111122315056??=-=．这里需要补充一个公式：22222(1)(21)12346
n n n n ?++++++= ．【答案】505
【例17】一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为()S n ，为偶数的那些数字的和记为()E n ，例如
()134134S =+=，()1344E =．()()12(100)S S S +++= ；()(1)(2)100E E E +++ ＝．【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，5年级，决赛
【解析】可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。
数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。
所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501；
所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】400
模块四、综合型题目
【例18】已知：10△3=14，8△7=2，
43△141=，根据这几个算式找规律，如果8
5△x =1，那么x =.【考点】定义新运算之综合题
【难度】3星【题型】计算【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】规律是a △b =(a －b )×2,所以
85△x =1285=???? ??-x ，即81=x 【答案】
1
8【例19】如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++。
现在规定一种运算"*"，它对于整数a 、b 、c 、d 满足：
(,)*(,)(,)a b c d a c b d a c b d =?+??-?。
例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)
=?+??-?=请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】(2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5)
所以“*”满足交换律
[(2,1)*(6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)*(4,3)=(89,47)
(2,1)*[(6,5)*(4,3)]=(2,1)*(39,9)=(87,69)
所以“*”不满足结合律
【答案】“*”满足交换律
“*”不满足结合律
【例20】用{}a 表示a 的小数部分，[]a 表示不超过a 的最大整数。例如：
{}[]{}[]0.30.3,0.30; 4.50.5,4.54
====记2()21x f x x +=+，请计算(){}()11,;1,133f f f f ???????????? ? ?????????????
的值。【考点】定义新运算之综合题【难度】3星
【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】代入计算结果分别为：0.4，1，0，1
【答案】0.4，1，0，1【例21】在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连
的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每
一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A 表示：2+3，B 表示2+3×2
－1。图C 中表示的式子的运算结果是________。
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】“教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个
圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】2
【例22】64222=??222???表示成()646f =;24333333=????表示成()2435g =.
试求下列的值:
(1)()128f =
(2)(16)()
f g =(3)()(27)6f g +=;
(4)如果x ,y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:()()()f x y f x f y ?=+.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】(1)()7(128)27f f ==;
(2)()()44(16)243(81)f f g g ====;
(3)因为()()336(27)636332(8)g g f f -=-=-===,所以(8)(27)6f g +=;
(4)略
【答案】(1)7(2)81(3)8
(4)令2,2,m n x y ==则(),()f x m f y n ==.
()()()222()()m n m n f x y f f m n f x f y +?=?==+=+.
【例23】对于任意有理数x ,y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y =ax by cxy +-,其中的,,a b c 表示已知数,等式
右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m =x (m ≠0),则m 的数值是_________。
【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算
【解析】由题设的等式x ※y =ax by cxy +-及x ※m =x (m ≠0),得000a bm c m ?+-??=,所以bm =0,又m ≠0,
故b =0.因此x ※y =ax -cxy .
由1※2=3,2※3=4,得23264a c a c -=??-=?【巩固】解得a =5,c =1.
所以x ※y =5x -xy ,令x =1,y =m 得5-m =1,故m =4.
【答案】4x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y =mx +ny ，x △y =kxy ，其中m 、n 、k 均为自然
数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
【考点】定义新运算之综合题【难度】4星【题型】计算
【解析】x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y =mx +ny ，x △y =kxy ，其中m 、n 、k 均为自然
数，已知1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，
根据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值.k 值求出后，l △2的值也就计算出来了，我们设1△2=a .(1△2）*3=a *3，按“*”的定义：a *3=ma +3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此
要计算（1△2）*3的值，我们就要先求出k 、m 、n 的值.通过1*2=5可以求出m 、n 的值，
通过（2*3）△4=64求出k 的值.
因为1**2=m ×1+n ×2=m +2n ，所以有m +2n =5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：
12m n =??=?，223m n =???=??
（舍去）31m n =??=?①当m =1，n =2时：
（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k
有32k =64，解出k =2.
②当m =3，n =1时：
（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k
有36k =64，解出719k =，这与k 是自然数矛盾，因此m =3，n =1，719
k =这组值应舍去。所以m =l ，n =2，k =2.
（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.
【答案】10
【例24】对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：a *b (1)(2)(1)a a a a b =+++++++- ，其
中a 、b 表示自然数.⑴求1*100的值；⑵已知x *10=75，求x 为多少？⑶如果（x *3）
*2=121，那么x 等于几？
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】⑴1*100=1234(11001)5050
++++++-= ⑵x *10=(1)(2)(3)(101)1045x x x x x x +++++++++-=+= 75,解得x =3
⑶方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个加数．1216061=+，即：60*2=121，则x *3=60；60192021=++，即19*3=60,所以x =19．
方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *2=121，y *2(1)121y y =++=,1216061
=+所以y =60，那么也就有x *3=60，60192021=++，即19*3=60，所以x =19．
【答案】19
【巩固】两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2.（8
级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5;
(2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;
(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】(1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3;
由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论.1)x <11,这时x 除11余2,x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.2)x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13.因此(2)的解为x =3,9,13.(3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19.
方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14.
当y =7时,分两种情况解19☉x =7.
1)x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.2)x >19,此时19除x 余7,x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=261927x =?+=45.
当y =14时,分两种情况解19☉x =14.
1)x <19,这时x 除19余14,x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的.2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33.
总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解,x =12,26,33,45.
【答案】(1)9；3；1(2)x =3,9,13.(3)x =12,26,33,45.
【例25】设a ,b 是两个非零的数,定义a ※b a b b a =+.(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).(2)如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【解析】(1)按照定义有2※32332613=+=,3※434431225=+=.于是(2※3)※4136=※4=1341324745613424133126+=+=.2※(3※4)=2※25252242512011225122252460012=+=+=.(2)由已知得323a a +=①若a ≥6,则3a ≥2,从而323a a
+>与①矛盾.因此a ≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a =3符合要求.
【答案】(1)(2※3)※4745312=；2※(3※4)1201600=.(2)a =3
【巩固】定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b .
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c 整除a 和b ,则c 也整除a ⊙b ;如果c 整除a 和a ⊙b ,则c 也整除b ;
(3)已知6⊙x =27,求x 的值.【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,
因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.
(2)略(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.因为6与x 的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x 的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x ?=?.
所以15x =.
【答案】(1)81；10
(2)如果c 整除a 和b ,那么c 是a 和b 的公约数,则c 整除a ,b 的最大公约数,显然c 也整除a ,b 最
小
公倍数,所以c 整除最小公倍数与最大公约的差,即c 整除a ⊙b .
如果c 整除a 和a ⊙b ,由c 整除a 推知c 整除a ,b 的最小公倍数,再由c 整除a ⊙b 推知,
整除a ,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除b ,所以c 整除b .
(3)15
x =【巩固】“⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3=234++；7⊙2=78+：3⊙5=34567++++，……
按此规则，如果n ⊙8=68，那么，n =____.
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【解析】因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，
⊙后面的数表示加数的个数，于是(1)(2)(7)68n n n n +++++++= ，即
(3)(4)684n n +++=÷.5
n =【答案】5
n =【例26】喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求3个正整数()a b c +÷的值。当它依次按了,,,,,,a b c +÷=得
到数字5。而当它依次按,,,,,b a c +÷=时，惊讶地发现得到的数值却是7。这时喜羊羊才明白计
算器先做除法再做加法。于是，她依次按(),,,,,,,a b c +÷=，得到了正确的结果为
。
（填出所有可能情况）
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题
【解析】5b a c +=，7a b c
+=，则5ac b c +=，7bc a c +=，则()()112a b c c ++=，()()12b a c c --=则121a b c c +=+，()1|2c -，2c =或3，1243a b c +==或1234
=【答案】4或3
【例27】国际统一书号ISBN 由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和
书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：
某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是：
①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207；
②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN-7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】7×10＋3×9＋0×8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
÷= ；
19611179
1192
-=。
所以该书号的核检码是2.
【答案】2
【例28】如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B，图1中的路线对应下面的算式：121221216
-+++-++=.请在图2中用粗线画出对应于算式：--++++++的路线．
21222111
【考点】定义新运算之综合题【难度】3星【题型】计算
【关键词】2003年，希望杯
【解析】如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要减去2，向右前进一格要加上2.
【答案】
小学六年级奥数 新定义运算
第一周定义新运算 【名言警句】 天才由于积累，聪明在于勤奋。? ——华罗庚【知识点精讲】 一、什么是定义新运算？ 定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 二、怎么解答定义新运算？ 解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、?等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。 新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例1、假设a*b=(a＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【举一反三】
1、设a*b=(a+b)×(a-b)，求27*9。 2、设a*b=a 2+2b,求10*6和5*(2*8)。 3、设a*b=3a －b ×2 1，求（25*12）*（10*5）。 例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求3△（4△6） 【举一反三】 1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数，规定：*M N M N N M =+，求110*204 －。 例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，4*2444=+， 那么7*4= ；210*2= 。 【举一反三】 1、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，…那么4*4= 。 2、规定*a b a aa aaa =+++??，那么8*5= 。 （b-1）个a 3、如果12*12=，13*233=，14*3444 =，那么((26*)3)*6÷= 。
小学奥数：定义新运算.专项练习及答案解析
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后 两个结果求乘积。 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
小学数学六年级奥数《定义新运算(二)》练习题(含答案)
小学数学六年级奥数《定义新运算（二）》练习题（含答案） 一、填空题 1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= . 2.如果a △b 表示b a ?-)2(,例如3△444)23(=?-=,那么,当a △5=30时, a= . 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1 4.根据上面定义的运算,18△12= . 4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2-=?ab b a ,那么[]=?⊕⊕?)53()86(4 . 5.x 为正数,
级奥数定义新运算
定义新运算 在加.减.乘.除四则运算之外，还有其它许多种法则的运算。在这一讲里，我们学习的新运算就是用“ #”“*”“Δ”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。 例1：如果A*B=3A+2B ，那么7*5的值是多少？ 例2：如果A#B 表示3 B A + 照这样的规定，6#（8#5）的结果是多少？ 例3：规定Y X XY Y X +=? 求2Δ10Δ10的值。 例4：设M*N 表示M 的3倍减去N 的2倍，即M*N=3M-2N （1） 计算（14 *10）*6 （2） 计算 （58*43） *（1 *2 1） 例5：如果任何数A 和B 有A ¤B=A ×B-（A+B ） 求（1）10¤7 （2）（5¤3）¤4 （3）假设2¤X=1求X 例6：设P ∞Q=5P+4Q ，当X ∞9=91时，1/5∞（X ∞ 1/4）的值是多少？ 例7：规定X*Y= XY Y AX +，且5*6=6*5则（3*2）*（1*10）的值是多少？
例8：▽表示一种运算符号，它的意义是））（（A Y A X XY Y X +++= ?11 已知3 211212112=+++=?））（（A 那么20088▽2009=？ 巩固练习 1、已知2▽3=2+22+222=246； 3▽4=3+33+333+3333=3702；按此规则类推 （1）3▽2 （2）5▽3 （3）1▽X=123，求X 的值 2、已知1△4=1×2×3×4；5△3=5×6×7 计算（1）（4△2）+（5△3） （2）（3△5）÷（4△4） 3、如果A*B=3A+2B ，那么 （1）7*5的值是多少？ （2）（4*5）*6 （3）（1*5）*（2*4） 4、如果A>B ，那么｛A ，B ｝=A ；如果A小学奥数新定义运算习题及答案
一、新定义运算(A 卷) 1. 设b a ,表示两个不同的数,规定b a b a 43+=?.求 6)78(??. 2. 定义运算?为a ?b =5×)(b a b a +-?.求11?12. 3. b a ,表示两个数,记为:a ※b =2×b b a 4 1 -?.求 8※(4※16). 4. 设y x ,为两个不同的数,规定x □y 4)(÷+=y x .求 a □16=10中a 的值. 5. 规定a b a b a b +?= .求210 10的值. 6. Q P ,表示两个数,P ※Q =2Q P +,如3※4=2 4 3+=3.5.求4※(6※8); 如果x ※(6※8)=6,那么=x ? 7. 定义新运算x ⊕y x y 1 +=.求3⊕(2⊕4)的值. 8. 有一个数学运算符号“?”,使下列算式成立:4?8=16，10?6=26，6?10=22，18?14=50.求7?3=? 9. “▽”表示一种新运算,它表示:) 8)(1(1 1+++=?y x xy y x .求3▽5的值. 10. b a b a b a ÷+= ?,在6)15(=??x 中.求x 的值. 11. 规定xy y x xA y x ++ =?,而且1?2=2?3.求3?4的值. 12. 规定a ⊕)1()2()1(-+++++++=b a a a a b Λ,(b a ,均为自然数,a b >).如果x ⊕10=65,那么=x ? 13. 对于数b a ,规定运算“▽”为)5()3(-?+=?b a b a .求 )76(5??的值. 14. y x ,表示两个数,规定新运算“”及“△”如下:x y x y 56+=,x △xy y 3=.求(2 3)△4的值.
小学六年级奥数《定义新运算》辅导教案
定义新运算 1 规定a*b=(b＋a)×b，求(2*3)*5。 2 定义运算“△”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b。例如： 4△6=(4，6)＋[4，6]=2＋12=14。 根据上面定义的运算，18△12等于几？ 3 两个整数a和b，a除以b的余数记为a7 b。例如，13 5=3。根据这样定义的运算，(2 6 9) 4等于几？ 4 规定：符号“△”为选择两数中较大的数的运算，“ ”为选择两数中较小的数的运算，例如，3△5=5，3 5=3。请计算下式： [(70 3)△5]×[ 5 (3△7)]。 5 对于数a，b，c，d，规定〈a，b，c，d〉=2ab-c＋d。已知〈1，3，5，x〉=7，求x的值。 6 规定：6* 2=6＋66=72， 2*3=2＋22＋222=246， 1*4=1＋11＋111＋1111=1234。 求7*5。 7 如果用φ(a)表示a的所有约数的个数，例如φ(4)=3，那么φ(φ(18))等于几？ 8 如果a△b表示(a-2)×b，例如 3△4=(3-2)×4=4， 那么当( a△2)△3=12时，a等于几？ 10 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算“*”： a*b＝a(a＋1)(a＋2)…(a＋b-1)。如果(x*3)*2＝3660，那么x等于几？ 11 有A，B，C，D四种装置，将一个数输入一种装置后会输出另一个数。装置A∶将输入的数加上5；装置B∶将输入的数除以2；装置C∶将输入的数减去4；装置D∶将输入的数乘以3。这些装置可以连接，如装置A后面连接装置B就写成A?B，输入1后，经过A?B，输出3。 (1)输入9，经过A?B?C?D，输出几？ (2)经过B?D?A?C，输出的是100，输入的是几？ (3)输入7，输出的还是7，用尽量少的装置该怎样连接？
小学六年级奥数新定义运算
第一周 定义新运算 【名言警句】 天才由于积累，聪明在于勤奋。? ——华罗庚 【知识点精讲】 一、什么是定义新运算？ 定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 二、怎么解答定义新运算？ 解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、 等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。 新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例1、假设a *b=(a ＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【举一反三】 1、设a *b =(a+b)×(a-b)，求27*9。 2、设a *b=a 2+2b ,求10*6和5*(2*8)。 3、设a *b=3a －b ×2 1，求（25*12）*（10*5）。 例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。求3△（4△6） 【举一反三】 1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q －(p ＋q) ÷2。求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数，规定：* M N M N N M =+，求110*204－。 例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，4*2444=+，那么7*4= ；210*2= 。 【举一反三】
【精选】小学三年级奥数__定义新运算一
【精选】小学三年级奥数__定义新运算一 一、拓展提优试题 1．50个学生解答A、B两题，其中没答对A题的有12人，答对A题的且没答对B题的有30人．那么A、B两题都答对的有人． 2．用3、0、8这三个数字可以组成个数字不重复的三位数． 3．如图，式中不同的字母表示不同的数字，那么ABC表示的三位数是． 4．有甲乙两桶酒，如果甲桶倒入8千克酒，两桶酒就一样重，如果从甲桶取出3千克酒倒入乙桶，乙桶的酒就是甲桶的3倍，甲原来有酒千克，乙千克． 5．五个连续的自然数的和是2010，其中最大的一个是． 6．时钟2点敲2下，2秒钟敲完．12点敲了12下，秒可以敲完．7．有A，B，C三人，他们分别是工人、教师、工程师．A的年龄比工人大，C 和教师的年龄不同岁，教师的年龄比B小，那么工程师是． 8．红星小学组织学生参加演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了． 9．古希腊的数学家们将自然数按照以下方式与多边形联系起来， 三边形数：1，3，6，10，15，…… 四边形数：1，4，9，16，25，…… 五边形数：1，5，12，22，35，…… 六边形数：1，6，15，28，45，…… 按照上面的顺序，第8个三边形数为__________． 10．定义运算：a⊙b＝（a×2+b）÷2．那么（4⊙6）⊙8＝11． 11．下面算式中，A、B、C、D、E各代表哪个效字？ A＝，B＝，C＝，D＝，E＝．
12．你能根据以下的线索找出百宝箱的密码吗？ （1）密码是一个八位数； （2）密码既是3 的倍数又是25 的倍数； （3）这个密码在20000000 到30000000 之间； （4）百万位与十万位上的数字相同； （5）百位数字比万位数字小2； （6）十万位、万位、千位上数字组成的三位数除以千万位、百万位上数字组成的两位数，商是25． 依据上面的条件，推理出这个密码应该是（） A．25526250B．26650350C．27775250D．28870350 13．一个不透明的布袋中有黑、白、黄三种颜色的筷子各10根，最少拿出根筷子就能保证有一双是同样颜色的筷子． 14．甲、乙、丙、丁获得了学校的前4名（无并列），他们说： 甲：“我既不是第一，也不是第二”；乙说：“我既不是第二，也不是第三”； 丙：“我的名次和乙相邻”；丁：“我的名次和丙相邻”． 现知道，甲、乙、丙、丁分别获得第A、B、C、D名，并且他们都是不说谎的好学生，那么四位数＝． 15．在如图的每个方框中填入一个适当的数字，使得乘法算式成立，乘积等于． 【参考答案】 一、拓展提优试题 1．解：50﹣12﹣30＝38﹣30＝8（人）； 答：A、B两题都答对的有8人． 故答案为：8． 2．解：用3、0、8可以组成的不重复数字的三位数有： 308，380，803，830； 一共是4个．
小学四年级奥数__定义新运算及作业
2008年秋季五年级奥数 第二讲定义新运算 第 1 页 共 1 页 定义新运算 一、a 、b 是自然数，规定a ※b=(a+b)÷2,求：3※（4※6）的值。 二、对于任意两个自然数a 、b ，定义一种新运算“*”：a*b=ab+a ÷b ，求75*5=？，12*4=？ 三、定义运算符“◎”：a ◎b=3a+4b-5，求6◎9=？9◎6=？ 四、定义两种运算“○＋”和“○×”，对于任意两个整数a 、b 规定：a ○＋b=a+b-1，a ○×b=a ×b-1，那么8○× [（6○＋10）○＋（5○×3）]等于多少？ 五、定义运算“○＋”=（a+b ）÷3，那么（3○＋6）○＋12与3○＋（6○＋12）哪一个大？大的比小的大多少？ 六、a 、b 是自然数，规定a ⊙b= ab-a-b-10，求8⊙8=？ 七、如果1*2=1+2，2*3=2+3+4，3*4=3+4+5+6，……，请按照此规则计算3*7=？ 八、规定运算a@b=（a+b ）÷2，且3@（x@2）=2，求x=？ 九、规定a △b=ab+2a ， a ▽b=2b-a ，求（8△3）▽（9△5）的值。 十、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 1、定义新运算“*”：a*b=3a+4b-2，求（1）10*11；（2）11*10。 2、定义新运算“△”：a △b= a ÷b ×3，求（1）24△6；（2）36△9。 3、规定a ○＋b ，表示自然数a 到b 的各个数之和，例如：3 ○＋10=3+4+5+6+7+8+9+10=52，求1○＋200的值。 4、定义新运算“○×”，a ○×b=10a+20b ，求（3○×7）+（4○×8）。 5、定义新运算“△”：a △b=6a+3b+7，那么5△6和6△5哪个大？大的比小的大多少？ 6、规定a*b=（a+b ）÷2，求[（1*9）*9]*3的值。 7、规定a ☆b=3a-2b ，如果x ☆（4☆1）=7，求x 的值。 8、规定X ○＋Y=（X+Y ）÷4求：（1）2○＋（3○＋5），（2）如果X ○＋16=10，求X 的值。 9、规定a ◇＋b=（a+3）×（b+5），求5◇＋（6◇ ＋7）的值。 10、已知a ○－b 表示a 除以3的余数再乘b ，求13○－4的值。 11. 定义新运算“*”：a*b=a+b-1，求7*4。 12、定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4） 13、设a △2b a a b =?-?，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____. 14、已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ?=-,那么 []4(68)(35)?⊕⊕?= . 15、M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____= 16、规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a 奥数 新定义运算
奥数定义新运算 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运 算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32
例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b 等于两数之和除以后一个数的商。这里 要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a 代表数字8，b 代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a ◎b=a ×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符 号。 6◎（9◎2） =6◎[9×2-（9+2）] =6◎7 =6×7-（6+7） =42-13 =29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。 求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别 是一位数，二位数，三位数，……“Δ”后面的数字是几，就有几个加 数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定?2=1×2×3，?3=2×3×4，?4=3×4×5，…… 计算（21 ?-31?）×32??。
小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算
定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）
小学六年级数学：定义新运算完整版
小学六年级数学：定义 新运算 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
第三 讲 定义新运算 【精准诊查】 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘 米的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】： 定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】 【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b += （1）求()234的值； （2）若4 1.25x =，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++ ++-
（1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】 1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-，如果 (3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】 【知识技巧回顾】 1、学习到哪些知识： 2、解答新运算的步骤： 【巩固练习】 1.如果规定a b *=5×a-12 b ，其中a 、b 是自然数，那么106*= 。 （2011实外） 2.对于自然数a 、b 、 c 、 d ，符号a b d c ?? ??? 表示运算a ×c-b ×d ， 已知1<14b d ?? ??? <3，则b+d 的值是 。 （2010实外） 3.定义新运算：ab a b a b ?= +，求2△10△10= 。 （2012成外） 4.对任意两数a 和b ，都有a ※b=23a b +，若6※x=223，则x= 。 （2009实外） 5.如果规定：3=2×3×4，4=3×4×5，12=11×12×13，…， 111=252626 -? ，那么 = 。 （七中嘉祥）
六年级奥数定义新运算及答案
定义新运算 1.规定:a ※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。 2.如果a △b 表示b a ?-)2(,例如3△444)23(=?-=,那么,当a △5=30时, a= 。 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1 4.根据上面定义的运算,18△12= 。 4.已知a,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2-=?ab b a ,那么 []=?⊕⊕?)53()86(4 。 5.x 为正数, 定义新运算 知识与方法： 对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。 特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。 例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。试计算： (1) 3A2; (2) 2A3。 练习1: 1. 设a b都表示数，规定：a。b=5X a— 2X b。试计算304 2. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。试计算：5*6 例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5) 练习2: 1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算40506 2.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7 例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ? 练习3: 1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ? 7. 2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99 例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5; (2) 8A3。 练习4: 1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。 小学六年级奥数新定义运 算 The following text is amended on 12 November 2020. 第一周 定义新运算 【名言警句】 天才由于积累，聪明在于勤奋。 ——华罗庚 【知识点精讲】 一、什么是定义新运算 定义新运算指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 二、怎么解答定义新运算 解答这类题关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程式，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种特别设计的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如*、△、▽、⊙、等，这是与四则运算中“＋、－、×、÷”不同。 新定义运算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例1、假设a*b=(a ＋b)＋(a-b),求13*5和13*（5*4）。 【举一反三】 1、设a*b =(a+b)×(a-b)，求27*9。 2、设a*b=a 2+2b ,求10*6和5*(2*8)。 3、设a*b=3a －b ×2 1，求（25*12）*（10*5）。 例2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求3△（4△6） 【举一反三】 1、设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q－(p ＋q) ÷2。求5△（6△4）。 2、设p 、q 是两个数，规定：p △q=p 2＋(p －q) ×2。求30△（5△3）。 3、设M 、N 是两个数，规定：*M N M N N M = +，求110*204－。 例3、如果1*5111111111111111=++++，2*42222222222=+++， 3*3333333=++，4*2444=+，那么7*4= ；210*2= 。 【举一反三】 第三讲定义新运算 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米 的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】：定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义， 是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】 【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1 a a b b += e （1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】 1.P 、Q 表示数，*P Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，如果(3)23660x **=，那么x 等于几？ 一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是： 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析火 例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。 求12*4的值。 【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。 【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8, b代表数字5。 8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6 例3、如果a? b=a X b-(a+b)。求6?( 9?2)。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6?(9◎2) =6? [9 X 2- ( 9+2)] =6? 7 =6X 7- (6+7) =42-13=29 例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。求 6 △ 5。 【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5, :X= (X-1 ) X X X (X+1 )。由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 1 1 : 2 ( - )X ：2 ：3 1 3 小学数学定义新运算典 型例题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 远辉教育秋季奥数班第四讲 ——定义新运算 主讲人：杨老师学生：六年级电话：62379828 一、知识点： 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“?、#、*、·”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 二、典例剖析： 例题1：假设a*()+(),求13*5和13*（5*4）。 练习1 1..将新运算“*”定义为：a*()×().求27*9。 2.设a*2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。 3.设a*3a－×b，求（25*12）*（10*5）。 例题2：设p、q是两个数，规定：p△4×()÷2。求3△(4△6). 练习2 1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（）÷2，求5△（6△4）。 2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。求30△（5△3）。 3．设M、N是两个数，规定M*N＝，求10*20－。 例题3：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？ 练习3 1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…..那么，4*4=？，18*3=？ 2．规定a*……,那么8*5=？ （1）个a 3．如果2*1=，3*2=，4*3=，那么（6*3）÷（2*6）=？。 例题4：规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果⑥)－⑦)⑦)×A，那么A是几？ 定义新运算 1.规定:a ※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= 。2.如果a △b 表示b a )2(,例如3△444)23(,那么,当a △5=30时, a= 。 3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为 a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14. 根据上面定义的运算,18△12= 。4.已知a,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b= a+b-1,2ab b a ,那么 )53()86(4。 5.x 为正数,(完整版)定义新运算(小学数学五年级奥数)
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