全等三角形之辅助线(习题及答案)
全等三角形之辅助线（习题）
例题示范
例1：已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 是AB 边上一点，AD =AC ，过点D 作DE ⊥AB ，交BC 于点E ．
求证：CE =DE ．
【思路分析】1
读题标注：2梳理思路：
要证CE =DE ，考虑把这两条线段放在两个三角形中证全等，利用全等三角形对应边相等来证明．
观察图形，发现不存在全等的三角形．
结合条件，AC =AD ，∠C =∠ADE =90°，考虑连接AE ，证明△ACE ≌△ADE ．
【过程书写】
证明：如图，连接AE
∵DE ⊥AB
∴∠ADE =90°
∵∠C =90°
∴∠C =∠ADE
在Rt △ACE 和Rt △ADE 中
AE AE AC AD =??=?（公共边）（已知）∴Rt △ACE ≌Rt △ADE （HL ）
∴CE =DE （全等三角形对应边相等）
过程规划：1．描述辅助线：连接AE 2．准备条件：∠C =∠ADE =90°3．证明△ACE ≌△ADE 4．由全等性质得，CE =
DE
巩固练习1.已知：如图，B ，C ，F ，E 在同一条直线上，AB ，DE 相交于点G ，且BC =EF ，GB =GE ，∠A =∠D ．求证：DC =AF ．
2.已知：如图，∠C =∠F ，AB =DE
，DC =
AF ，BC =EF ．求证：AB ∥DE ．过程规划：
过程规划：
3.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC，E，F分别是AD，BC的
中点．求证：BE=DF．
4.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=∠B=90°，
点E，F分别在AB，BC上，且AE=BF，AF交DE于点G．求证：DE⊥AF．
5.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC
与BD相交于点O，过O作EF交AD于点E，交BC于点F，则图中的全等三角形共有（）
A．5对B．6对C．7对D．8对6.如图，C为线段AB上一点，△MAC和△NBC均是等边三角
形，连接AN，交CM于点E，连接BM，交CN于点F．有下列结论：①∠AMB=∠ANB；②△ACE≌△MCF；③CE=CF；
④EN=FB．其中正确结论的序号是_________________．
思考小结
1.根据本章知识结构图回答下列问题：
（1）补全知识结构图．
（2）要证明两条边相等或者两个角相等，可以考虑它们所在的三角形________；如果所在的三角形不全等或者不在三角形中，则可以把一条边转移或者重新整合条件去构造全等三角形．
（3）要证明两个三角形全等需要准备______组条件，这三组条件里面必须有______；然后依据判定进行证明，其中AAA，SSA不能证明两个三角形全等，请举出对应的反例．
（4）由全等三角形的性质可知：全等三角形__________相等，__________相等，所以全等关系是转移边和角的有力工具．
【参考答案】
巩固练习
1.证明：如图，过点G 作GH ⊥BE 于点
H
∵GH ⊥BE
∴∠GHB =∠GHE =90°
在Rt △GHB 和Rt △GHE 中，
GB GE GH GH =??=?（已知）（公共边）
∴Rt △GHB ≌Rt △GHE （HL ）
∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等）
∵BC =EF
∴BC +CF =EF +CF
即BF =EC
在△ABF 和△DEC 中，
A D
B E BF E
C ∠=∠??∠=∠??=?
（已知）（已证）（已证）∴△ABF ≌△DEC （AAS ）∴DC =AF
2.证明：如图，连接
BE
在△AEF 和△DBC 中，
AF DC F C EF BC =??∠=∠??=?
（已知）（已知）（已知）
∴△AEF ≌△DBC （SAS ）
∴AE =DB （全等三角形对应边相等）
在△ABE 和△DEB 中，
AE DB AB DE EB BE =??=??=?
（已证）（已知）（公共边）∴△ABE ≌△DEB （SSS ）
∴∠ABE =∠DEB （全等三角形对应角相等）
∴AB ∥DE
3.证明：如图，连接
BD
∵AB ∥CD ，AD ∥BC
∴∠ABD =∠CDB ，∠ADB =∠CBD
在△ABD 和△CDB 中，
ABD CDB BD DB ADB CBD ∠=∠??=??∠=∠?
（已证）（公共边）（已证）∴△ABD ≌△CDB （ASA ）
∴AD =CB （全等三角形对应边相等）
∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点
∴DE =BF
在△BED 和△DFB 中，
DE BF ADB CBD BD DB =??∠=∠??=?
（已证）（已证）（公共边）∴△BED ≌△DFB （SAS ）
∴BE =DF （全等三角形对应边相等）
4.证明：如图，
在△DAE 和△ABF 中
AD BA DAE B AE BF =??=??=?
（已知）∠∠（已知）
（已知）∴△DAE ≌△ABF （SAS ）
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∵∠DAB =90°
∴∠2+∠3=90°
∴∠1+∠3=90°
∴∠AGD =90°
∴DE ⊥AF
5.B
6.②③④
思考小结
1.（1）SAS ，SSS ，ASA ，AAS
SAS ，SSS ，ASA ，AAS ，HL
相等；
相等．
（2）全等
（3）3，边；AAA 反例：大小三角板；SSA 反例：作图略
（4）对应边，对应角．