关于用微积分理论证明不等式的方法
关于用微积分理论证明不等式的方法
学校代码专业代码本科毕业论文(设计) 题目:关于用微积分理论证明不等式的方法
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年 5月 13日
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中文摘要Ⅰ
英文摘要Ⅱ
第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法 1
第一节用可导函数的单调性证明不等式法 1
第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法 2
第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法 3
第四节用柯西中值定理证明不等式法 4
第五节上述几种方法小结 6
第二章用微积分理论证明不等式其他几种方法7
第一节用导数定义证明不等式法7
第二节用函数的凹凸性证明不等式8
第三节用泰勒公式证明不等式法9
第四节用幂级数展开式证明不等式法10
第五节用定积分理论来证明不等式法11
第六节引入参数证明不等式法 12
第七节利用二重积分性质来证明不等式13
参考文献15
致谢16
关于用微积分理论证明不等式的方法
摘要:随着数学的发展,人们对数学的认识不断深化。高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式含变量和数值不等式不含变量。对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙的构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似。
微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的形态,有些常规方法难于证明的不等式,若能根据不等式的结构特征,巧妙的构造函数,将不等式问题转化为函数的问题,利用微积分理论研究函数的性质,应用函数的性质证明不等式。
关键词:不等式;导数;拉格朗日中值定理;柯西中值定理;泰勒公式Methods for Proving Inequality by Using Calculus
Abstract:With the development of mathematics, mathematics is more and more important in our life. Higher mathematics involved in inequality, can be roughly divided into two types: function inequality including variables and numerical inequality do not contain variables. For the former, the general can be straight or slightly deformed tectonic function,
thereby through the Institute constructor nature, and then to prove inequality; for the latter, we can also according to the characteristics of numerical inequality, the ingenious structure auxiliary function, thus the numerical inequality problem is transformed into a function problem, research method is similar to the former.
Calculus is an important part of higher mathematics, taking it as a tool to better study the function of form, some conventional methods to prove inequality. According to the inequality structure, ingenious constructor, the inequality problem is transformed into a function problem, using the calculus theory to study the nature of function, application function to prove inequality.
Keywords:Inequality; derivative; the Lagrange mean value theorem; Cauchy theorem; Taylor formula
第一章用微积分理论证明不等式常见的几种方法
第一节用可导函数的单调性证明不等式法
1.证明方法根据:可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理
定理一:若函数在可导,则在内递增(递减)的充要条件是:。
定理二:设函数在连续,在内可导,如果在内(或),那么在上严格单调增加(或严格单调减少)。
定理三:设函数在内可导,若(或),则在内严格递增(或严格递减)。
上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系,因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性。
2.证明方法:
(1)构造辅助函数,取定闭区间;
(构造辅助函数方法:①利用不等式两边之差构造辅助函数;②利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数;③若所证的不等式涉及到幂指数函数,则可通过适当的变形将其化为易于证明的形式,再如前面所讲那样,根据不等式的特点,构造辅助函数。)
2研究在上的单调性,从而证明不等式。
3.例:求证:当x0时,
证明:令,则,
因,所以与同号。由于满足,可见,于是。由此可得在x0单调增加,又,于是所以在x0单调增加,又,故当x0时成立,即
4.适用范围:
利用函数单调性证明不等式,不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数应在某闭区间上连续,开区间内可导,且在闭区间的某端点处的值为0,然后通过在开区间内的符号来判断在闭区间上的单调性。
第二节利用函数的最大值或最小值证明不等式法
1.证明方法根据:极值的充分条件定理
定理四(极值的第一充分条件):设在连续,在内可导,(I)若当时,,当时,,则在取得极大值;II 若当时,,当时,,则在取得极小值。
定理五(极值的第二充分条件):设在的某领域内一阶可导,在处二阶可导,且,,i若,则在取得极大值;ii若,则在取得极小值。
极值和最值是两个不同的概念,极值仅是在某点的邻域内考虑,而最值是
在某个区间上考虑。若函数在一个区间的内部取得最值,则此最值也是极值。极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系。
2.证明方法:
(1)构造辅助函数,并取定区间;
(构造辅助函数的方法:①当不等式两边均含有未知数时,可利用不等式两边之差构造辅助函数;②当不等式两边含有相同的“形式”时,可利用此形式构造辅助函数;③当不等式形如(或)(为常数)时,可设为辅助函数)
2求出在所设区间上的极值与最大、最小值。
(极值与最大、最小值的求法:①极值求法:(1)求出可疑点,即稳定点与不可导的连续点;(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点。②最大、最小值的求法:(1)闭区间上连续函数的最大、最小值的求法:先求出可疑点,再将可疑点处的函数值与端点处的函数值比较,最大者为最大值,最小者为最小值。(2)开区间内可导函数的最大值、最小值的求法:若在内可导,且有唯一的极值点,则此极值点即为最大值点或最小值点)
3.例:证明:当,n为自然数时
证明:构造辅助函数,则当0x1时,;当x1时,除时外,均有,故在单调上升,在单调减小,因此在上取最大值。于是有
4.适用范围:
若在区间I上达到最大值M,则。若在区间I上达到最小值m,则。
第三节用拉格朗日中值定理证明不等式法
1.证明方法根据:拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理:若函数满足下列条件:(I)在闭区间上连续;(II)在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得。
拉格朗日中值定理反映了函数或函数增量和可导函数的一阶导数符号之间的关系。
2.证明方法:
①构造辅助函数,确定适用拉格朗日中值定理的区间;
②对在上施用拉格朗日中值定理;
③利用与的关系,对拉格朗日公式进行加强不等式。
3.例:设,证明
证明:。令,在上用拉格朗日中值定理,有其中。又在上,单调减少,故所以
4.适用范围:
当所证的不等式中含有函数值与一阶导数,或函数增量与一阶导数时,可用拉格朗日中值定理来证明。
第四节用柯西中值定理证明不等式法
1.证明方法根据:柯西中值定理
柯西中值定理:若⑴函数与都在闭区间上连续;⑵与都在开区间内可导;⑶与在内不同时为0;⑷。则在内至少存在一点,使得。
柯西中值定理反映了两个函数或两个函数增量与它们一阶导数之间的关系。
2.证明方法:
①构造两个辅助函数和,并确定它们施用柯西中值定理的区间;
②对与在上施用柯西中值定理;
③利用与的关系,对柯西公式进行加强不等式。
3.例:设,证明
证明:,构造函数,,因均在上连续,在上可导,且,又,则,所以在上满足柯西中值条件,于是存在,使得
,又因有,得: ,因此
,即。
4.适用范围:
当不等式含有两个函数的函数值及其一阶导数,或两个函数的函数增量及其一阶导数时,可用柯西中值定理证明。
第五节上述几种方法小结
前面几种方法中,均可利用差式构造函数,但有时应用导数研究函数单调性证明不等式,有时应用导数研究函数极值证明不等式,而有时应用拉格朗日中值定理或柯西中值定理证明不等式。三者的区别主要有:
⑴若所证不等式含有函数值及其导数,宜用中值定理;若所证不等式,其两端函数均可导,且或有一为0时,宜用函数的单调性。
⑵若所证不等式的两端函数有不可导时,不能用函数单调性证明,宜用中值定理。
⑶若所证不等式,两端函数均可导,但不是单调的函数时,宜用函数的极值来证明。
第二章用微积分理论证明不等式的其他几种方法
第一节用导数定义证明不等式法
1.证明方法根据:导数定义
导数定义:设函数在点的某个邻域内有定义,若极限存在,则称函数在点处可导,称这极限为函数在点的导数,记作。
2.证明方法:
1找出,使得恰为要证结论中不等式的一边;2利用导数的定义并结合已知条件去证明。
3.例:设函数,其中都为实数,为正整数,已知对于一切实数,有,试证:。
证明:因则且则由于所以即。
4.适用范围:
用导数的定义证明不等式,此方法得适用范围不广,我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系.有些不等式符合导数的定义,因此可利用导数的定义将其形式转化,以达到化繁为简的目的。
第二节用函数的凹凸性证明不等式
1.证明方法根据:凹凸函数定义及其性质
定义:设为定义在区间I上的函数,若对于I上任意两点和实数,总有,则称为I上的凸函数,若总有,则称为I上的凹函数。
定理六:设为I上的二阶可导函数,则为I上的凸函数(或凹函数)的充要条件是在I上。
函数的凹凸性特点:如函数是凸函数,则在上有:,如函数是凹函数,则在上有:。
2.证明方法:
将不等式写成定义的形式,构造辅助函数,并讨论在所给区间上的凹凸
性。
3.例:设在内二阶可导,,且,若当时,,则对任何成立
证明:
由拉格朗日中值定理知
,
。
由于图形为凹的,知单增,故,显然成立。
4.适用范围:
凹凸性是函数一个重要性质,它不仅是证明不等式的重要工具,也是讨论一些重要不等式的重要工具。当不等式可写成凹凸函数定义的形式或对一些函数值和且能够构造凸函数的不等式。
第三节用泰勒公式证明不等式法
1.证明方法根据:泰勒定理
泰勒定理:若函数满足如下条件:
⑴在闭区间上,函数存在直到阶连续导数;⑵在开区间内,存在的阶导数,则对任何,至少存在一点,使得:
2.证明方法:
①根据已知条件,围绕证明目标,选取恰当的点将函数在这些点展成泰勒展开式;
②根据已知条件,向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理,直到可以结合已知条件证出不等式为止。(注意具体的题目应用此方法时要灵活运用,有些题目在进行①前,要先对已知条件或证明目标进行适当的转
化,以更有利于证明的进行,使②不会过于繁琐。)
3.例:设二阶可导,且,,求证
证明:由于连续。且,故有,即,从而又,由的带拉格朗日余项的一阶泰勒公式,有 (在0与x之间),因为,故
4.适用范围:
当遇到含有函数或高阶导数,或函数增量与高阶导数,或要证的是导数(一阶或二阶)不等式时,可利用泰勒公式来证明有关的不等式。
第四节用幂级数展开式证明不等式法
1.证明方法根据:几个重要的初等函数的幂级数展开式
几个重要的初等函数的幂级数展开式如下:
;
;
;
;
;
;
。
初等函数是数学教学重点,某些初等函数可展开成幂级数,在展开式中添加或删去某些幂级数时,可很快证明出某些含幂级数的不等式。
2.证明方法:
先把初等函数展开成幂级数,然后在展开式中添加或删去某些幂级数即可快速证明此不等式。
3.例:当,证明
证明:因分别可写成幂级数展开式,有:
则左边的一般项为,右边的一般项为,因此当时
4.适用范围:
当不等式中含有上面几个重要初等函数之一,且用其他方法行不通时,可用幂级数展开式法来证明此不等式。
第五节用定积分理论来证明不等式法
1.证明方法根据:定积分的性质和变上限辅助函数理论
积分不等式性质:设与为定义在上的两个可积函数,若则有。
微积分学基本定理:若函数在上连续,则由变动上限积分,定义的函数在上可导,而且。也就是说,函数是被积函数在上的一个原函数。
微积分学基本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系。
2.证明方法:
①利用定积分的性质证明不等式法:对可积函数,,先证出,然后由定积分的性质可证;
②构造变上限辅助函数证明不等式法:对于含有定积分的不等式,可把常数变为变数构造辅助函数,利用变上限积分及函数的单调性解决此类不等式。
3.例:证明:
证明(利用定积分性质):当时,,则。因,在上均为连续函数,则在均可导,由定积分性质可知:
4.适用范围:
当不等式含有定积分(或被积函数时),可用定积分的性质来证明或构造上限辅助函数来证明。
第六节引入参数证明不等式法
1.证明方法根据:将对数值不等式的证明转化为对函数不等式的证明,用微积分理论研究函数的性质,从而证明不等式。
2.证明方法:
引入参数,构造辅助函数,得到关于的二次多项式,利用判别式来证明不等式。
3.例:设在区间上连续,证明:(柯西-许瓦茨不等式)
分析:欲证不等式是函数,以及的积分不等式,引入参数,考虑辅助函数在区间上的积分。
证明:利用定积分的性质易知,
即。这是关于的二次多项式不等式,因此,判别式:,即:.
4.适用范围:
当积分式含有平方项,或的情形。
第七节利用二重积分性质来证明不等式
1.证明方法根据:二重积分的性质
定理8:(二重积分的保序性)若与在D上可积,且,,则:。
2.证明方法:构造辅助函数,利用二重积分的保序性化简。
3.例:设,均为上得单调不减(增)连续函数,证明:。
证明:由于,同为单调不减(增)函数, 令,又
由二重积分的保序性,有:
,
即,
于是有。
4.适用范围:当命题涉及积分,且与均单调增(减)时,可利用二重积分的保序性解题。
参考文献
[1] 高等数学.同济大学数学系.高等教育出版社.2006
[2] 常微分方程.北京高等教育出版社.2006
[3] 数学分析.华东师范大学数学系.高等教育出版社.2001
[4] 概率论与数理统计.浙江大学.高等教育出版社.2008
[5] 数学三研究生历年真题.考研数学系列
[6] 数学三复习全书.李永乐.国家行政学院出版社.2012
[7] 数学基础过关660题.李永乐. 国家行政学院出版社.2011
[8] 考研数学基础教程.万学海文考研系列.2012
[9] 数学模考试题.叶盛标.2012
[10] 微积分教程.赵显曾.东南大学出版社.2002
[11]Inequality. //.dy, //.tlewood, G.Pólya. 人民邮电出版社.2008.10
[12] 应用微积分理论证明不等式. 韩宝燕. 中国新技术新产品.2009第八期
[13] Calculus with Maple Labs. Wieslaw Krawcewica. 机械工业出版式社. 2008年09月第一版
[14] Introduction to Calculus and Analysis Volume. Richard Courant
Fritz John. 世界图书出版公司北京公司.2008.1
[15]微积分.韩建新.经济科学出版社.2007
致谢
通过这次论文写作,我学到了很多知识,也掌握了很多技巧,虽然我的论文仍有很多的不足之处,有待改良和完善,但是这并不重要,重要的是我对这个问题有了更深一层的认识。非常感谢指导老师在写作中对我的帮助。这次毕业论文写作过程中,我还得到了很多同学的帮助以及很多老师的指点,他们给我提供了很多有材料和讲解,所以我的论文才得以顺利完成,在此我非常感谢给过我帮助的人和指导过我的所有老师。出来找工作了才发现学校的日子都成为了历史,我会珍藏这非常宝贵的时光。
积分不等式的若干证明技巧
题目：积分不等式的若干证明技巧 学院：数学科学学院 专业班级：数学07－4实验班 学生姓名：努尔艾拉.阿西木 指导教师：塔实甫拉提副教授 答辩日期：2011年5月10日 新疆师范大学教务处
目录 1引言 (1) 2 利用有些定义证明积分不等式 (1) 2.1利用定积分的定义证明积分不等式 (1) 2.2利用积分和及凸函数的性质证明积分不等式 (2) 3 利用函数的单调性证明积分不等式 (4) 4利用微分中值定理证明积分不等式 (4) 5利用积分中值定理证明积分不等式 (6) 6利用一些基本不等式证明积分不等式 (7) 7利用泰勒展开式证明积分不等式 (7) 8利用将单积分化为重积分的方法 (8) 9利用分部积分法来证明积分不等式 (9) 10 结论 (10) 参考文献： (11) 致谢 (12)
积分不等式的若干证明技巧 摘要：不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种联系。论证不等式的方法很多，本文的目的主要是利用徽积分学原理归纳、总结“高等数学”中证明积分不等式的常用方法.由于积分具有较大的灵活性，故积分不等式的证明往往富有很强的技巧性，是理工科学生学习的一个难点，以下我们仅从讨论过程中的关键步骤出发，大致地分成若干种方法，介绍有关证题的技巧和规律。 关键词：积分不等式，积分中值定理；Rolle中值定理；Cauchy中值定理；Lagrange中值定理 Integral inequality of several proof skills Abstracts：inequality is higher mathematics and the important content of modern mathematics analysis, it reflects the one between the variables a contact is very important. Demonstrates many methods, this paper the inequality in the main purpose of the principle is to use badge integral calculus "advanced mathematics synthesized and summarized in" the commonly used method proved integral inequality. Because integral has greater flexibility, so integral inequality proof often rich strong skilled, an engineering student learning a difficulty, below we only from a critical step in discussion, starting into several ways roughly, introduces relevant papers topic the skills and law. Keywords: integral inequality, integral mean-value theorem; Rolle mid-value theorem; Cauchy mid-value theorem; Lagrange mid-value theorem 。
利用导数证明不等式的两种通法
利用导数证明不等式的两种通法 吉林省长春市东北师范大学附属实验学校 金钟植 岳海学 利用导数证明不等式是高考中的一个热点问题，利用导数证明不等式主要有两种通法，即函数类不等式证明和常数类不等式证明。下面就有关的两种通法用列举的方式归纳和总结。 一、函数类不等式证明 函数类不等式证明的通法可概括为：证明不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的问 题转化为证明()()0f x g x ->（()()0f x g x -<），进而构造辅助函数 ()()()h x f x g x =-，然后利用导数证明函数()h x 的单调性或证明函数()h x 的最小值（最 大值）大于或等于零（小于或等于零）。 例1 已知(0, )2 x π ∈，求证：sin tan x x x << 分析：欲证sin tan x x x <<，只需证函数()sin f x x x =-和()tan g x x x =-在(0,)2 π 上 单调递减即可。 证明： 令()sin f x x x =- ，其中(0,)2 x π ∈ 则/ ()cos 1f x x =-，而(0,)cos 1cos 102 x x x π ∈?
高中不等式的证明方法
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
证明不等式的几种方法
证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12-
利用导数证明不等式的常见题型
利用导数证明不等式的常见题型 山西大学附属中学 韩永权 邮箱：hyq616@https://www.360docs.net/doc/2c8991533.html, 不等式的证明是近几年高考的一个热点题型，它一般出现的压轴题的位置，解决起来比较困难。本文给出这一类问题常见的证明方法，给将要参加高考的学子一些启示和帮助。只要大家认真领会和掌握本文的内容，定会增强解决对这一类问题的办法。下面听我慢慢道来。 题型一 构造函数法，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 例1（人教版选修2-2第32页B 组1题）利用函数的单调性，证明不列不等式 （1）),0(,sinx π∈
高中数学不等式的几种常见证明方法(县二等奖)
高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------??
＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥
用微积分理论证明不等式的方法
用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法
积分不等式的证明及应用论文
广西科技大学毕业论文 题目：积分不等式的证明及应用 英文题目：The integral inequality proof and application.所在学院：理学院 所在专业：信息与计算科学 学号：200900901071 作者姓名：朱伟 指导老师：张明俊 二零一三年五月
摘要 积分不等式是学习高等数学中的一个重要内容，在数学分析中的应用也很广泛,也经常会在考研试卷中出现.有很多积分不等式的证明方法，一些方法综合性和技巧性也很强。利用导数和积分的相关知识去证明不等式，可以降低技巧性，使证明的思路变得简单，在此总结出可用于证明不等式的知识点。文中涉及到的知识有积分不等式、柯西不等式、拉格朗日中值定理、泰勒公式等高等数学中的内容。 【关键词】积分不等式、函数、拉格朗日中值定理、柯西不等式、泰勒公式
Abstract Mathematical analysis is an important information and calculation science specialized basic course,integral inequality is important content of mathematical analysis,using the integral inequality can solve many problems,thus the application of integral inequality is very wide.Proof of integral inequality and applications has always been a difficulty in mathematical analysis,it's proved that erected a bridge for different branches of mathematics,greatly improved our creative thinking.It's proof and application is also very cleverly,can solve some difficult problems.So,a deep understanding, to grasp the method of integral inequality proof, and its different applications in mathematical analysis,can improve our understanding of theoretical knowledge and application,at the same time also is good for our future study,to improve our thinking ability, innovation ability, and skill also has the very big help. 【Key words】Integral inequality, Probability mass function, Lagrange's mean value theorem, Cauchy inequality, Taylors formula.
2021届高考数学(理)一轮复习学案：第3章导数及其应用第4节利用导数证明不等式
第四节 利用导数证明不等式 课堂考点探究 考点1 单变量不等式的证明 单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f (x )＞g (x )(f (x )＜g (x ))的问题转化为证明f (x )－g (x )＞0(f (x )－g (x )＜0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x )； (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数； (3)最值法：欲证f (x )＜g (x )，有时可以证明f (x )max ＜g (x )min . 直接将不等式转化为函数的最值问题 已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＜0时，证明f (x )≤－3 4a －2. [解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝ x ＋1 2ax ＋1 x . 当a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 当a ＜0，则当x ∈? ????0，－12a 时，f ′(x )＞0；当x ∈? ????－12a ，＋∞时，f ′(x )＜0. 故f (x )在? ????0，－12a 上单调递增，在? ?? ??－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明：由(1)知，当a ＜0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ? ????－12a ＝ln ? ??? ?－12a －1－1 4a . 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ? ????－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ? ????－12a ＋1 2a ＋1≤0.设g (x ) ＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1 x －1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x ) ＜0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大 值，最大值为g (1)＝0.所以当x ＞0时，g (x )≤0.从而当a ＜0时，ln ? ????－12a ＋1 2a ＋1≤0， 即f (x )≤－3 4a －2. 将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间
不等式证明的常用基本方法
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
积分不等式的证明方法及其应用
积分不等式的证明方法及其应用 【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分 不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。 【关键词】积分不等式 Schwarz 不等式 Ho .. lder 不等式 Gronwall 不等式 Young 不等式 1 引言 在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz 公式求出（如2 1 0x e dx -?），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计 算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f 在[]0,1上连续可微，且(1)(0)1f f -=，求1 '20()f x dx ?），因此我们希 望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式. ? ? ≤ 2 1 2 1 ln ln xdx x xdx x ， ()() 2 2 ()cos ()sin 1b b a a f x kxdx f x kxdx +≤? ? 都是积分不等 式. 2积分不等式的证明方法 2.1 定义法 我们根据定积分的定义，把积分区间n 等分，得出积分和，再由离散型式子，得出积分和之间的大小关系，再令∞→n ，取极限即可. 例1设函数)(x f 在区间 []0,1上可积 .试证明有不等式1 12 00 ()()f x dx f x dx ≤ ?? . 证 先用Jensen 不等式法证明不等式 : 对 R x x x n ∈?,,,21 , 有不等式
证明不等式的种方法
证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理
在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+<
【高中数学】利用导数证明不等式
第四节利用导数证明不等式 考点1作差法构造函数证明不等式 (1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可． (2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)． 设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决． 已知函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值． (1)求实数a的值； (2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)． [解](1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ax＋x ln x， 所以f′(x)＝a＋ln x＋1， 因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值， 所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0， 所以a＝1，所以f′(x)＝ln x＋2. 当f′(x)＞0时，x＞e－2；当f′(x)＜0时，0＜x＜e－2， 所以f(x)在(0，e－2)上单调递减，在(e－2，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在x＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a＝1. (2)证明：由(1)知a＝1，所以f(x)＝x＋x ln x. 令g(x)＝f(x)－3(x－1)， 即g(x)＝x ln x－2x＋3(x＞0)． g′(x)＝ln x－1，由g′(x)＝0，得x＝e. 由g′(x)＞0，得x＞e；由g′(x)＜0，得0＜x＜e. 所以g(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
证明不等式的几种常用方法
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
证明不等式的几种方法
昭通学院 学生毕业论文 论文题目证明不等式的几种方法 姓名 学号 201103010128 学院数学与统计学院 专业数学教育 指导教师 2014年3月6日
证明不等式的几种方法 摘 要：证明不等式就是要推出这个不等式对其中所有允许值都成立或推出数值不等式成立。本文主要归纳了几种不等式证明的常用方法。 关键词：不等式; 证明; 方法 1.引言 在定义域中恒成立的不等式叫做恒不等式，确认一个不等式为恒不等式的过程为对该不等式进行证明。证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒不等式进行合乎逻辑的等价变换。主要方法有：比较法、综合法、分析法、反证法、归纳法、放缩法、构造法、导数法、均值不等式性质证明不等式等方法。 2.不等式证明的常用方法 2.1 比较法 比较法是直接作出所证不等式，两边的差（或商）然后推演出结论的方法。具体地说欲证B A >)(B A <,直接将差式B A -与0比较大小；或若当+∈R B A ,时，直接将商式 B A 与1比较大小[]1。 差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若0≥-b a ,则b a ≥;若0≤-b a ,则 b a ≤.”其一般步骤为： 1.作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体。 2.变形：把不等式两边的差进行变形，或变形成一个常数，或为若干个因式的积，或一个或几个平方和。其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的方法。 3.判断：根据已知条件与上述变形结果判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求不等式成立的结论。 应用范围：当被证的不等式两端是多项式，对于分式或对数式时，一般使用差值比较法。 商值比较法的理论依据是：“∈b a ,+R ，若b a 1≥则b a ≥;若b a 1≤则b a ≤.”其一 般步骤为： 1.作商：将左右两端作商。 2.变形：化简商式到最简形式。
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧
利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧 趣题引入 已知函数 设， 证明：分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：，设 当时 ，当时 ， 即在上为减函数，在上为增函数 ∴，又 ∴， 即 设 当时，，因此在区间上为减函数； 因为，又 ∴， 即 故综上可知，当 时，本题在设辅助函数时，考虑到不等式涉及的变量是区间的两个端点，因此， 设辅助函数时就把其中一个端点设为自变量，范例中选用右端点，读者不妨设为左端点试一试，就能体会到其中的奥妙了。技巧精髓 一、利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、 不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 二、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的 单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个 x x x g ln )(=b a <<02ln )(2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+<1ln )(+='x x g )2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+=2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-='a x <<00)(<'x F a x >0)(>'x F )(x F ),0(a x ∈),(+∞∈a x 0)()(min ==a F x F a b >0)()(=>a F b F 0)2 (2)()(>+-+b a g b g a g 2ln )(2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+=)ln(ln 2ln 2 ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴0>x 0)('