与二次函数有关的运动问题
与二次函数有关的运动问题
1. 已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上．
(1)求点C的坐标；
(2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
(3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值．
2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
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3.如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
4.(14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
２
３ 5.如图，抛物线y= –12
x 2+bx +c 与x 轴分别相交于点A （–2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ，顶点为点P . （1）求抛物线的解析式；
（2）动点M 、N 从点O 同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB 、OC 上向点B 、C 方向运动，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点F ，交抛物线于点H .
①当四边形OMHN 为矩形时，求点H 的坐标；
②是否存在这样的点F ，使△PFB 为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。
二、猜想、探究题
6. 如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.
(1)求OE 的长；
(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式；
(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t 为何值时，DP=DQ ；
(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M 与点N ，使得以M ，N ，C ，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.
“球类”运动中二次函数
“球类”运动中的二次函数 数学和生活息息相关，数学就在你的身边. “新课程标准”要求学生初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，解决日常生活中与其他学科中遇到的数学问题，增强数学的应用意识.体育运动工程中的篮球、铅球、羽毛球、足球等是学生特别熟悉而又喜爱的运动方式，球类运动的曲线与我们学过的抛物线很投缘，其中涉及到不少的二次函数的相关知识，二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型，许多实际问题，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型，从而利用二次函数的图像和性质加以解决．下面根据背景不同分情况探究如下. 一、跳绳运动中的二次函数 例1你知道吗？平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图1所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m 、2.5m 处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如图所示）（） A ．1.5mB ．1.625mC ．1.66mD ．1.67m y 分析：本题考查阅读理解、数据处理及建立二次函数模型的能力．由于绳子甩到最高处时的形状可近似地看为抛物线，因此，根据条件中的数据得到抛物线上3个点的坐标后，再利用一般式即可求出函数表达式；而求丁的身高，转化为数学问题就是求抛物线上横坐标为1.5时对应点的纵坐标． 解：设函数表达式为y =Ax 2 +Bx +C ，易知图像经过点（—1，1），（0，1.5），（3，1），可得 A — B + C =1，A = —1/6， C =1.5，解得B =1/3， 9A +3B +C =1．C =1.5． 所以函数表达式为y = —61x 2+31x +2 3 ．当x =1.5时，y =1.625． 答案：B ． 二、以投掷“铅球”为背景渗透的二次函数问题 例2、(济南)小明代表班级参加校运动会的铅球工程，他想：“怎样才能将铅球推得更
二次函数(附解析答案) 40页
填空： 1.体育加试时，一女生掷实心球，实心球飞行中高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是y=－．已知女生掷实心球的评分标准如下表： 2.利用图象解一元二次方程x2＋x－3=0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=－x＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解． （1）填空：利用图象解一元二次方程x2＋x－3=0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y= 和直线y=－x，其交点的横坐标就是该方程的解． （2）已知函数y=－的图象（如图所示），利用图象求方程－x＋3=0的近似解．（结果保留两个有效数字）
3.已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第 象限． 4.已知抛物线y=x2－2x－3的图象与x轴交于A，B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，使△ABC的面积为10，则C点坐标为． 5.老师给出一个二次函数，甲，乙，丙三位同学各指出这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一、二、四象限； 乙：当x＜2时，y随x的增大而减小． 丙：函数的图象与坐标轴只有两个交点． 已知这三位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数． 6.如图所示的二次函数y=ax2＋bx＋c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a＋b＋c＜0．你认为其中错误的有（） 7.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b＋c的值为．
8.已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（） 9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是（） ．B． C．D． 的最小值是． 11.抛物线y=ax2＋ax＋x＋1与x轴有且只有一个交点，则a= ． 12.如图是二次函数y1=ax2＋bx＋c和一次函数y2=mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围．
九年级数学二次函数应用题 含答案
九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.
件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
二次函数最经典综合提高题
周村区城北中学二次函数综合提升寒假作业题 一、顶点、平移 1、抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 2、若,,,,,123351A y B y C y 444??????- ? ? ??????? 为二次函数2y x 4x 5=+-的图象上的三点，则123y y y 、、的大小关系是 A.123y y y << B. 213y y y << C.312y y y << D.132y y y << 3、二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m +n 的值为（ ）A ． B ．2 C ． D ． 4、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( ) A ．y = (x ? 2)2 + 1 B ．y = (x + 2)2 + 1 C ．y = (x ? 2)2 ? 3 D ．y = (x + 2)2 ? 3 5、将二次函数2 45y x x =-+化为2 ()y x h k =-+的形式，则y = ． 6二次函数与y=kx 2﹣8x +8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 （ ） A ．k ＜2 B ．k ＜2且k ≠0 C ．k ≤2 D ．k ≤2且k ≠0 7、由二次函数1)3(22+-=x y ，可知（ ） A ．其图象的开口向下 B ．其图象的对称轴为直线3-=x C ．其最小值为1 D ．当3 二次函数的图象特点及其应用 二次函数的图象特点及其应用 课题名称: 二次函数的图象特点及其应用 课题的研究及意义: 数学是一门很有用的学科。古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力 课题研究内容: 1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function" 一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。 直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。 19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量 二次函数训练提高习题 1. 9.如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）2 4b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 2. 在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2 的图像可能是（ ） 3. ．抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 4.、若二次函数c x x y +-=62 的图像过)321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-,则321,,y y y 的大小关系是 【 】 A 、321y y y B 、321y y y C 、312y y y D 、213y y y 5.已知二次函数5 1 2 - +-=x x y ，当自变量x 取m 时对应的值等于0，当自变量x 分别取1-m 、1+m 时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足┅〖 〗 A ．1y ＞0、2y ＞0 B ．1y ＜0、2y ＜0 C ．1y ＜0、2y ＞0 D ．1y ＞0、2y ＜0 6. 二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x =与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( ) y 8.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面的函数关系式：h=－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（） A．1米B．5米C．6米D．7米 9. 若下列有一图形为二次函数y＝2x2－8x＋6的图形，则此图为何？（） 12. 7.已知抛物线2(0) y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A．0 > a B．0 < b C．0 < c D．0 > + +c b a 13. 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24 y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 （） A．4米B．3米C．2米D．1米 14.下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点(0，1)的是( ) A．y=(x－2)2+1 B．y=(x+2)2+1 C．y=(x－2)2－3 D．y=(x+2)2－3 15. 如图，抛物线y=x2+1与双曲线y= x k 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 x k + x2+1<0的解集是( ) A．x>1 B．x<－1 C．0 初三数学——二次函数实践与探索（5） 例1、关于x 的二次函数y ＝-x 2 ＋(k 2 -4)x ＋2k-2以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． (1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图； (2)设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过D 点作DC 垂直x 轴于点C, 得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； (3)当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若 例2、如图所示, 在平面直角坐标系xoy 中， 矩形OABC 的边长OA 、OC 分别为12cm 、6cm ，点A 、C 分别在y 轴的负 半轴和x 轴的正半轴上，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过点A 、B ，且18a+c=0. (1)求抛物线的解析式. (2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度向终点B 移动，同时点Q 由点B 开始沿BC 边以2cm/s 的速度向终点C 移动. ①移动开始后第t 秒时，设△PBQ 的面积为S ，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围. ②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在，求出R 点的坐标，如果不存在，请说明理由。 例3、如图1 ，把一个边长为22的正方形ABCD 放在平面直角坐标系中，点A 在坐标原点，点C 在y 轴的正半轴上， 经过B 、C 、D 三点的抛物线c / 交x 轴于点M 、N(M 在N 的左边). (1)求抛物线c / 的解析式及点M 、N 的坐标； (2)如图2，另一个边长为22的正方形////D C B A 的中心G 在点M 上，/B 、/ D 在x 轴的负半轴上(/D 在/ B 的左边)，点/A 在第三象限，当点G 沿着抛物线c 1从点M 移到点N ，正方形随之移动，移动中//D B 始终与x 轴平行. ①直接写出点/A 、/B 移动路线形成的抛物线/)(c A 、/)(c B 的函数关系式；②如图3，当正方形// //D C B A 第一次移动到与正方形ABCD 有一边在同一直线上时，求点G 的坐标． 课堂练习： 班级 姓名 班级 姓名 浙教版数学九年级上《二次函数》单元测试卷 （时间：60分钟 分值：100分 出卷人：历山中学 景祝君 班级：_________ 姓名：_________ 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、在下列函数关系式中，（1）22x y -=；（2）2 x x y -=；（3）3)1(22+-=x y ； （4）332--=x y ，二次函数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】二次函数的一般式为c bx ax y ++=2（0≠a ），4个均为二次函数，故选D. 【易错点】本题考查二次函数的定义和一般式，属容易题，但学生对二次函数解析式的常见形式把握不够，还是出现把（3）不当二次函数来处理.. 2、若32)2(--=m x m y 是二次函数，且开口向上，则m 的值为（ ） A.5± B.5 C. —5 D.0 【答案】C 【解析】二次函数的“二次”体现为自变量的最高次数为2次，因此32-m =2，且2-m 0≠，故选C. 【易错点】考查二次函数的定义，属容易题，学生容易得出32-m =2，但会忽略2-m 0≠，说明对二次函数的“二次”定义理解不透彻. 3、把抛物线23x y =向上平移2个单位，向向右平移3个单位，所得的抛物线解析式是（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y 【答案】D 【解析】由二次函数的平移规律即可得出答案，故选D. 【易错点】考查二次函数的平移规律，属容易题，但学生过分强调死记硬背，不数形结合， 往往会出错. 4、下列二次函数的图象与x 轴没有交点的是（ ） A. x x y 932+= B. 322 --=x x y C. 442-+-=x x y D. 5422++=x x y 【答案】D 【解析】由ac b 42-即可判断二次函数的图象与x 轴的交点情况，本题D 中 ac b 42-=-240<，表示与x 轴没有交点，故选D. 【易错点】考查二次函数的图象与x 轴的交点情况，属容易题，但学生计算能力不高，导致错误较多. 5、已知点（-1，1y ），（2,21 3y -），（2 1，3y ）在函数12632++=x x y 的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A.321y y y >> B. 312y y y >> C. 132y y y >> D. 213y y y >> 【答案】C 【解析】根据二次函数的解析式可得对称轴为直线1-=x ，又抛物线开口向上，所以横坐标越接近-1，对应的函数值越小，故选C. 【易错点】考查二次函数的图象的对称性，属一般题，学生由于基础薄弱，习惯将所有x 的值一一代入，求得y 的值，一费时，二计算容易出错，导致得分率不高. 6、已知抛物线c bx ax y ++=2 经过原点和第一、二、三象限，那么，（ ） A.000>>>c b a ，， B. 000=<>c b a ，， C.000>< 二次函数在体育运动中的应用 函数在中考中具有重要的地位，近几年中考中出现很多与实际问题相结合的函数题目，注意实际问题和函数的转化。特别是在体育运动中的应用更为方便，下面略举几例 一、铅球运动 例1．一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面1米，铅球落地点距离铅球刚出手时相应的地面上的点10米，铅球运行中最高点离地面3米，已知铅球走过的路线是抛物线，求这个抛物线的解析式。 分析：这是一个物理问题，由于铅球的运动路线是抛物线，因此要运用二次函数的知识去解决问题。 解：根据题意，建立直角坐标系，如图，可知抛物线经过(0, )和(10, 0)；抛物线顶点的纵坐标为3，根据题意，设抛物线的解析式为y=a(x-h)2+3 (0≤x≤10) ，将(0, ) 和(10, 0)代入解析式，得 由①，得a=-，代入②，得-(10-h)2+3=0 去分母，整理得h2+16h-80=0 ，解出h1=-20, h2=4 ，当h=-20时，y=a(x+20)2+3，抛物线顶点为(-20, 3)，此时当x=-20时，铅球运行中的最高点为3米，不符合，0≤x≤10的要求，舍去。当h=4时，a=-，抛物线的解析式为y=-(x-4)2+3 即y=-x2+x+(0≤x≤10)。 二、篮球运动 例2．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式。 （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 分析：（1）已知，顶点（0，3.5）过一点（1.5，3.05）用顶点式。 （2）已知横坐标－2.5，求出纵坐标，就是抛出点的高度。 练习4 实际问题与二次函数 自主学习 1.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t-4.9t2(t的单位：s；h的单位：m)可以描述他跳跃时重心高度的变化.如图26-9所示，则他起跳后到重心最高时所用的时间是( ) A.0.7l s B.0.70 s C.0.63 s D.0.36 s 图26-9 2.行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”.某车的刹车距离s(m)与车速x(km/h)间有下述的函数关系式：s=0.01x2+0.002x，现该车在限速140km∠h的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m，请推测刹车时汽车________(填“是”或“不是”)超速. 3.有一座抛物线型拱桥(如图26-10所示)，正常水位时桥下河面宽20 m，河面距拱顶4 m (1)在如图26-10所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式； (2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水面在正常水位基础上涨多少米时，就会影响过往船只? 图26-10 4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件. (1)写出售价x(元/件)与每天所得的利润y(元)之间的函数关系式； (2)每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大? 基础巩固 5.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品. (1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式； (2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少? A. 4米 B. 3米 21.4 第3课时 利用二次函数表达式解决抛物线形运动问题 知识点1体育运动型 1. 小李打羽毛球时，若羽毛球飞行的高度力（01）与发球的时间“S ）满足关系式力=一2产 + 2广+2,则小李发球后0.5 s 时，羽毛球飞行的高度为（） A. 1. 5 m B. 2 m C. 2. 5 m D. 3 m 2. 小明在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数力= 3. 5Z — 4. 的单位: s ； /?的单位：m ）可以描述他跳跃吋重心高度的变化，则他起跳后到重心最高吋所用的吋间约 是（） A. 0. 71 s B. 0. 70 s C. 0. 63 s D. 0. 36 s 5. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21-4-16,以水平地面为x 轴，出水点为 原点，建立平面直角坐标系，水在空屮划出的曲线是抛物线y=-/+4%（单位：米）的一部 分，则水喷出的最大高度是（） 3.小明在某次投篮中, 14）.若恰好命中篮圈中心, A ? 3. 5 m B ? 4 m 图 21-4-13 球的运动路线是抛物线￡#+3.5的一部分（如图21-4- 则他与篮底的 距离，是（） C. 4. 5 m D ? 4. 6 m 3.05 ir O , III, —J x(m) 图 21 —4—14 知识点2水流抛物型 4. 如图21-4-15,小明在校运动会上掷铅球时，铅球的运动路线是抛物线尸-扣 + 1）匕一7）的一部分.铅球落在/点处，则创= __________ 米. 重心 C. 2米 图21-4-16 5.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图21—4—16,以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-#+4水单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是() A. 4米 B. 3米 C. 2米D?1米 6.如图21-4-17(a),某灌溉设备的喷头〃高11!地面1.25 m,喷出的抛物线形水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到最大高度2. 25 ni,试在恰当的平面直角坐标系中求出该抛物线形水流对应的二次函数表达式. 图21-4-17 学生小龙在解答该问题吋，具体解答如下： ①以水流的最高点为原点，过原点的水平线为横轴，过原点的铅垂线为纵轴，建立如图(b)所示的平面直角坐标系； ②设该抛物线形水流对应的二次函数表达式为尸日 ③根据题意可得点〃与;V轴的距离为1 m,故点〃的坐标为(-1, 1)； ④代入7= ax，得1= aX ( — 1)",所以臼=1； ⑤所以该抛物线形水流对应的二次函数表达式为 数学老师看了小龙的解题过程说：“小龙的解答是错误的.” (1) _______________________________ 请指出小龙的解答从第步开始出现错误，错误的原因是 (2)请写出正确的解答过程. 7.［教材习题21.4第4题变式］如图21-4-18,某学生的一次抛物线形传球，球出手 (点力 处)的高度是亍叫出手后球沿抛物线运动到最高点时，运行高度y=3 m,水平距离廿=4 m. (1)试求篮球运行的高度y与水平距离xZ间的函数表达式； (2)若队友接球的最佳高度约为| m,则队友距这名学生多远处接球？ (3)此时防守队员断球的最大高度是2.25 ni,则这名学生传球瞬间，防守队员距他多远才能抢断成功？ 2019年中考数学分类汇编二次函数压轴题 1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a （x +1）2﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0，﹣），顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ，过点H 的直线l 交抛物线于P ，Q 两点，点Q 在y 轴的右侧． （1）求a 的值及点A ，B 的坐标； （2）当直线l 将四边形ABCD 分为面积比为3：7的两部分时，求直线l 的函数表达式； （3）当点P 位于第二象限时，设PQ 的中点为M ，点N 在抛物线上，则以DP 为对角线的四边形DMPN 能否为菱形若能，求出点N 的坐标；若不能，请说明理由． 2、如图1，二次函数2 y ax bx =+的图像过点A （-1，3），顶点B 的横坐标为1. （1）求这个二次函数的表达式； （2）点P 在该二次函数的图像上，点Q 在x 轴上，若以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标； （3）如图3，一次函数y kx =（k ＞0）的图像与该二次函数的图像交于O 、C 两点，点T 为该二次函数图像上位于直线OC 下方的动点，过点T 作直线TM ⊥OC ，垂足为点M ，且M 在线段OC 上（不与O 、C 重合），过点T 作直线TN ∥y 轴 交OC 于点N 。若在点T 运动的过程中，2 ON OM 为常数，试确定k 的值。 二、与轴对称和等腰三角形性质有关的综合题 3、如图，顶点为A 的抛物线经过坐标原点O ，与x 轴交于点B ． （1）求抛物线对应的二次函数的表达式； （2）过B 作OA 的平行线交y 轴于点C ，交抛物线于点D ，求证：△OCD ≌△OAB ； （3）在x 轴上找一点P ，使得△PCD 的周长最小，求出P 点的坐标． 二次函数的压轴题分类复习 一、抛物线关于三角形面积问题 例题 二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1，4-). （1）求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ??=4 5 ,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围. 练习： 1. 如图．平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（－2，2），点B 的坐标为（6，6），抛物线经过A 、O 、B 三点，线段AB 交y 轴与点E ． （1）求点E 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）点F 为线段OB 上的一个动点（不与O 、B 重合），直线EF 与抛物线交与M 、N 两点（点N 在y 轴右侧），连结ON 、BN ，当点F 在线段OB 上运动时，求?BON 的面积的最大值，并求出此时点N 的坐标； y x O B N A M E F 2. 如图，已知抛物线42 1 2++-=x x y 交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设),(y x P （0>x ）是直线x y =上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ．若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． 二、抛物线中线段长度最小问题 例题 如图，对称轴为直线x ＝－1的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于A 、B 两点，其中点 A 的坐标为（－3，0）． （1）求点 B 的坐标； （2）已知a =1，C 为抛物线与y 轴的交点． ①若点P 在抛物线上，且S △POC ＝4S △BOC ，求点P 的坐标； ②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴，QD 交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值． O A B P E Q F x y 二次函数中考应用题及答案 二、例题 例1、一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距 离为3.05米。 (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出 手时，他跳离地面的高度是多少？ 简解： (1)由于抛物线的顶点是 (0，3.5)，故可设其解析式为y=ax2+3.5。又由于抛物线过(1.5，3.05)，于是求得a=-0.2。∴抛物线的解析式为y=-0.2x2+3.5。 (2)当x=-2.5时，y=2.25。∴球出手时，他距地面高度是2.25-1.8-0.25=0.20(米)。 评析：运用投球时球的运动轨迹、弹道轨迹、跳水时人体的运动轨迹，抛物线形桥孔等设计的二次函数应用问题屡见不鲜。解这类问题一般分为以下四个步骤： (1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)； (2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标； (3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式。①当已知三个点的坐标时，可用一般式y=ax2+bx+c求其解析式；②当已知顶点坐标为(k，h)和另外一点的坐标时，可用顶点式 y=a(x-k)2+h求其解析式；③当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)、(x2，0)时，可用双根式y=a(x-x1)(x-x2)求其解析式； (4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解。 例2、某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． (1)试求y与x之间的关系式； (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 解：(1)依题意设y=kx+b，则有 所以y=-30x+960(16≤x≤32)． (2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16) =30(-x+32)(x-16) =30(+48x-512) =-30+1920． 第14讲二次函数的实际应用 步骤①建立平面直角坐标系；②利用①法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实问题. 常见类型桥梁、隧道、体育运动等 【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同. 步骤①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找②；②确定函数解析式；③确定二次函数 ③，解决实际问题. 【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响. 考点3 二次函数在面积问题中的应用 步骤①根据几何知识探求图形的④；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数 ⑤，解决问题. 考点4 灵活选用适当的函数模型 步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥；③由⑦确定函解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性解决问题. 【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数 解析式进行验证，防止出现错解. 1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考. 2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐 标)的取值是否在自变量的取值范围之内. 命题点1 实物抛物线 例1 (2014·盐城)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处 发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已 知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m. (1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围. 【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式； (2)令x=9，求y值，若y≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x值.若x≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y，若y＞0则出界，否则不出界; (3)把二次函数化为只含有字母系数h的形式.然后令x=9时y＞2.43，且当x=18时y≤0，从而确定h的取值范围. 【解答】 方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案. 1.(2013·仙桃)2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素， 羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-2 9 x2+ 8 9 x+ 10 9 ，则羽毛球飞出的 水平距离为米. 2.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系. 二次函数训练提高习题 1. 9.如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图像中，刘星同学观察得出了下面四条信息： （1）24b ac -＞0；（2）c ＞1；(3)2a-b ＜0；(4)a+b+c ＜0.你认为其中错误的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 1个 2. 在同一坐标系中，一次函数1+=ax y 与二次函数a x y +=2的图像可能是（ ） 3. ．抛物线y ＝－(x ＋2)2 －3的顶点坐标是（ ）． (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3） 4.、若二次函数c x x y +-=62的图像过)321,23(),,2(),,1(Y C Y B Y A +-,则321,,y y y 的大小关系是 【 】 A 、321y y y φφ B 、321y y y φφ C 、312y y y φφ D 、213y y y φφ 5.已知二次函数5 1 2-+-=x x y ，当自变量x 取m 时对应的值等于0，当自变量x 分别取1-m 、1+m 时对应的函数值为1y 、2y ，则1y 、2y 必须满足┅〖 〗 A ．1y ＞0、2y ＞0 B ．1y ＜0、2y ＜0 C ．1y ＜0、2y ＞0 D ．1y ＞0、2y ＜0 6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则反比例函数a y x = 与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是( ) 8.一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面的函数关系式：h =－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米 C ．6米 D ．7米 9. 若下列有一图形为二次函数y ＝2x 2－8x ＋6的图形，则此图为何？（ ） 12. 7. 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ） 几种体育运动中的数学问题 《课程标准》指出:“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和感兴趣的事物中提供观察和操作机会,使他们感受到数学就在身边,感受到数学的趣味和作用,对数学产生亲切感.要重视对学生发现问题、解决问题能力的评价.因此,在教学中教师要善于根据学生的生活经验,从学生出发为学生提供富有现实意义的探究性材料,把数学问题生活化,把现实问题数学化,让学生在现实的问题情境中,在解决问题的过程中去寻找数学、发现数学、探究数学、认识数学和掌握数学,体验到生活中处处有数学,数学就在我们身边,从而增强学生学习的动力,产生积极的数学情感.本文就数学伴随体育运动的发展举一些例题,阐述一下自己的一些不成熟观点. 例1小明同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑,求该铅球的直径约为(). A·10 cm B·14.5 cm C·19.5 cm D·20 cm 解析先把实际问题构建成数学模型,由于生活中的铅球是球体,这个被砸出的小坑是图形,可以利用圆的垂径定理来解决这个问题.画草图如图,过圆心O作OC⊥AB交AB于点C,交圆于点D,则图中的AB=10 cm,即为砸出小坑的直径,CD=2 cm,表示小坑的深度,OA是铅球的半径.根据垂径定理AC=0.5,AB=5 cm,设OA=x,由勾股定理有:x2=52+(x-2)2,化简得4x=29,则该铅球的直径2x=14·5 cm.故本题 应选择B. 说明铅球是世界田径赛场上的传统项目.在原始社会,人们常用石头、梭镖等投掷,击中猎物以维持生存.后来,掷石成为重要作战武器.1896年,铅球成为第一届现代奥运会上投掷比赛正式项目,使得各国健儿能一展雄风.在现在的学生体育课上,掷铅球是传统的课堂教学内容之一.溯其历史,从有体育运动那天开始,就注定和数学密不可分. 例2如图,秋千拉绳的长OB=4 m,静止时,踏板到地面的距离BE=0.6 m(踏板厚度忽略不计).小明荡秋千时,当秋千拉绳OB运动到最高处OA时,拉绳OA与铅垂线OE的夹角为60°,试求: (1)此时该秋千踏板离地面的高度AD是多少米? (2)秋千荡回到OC(最高处)时,小明荡该秋千的“宽度”AC是多少米? 解析在Rt△OAF中,OA=4 m,∠AOF=60°,∠AFO=90°,有OF=OA·cos60°=2m,AF=OA·sin60°=2 3(m(1)FB=OB-OF=2 m,AD=EF=FB+BE=2+0.6=2.6 m. (2)根据圆的垂径定理有AC=2AF=4 3 m. 说明荡秋千是集健身和娱乐于一体的运动游戏,特别受中小学生的喜爱.它始于春秋,盛行于唐.在唐代,每值“暖风十里丽人天”的季节,宫廷中“竞竖秋千”,民间老少用做的“竹竿秋千”在草坪上凌空翩翩.东汉著名医学家张仲景,对前来就诊的体弱者开的药方便是荡秋二次函数的图象特点及其应用
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