初中数学教师基本技能试题

2011年初中教师专业知识测试试题

数学

（满分：100分 时间：90分钟） 题号

第一部分

第二部分

一

二 三 一 二 三 得分

第一部分 基础知识与基本技能

一、选择题：本大题共6小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把

正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）

2. 已知数轴上A 、B 两点坐标分别为－3、－6，若在数轴上找一点C ，使得A 与C 的距离

为4；找一点D ，使得B 与D 的距离为1，则下列何者不可能．．．为C 与D 的距离（ ） A ． 0 B ． 2 C ．4 D ．6

3. 粉笔是校园中最常见的必备品．图1是一盒刚打开的六角形粉笔的横截面（矩形ABCD ），总支数为50支．已知每支粉笔的直径为12mm ，则矩形ABCD 的宽AB 为（ ）mm ．

A ．333

B ．57

C ．93

D ．

2

3

11

第1题图

A

B

C

D

第3题图

A B

D 20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量

频率 组距

（mg/100mL ）

0.015 0.01

0.005

0.02

4. 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在

20~80 mg/100mL （不含80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80mg/100mL （含80）以上时，属醉酒驾车。据有关报道，7月15日至7月28日，某地区查处酒后驾车和醉酒驾车共500人，如图是对这500人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

5.如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管OA ＝1m ，水从喷头A 喷出后呈抛物线状，先向上至最高点落下，若最高点距水面2m ，A 离抛物线对称轴1m ，则在水池半径的下列可选值中，最合算的是( )

A ．3.5m

B ．3m

C ．2.5m

D ．2m

6.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2

y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，

则称点P 为“正点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“正点” B ．直线l 上仅有有限个点是“正点” C ．直线l 上的所有点都不是“正点”

D ．直线l 上有无穷多个点（不是所有的点）是“正点”

二、填空题：本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分．

7. 如图，BD ⊥AE ，∠C =90°，AB ＝4, BC ＝2, AD ＝3，则CE ＝ .

8. “红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是_______________．

9. 如图，观察由棱长为1的小立方体摆成的图形，寻找规律：如图①中：共有1个小立方体．其中1个看得见，0个看不见；如图②中：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图③中：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见；……，则第n 个图中，看得见．．．

的小立方体有_________个． 10．如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O 与x 轴交于A ，B 两点，

第5题图

A

B

C

E

D

与y 轴交于C ，D 两点．E 为⊙O 上在第一象限的某一点，直线BF 交⊙O 于点F ，并且∠ABF ＝∠AEC ，则直线BF 的函数表达式为 ．

11．如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，BC =2AD ， AC 、BD 相交于O ，记△BCO 、△CDO 、△ADO 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则

2

3

1S S S += . 12.已知方程()2

21250＝x m x m -++-的两根，

满足

<－1，>2，则实数m 的

取值范围是 ．

三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤．

13．（8分）如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ，

DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．

（1）求证：DE 是圆O 的切线； （2）若

25AC AB =，求

AF

DF

的值．

E B O

A

y

x

第10题图

C

D

第9题图

A

D B

C

O S 3

S 2 S 1

第11题图

A

B

O

C

D F

E

14．（12分）如图，在矩形ABCD 中，已知AD =2，AB =a (2)a ，E 、F 、G 、H 分别是边AD 、AB 、BC 、CD 上的点，若AE =AF =CG =CH ，问AE 取何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求最大的面积．

H

G

F

E

D C

B

A

15．（14分）几何图形是客观世界物体的抽象．客观世界是千变万化的，几何图形就必然是千姿百态的．因而在平面几何教学的过程中，注意图形的变式教学，让学生接触各种位置的图形，强调图形的本质属性，对提高学生认识图形的能力是有益的．平面几何变式方法： （1）题设与结论互换的变式

如图，以△ABC 边为边向外作正方形ABDE 和ACFG ，连结EG ，BC 边上的高AH 的反向延长线交EG 于M ．求证：ME =MG ．

变式：“BC 边上的高AH ”与结论“ME =MG ”互换，写给出已知、求证，并给出证明．

A

B

C D

E

H M

F

G

（2）改变几何图形的变式

如图，ABCD 为正方形，A′，B′，C′，D′分别是A ，B ，C ，D 关于B ，C ，D ，A 的对称点，

若正方形ABCD 的面积为S ，则四边形A′B′C′D′的面积是多少？

变式：改变四边形的形状：如三角形，四边形，五边形等，请你选择一种画出图形并求出面积．

（3）改变结论的表现形式

几何中的问题类型有论证、作图、计算、轨迹四大类．各类问题的形式可以转换，如单纯的证明可以转换为“探索+证明”或定值问题、度量关系的证明转换为位置的证明等． 如图，设AC 是□ABCD 较长的一条对角线，自点C 作AB 和AD 延长线的垂线，垂足分别为E ，F ．求证：AB ·AE +AD ·AF =AC 2．

变式：去掉“较长”限制，请你画出图形，并说明结论变化情况（不必证明）．

A

A B

C

D A

B ′

C ′

D ′ A B C D F

E

第二部分 基本理论与实践

一、合情推理和演绎推理”是两种重要的推理思维方式，也是解决数学问题的重要方法。请简单叙述合情推理与演绎推理的思维过程及两者的关系，并以“过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等”为例，设计合理的教学过程，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。并简单介绍一下在推理能力培养方面你的成功经验。（15分） 答题要点： 【思维过程】

推理包括合情推理和演绎推理。合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程。数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理、 在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性。 【教学过程】探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。 教学中可以参考安排如下的过程：

（1）发现结论。在透明纸上画出如图1的图：设PA ，PB 是⊙O 的两条切线，

A ，

B 是切点。让学生操作：沿直线OP 将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：PA =PB ，BPO APO ∠=∠。

这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。

图1 图2

（2）证明结论的正确性。如图2，连接OA 和OB 。因为PA 和PB 是⊙O 的切线，则

?=∠=∠90PBO PAO ，即POA ?和POB ?均为直角三角形。又因为OA =OB 和OP =OP ，则POA ?与POB ?全等。于是有PA =PB ，BPO APO ∠=∠。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。

由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。 【成功经验】

（1）推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。

（2）教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。

（3）在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。

二、在义务教育各个学段中，《数学课程标准》安排了四个部分的课程内容：“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”。请你结合“综合与实践”内容设置的目的，谈一谈在初中加强“综合与实践”教学的必要性及教师在教学设计和实施时应特别关注的问题。（15分）

答题要点：【设置目的】

“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识，应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

【必要性】

（1）现在初中生社会阅历比较差，无法把实际问题与数学原理进行联系。许多实际问题学生连看都看不懂，所以建模无法成功，我们要让学生学会建模，就必须从一些学生比较熟悉的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，从而培养学生发现问题，转化问题的能力，逐步培养他们的建模的能力。（2）“综合与实践”，是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。

（3）综合与实践活动的开展，往往以小组学习形式进行，小组学习是培养学生合作意识的一种基本途径，在这个学习过程中学生可以把自己的思路和别人共享，而且学生更多的拥有了自由组合、分工协作的机会，拥有了评价和讨论他人观点的空间和时间，体验到了合作的重要性和乐趣．

（4）在活动过程中，教师常常是和小组的学生一起讨论题目，设计研究方案，确定研究方法．教师会更多地倾听学生，引导他们，给他们表达自己想法的机会．综合实践活动拉近了教师与学生之间的距离，促进了教师与学生的平等对话．同时，让教师看到了分数以外的东西，看到了学生所表现出来的创造力、智慧与热情．因此学生更愿意亲近老师，更喜欢找老师问问题．

（5）学生从综合实践活动中学习到的学习方式、探究精神以及积极的态度等完全可以迁移到学科课程的学习中，从长远看，对学生提高成绩是有益的．另外，学生在综合实践活动的实施中所获得的解决问题的能力、合作能力、与人交往的能力等也是学科课程所不能比拟的．

【关注的环节】

教师在教学设计和实施时应特别关注的几个环节是：

（1）问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。（2）要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题。

（3）实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之间的合作交流，并照顾到所有的学生。教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于求成，要鼓励引导学生充分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验、展现思考过程、交流收获体会、激发创造潜能。

（4）在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的互动过程。

（5）教师应该根据不同学段学生的年龄特征和认知水平，根据学段目标，合理设计并组织实施“综合与实践”活动。

数学试题参考答案： 第一部分： 1～6 B C A C C A

7．72；8．83

；9．1332

+-n n ；10．1-=x y ，1+-=x y ；11．25；12．4

3

23<<-

m ．

13．（1）连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠，∴//OD AE ，又AE DE ⊥，∴

DE OD ⊥，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线．--------------------4分

（2）过D 作DH AB ⊥于点H ，连接BC ，则有DOH CAB ∠=∠，

2

cos cos 5

OH AC DOH CAB OD AB ∠=

=∠==．--------------------6分 设5OD x =，则10,2AB x OH x ==，∴7AH x =，由AED AHD ???可得

7AE AH x ==，又由AEF DOF ??:，可得

7

5

AF AE DF OD ==．--------------------8分 14．设AE ＝x ，四边形EFGH 的面积为S ，则-----------------------------------------1分

2

2(2)()S a x x a x =----2

2(2)x a x =-++2

22(2)2()48

a a x ++=--+20≤

（1）若

224a +≤，即26a <≤，则当2

4a x +=

时，S 取得最大值是2max (2)8

a S +=； --8分

（2）若

2

24

a +>，即6a >，函数22(2)S x a x =-++在对称轴左侧是增函数， 则当2x =时，S 取得最大值是max 24S a =-； --------10分

综上可得面积EFGH 的最大值为???2(2), 26

8

24, 6

a a a a +<≤->-----------------------------12分 15．（1）证明：分别过点E ,G 作EP ⊥HM ,GQ ⊥HM 垂足为P ,Q

∵ABDE 是正方形，∴AB =AE ，∠BAE =90o，∴∠BAH +∠EAP =90o． ∵AH ⊥BC ，∴∠BAH +∠ABH =90o．∴∠ABH =∠EAP ． ∵∠AHB =∠P =90o，∴⊿ABH ≌⊿EPA ．∴AH =EP ．

同理可证AH =GQ ，∴EP =GQ ,易证⊿EPM ≌⊿GQM ，∴EM =GM ．

已知：如图，以三角形ABC 的边AB ，AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接EG ， M 为FG 的中点，HA 交BC 于H ，求证：AH ⊥ BC ． 证明：略．

延长AM 至Q ，使MQ =AM ，连结QE 和QG ，

A

D

E

M

F

G Q P

则四边形EAGQ 是平行四边形． 易知EQ =AG =AC ． ∵EQ //AG ，

∴∠QEA +∠EAG =180°， ∵∠BAC = =180° -∠EAG ， ∴∠QEA =∠BAC ， 又∵EA =AB ，

∴△QEA ≌△CAB ．（SAS ） ∴∠ABC =∠EAQ ，

又∵∠EAQ +∠EAB +∠BAH =180°，∠EAB =90°， ∴∠EAQ +∠BAH =90°， ∴∠MBA +∠BAH =90°，

∴∠BHA =180°-∠HBA -∠BAH =180° -90° =90°， ∴AH ⊥BC ．-----------4分 （2）四边形A′B′C′D′的面积是5 S ．

变式：如改为三角形，则△A′B′C′的面积为4 S; 如改为四边形，则四边形A′B′C′D′的面积是5 S ； 如改为五边形，则五边形A′B′C′D′E ′的面积是6 S ． 图略．-----------8分

（3）证明：证明：过D 点作DG 垂直于AC 于G ,过B 点作BH 垂直于AC 于H ， 则AB ·AE =AC ·AH ，AD ·AF =AC ·AG 易证AG =HC ，AG +AH =AC

故AB ·AE +AD ·AF =AC ·AH +AC ·AG =AC ·(AG +AH )=2

AC 去掉“较长”限制，将出现一下三种形式：

不变 AD ·AF =AC 2． AB ·AE -AD ·AF =AC 2． -------------------14分 第二部分：请酌情给分 一、答题要点： 【思维过程】

推理包括合情推理和演绎推理。合情推理是由特殊到一般或特殊到特殊的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理。

B C

D

A

E F

A (E )

B C D

F

A

B

C D

E

F

A

D

E

M

F

G

Q

从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确。演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程。数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理、

在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路、发现结论，演绎推理用于证明结论的正确性。

【教学过程】探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。 教学中可以参考安排如下的过程：

（1）发现结论。在透明纸上画出如图1的图：设PA ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点。让学生操作：沿直线OP 将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：PA =PB ，BPO APO ∠=∠。

这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。

图1 图2

（2）证明结论的正确性。如图2，连接OA 和OB 。因为PA 和PB 是⊙O 的切线，则

?=∠=∠90PBO PAO ，即POA ?和POB ?均为直角三角形。又因为OA =OB 和OP

=OP ，则POA ?与POB ?全等。于是有PA =PB ，BPO APO ∠=∠。

这是通过演绎推理证明图形性质的过程。

由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效

工具。 【成功经验】

（1）推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。

（2）教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。

（3）在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。此外，还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学生思维的广阔性和灵活性。

二、答题要点：【设置目的】

“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识，应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。

【必要性】

（1）现在初中生社会阅历比较差，无法把实际问题与数学原理进行联系。许多实际问题学生连看都看不懂，所以建模无法成功，我们要让学生学会建模，就必须从一些学生比较熟悉的实际问题出发，让他们有获得成功的机会，享受成功的喜悦，从而培养学生发现问题，转化问题的能力，逐步培养他们的建模的能力。

（2）“综合与实践”，是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境，学生综合所学的知识和生活经验，独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系，加深对所学数学内容的理解。

（3）综合与实践活动的开展，往往以小组学习形式进行，小组学习是培养学生合作意识的一种基本途径，在这个学习过程中学生可以把自己的思路和别人共享，而且学生更多的拥有了自由组合、分工协作的机会，拥有了评价和讨论他人观点的空间和时间，体验到了合作的重要性和乐趣．

（4）在活动过程中，教师常常是和小组的学生一起讨论题目，设计研究方案，确定研究方法．教师会更多地倾听学生，引导他们，给他们表达自己想法的机会．综合实践活动拉近了教师与学生之间的距离，促进了教师与学生的平等对话．同时，让教师看到了分数以外的

东西，看到了学生所表现出来的创造力、智慧与热情．因此学生更愿意亲近老师，更喜欢找老师问问题．

（5）学生从综合实践活动中学习到的学习方式、探究精神以及积极的态度等完全可以迁移到学科课程的学习中，从长远看，对学生提高成绩是有益的．另外，学生在综合实践活动的实施中所获得的解决问题的能力、合作能力、与人交往的能力等也是学科课程所不能比拟的．【关注的环节】

教师在教学设计和实施时应特别关注的几个环节是：

（1）问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。

（2）要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题。

（3）实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之间的合作交流，并照顾到所有的学生。教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于求成，要鼓励引导学生充分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验、展现思考过程、交流收获体会、激发创造潜能。

（4）在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的互动过程。

（5）教师应该根据不同学段学生的年龄特征和认知水平，根据学段目标，合理设计并组织实施“综合与实践”活动。