二次函数与幂函数
二次函数与幂函数
1．五种常见幂函数的图象与性质
R R R{x|x≥0}{x|x≠0}
(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
3．二次函数的图象和性质
x∈R
1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 答案：f (x )＝x 12
(x ≥0)
2．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝3
2>1，
∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数， ∴y min ＝2－6＋3＝－1. 答案：－1
1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．
2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
[小题纠偏]
1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.????0，1
20 B.????－∞，－1
20 C.???
?1
20，＋∞ D.???
?－1
20，0 解析：选C 由题意知????? a >0，Δ<0，即?????
a >0，1－20a <0，
解得a >1
20.
2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数；
②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数
y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是
4ac －b 2
4a
. 其中正确的是________． 答案：②
考点一 幂函数的图象与性质(基础送分型考点——自主练透)
[题组练透]
1．幂函数y ＝f (x )的图象过点(4,2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )
解析：选C 令f (x )＝x α，则4α＝2， ∴α＝1
2
，∴f (x )＝x 1
2.
2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)x n 2
－3n
(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是
减函数，则n 的值为( )
A ．－3
B ．1
C ．2
D ．1或2
解析：选B 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1， 解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1适合题意．
3．设a ＝????352
5，b ＝????253
5，c ＝????252
5，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：∵y ＝x 2
5(x >0)为增函数，∴a >c .
∵y ＝????25x
(x ∈R)为减函数，∴c >b . ∴a >c >b . 答案：a >c >b 4．(易错题)若(a ＋1)1
3
－<(3－2a )
13
－
，则实数a 的取值范围是________________．
解析：不等式(a ＋1)13
－
<(3－2a )
13
－
等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a －2a . 解得a <－1或23 答案：(－∞，－1)∪???? 23，32 [谨记通法] 幂函数的指数与图象特征的关系 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)若幂函数y ＝x α(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.如“题组练透”第4题易错． 考点二 求二次函数的解析式(重点保分型考点——师生共研) [典例引领] 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：法一(利用一般式)： 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得??? ?? 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1， 4ac －b 2 4a ＝8， 解得???? ? a ＝－4， b ＝4， c ＝7. ∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二(利用顶点式)： 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)， ∴抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝1 2. ∴m ＝1 2.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ??? ?x －1 22＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ????2－1 22＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4????x －1 22＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三(利用零点式)： 由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值y max＝8，即4a(－2a－1)－a2 4a＝8. 解得a＝－4或a＝0(舍)． ∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. [由题悟法] 求二次函数解析式的方法 [即时应用] 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式． 解：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， ∴f(x)的对称轴为x＝2. 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2， ∴f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)． 又∵f(x)的图象过点(4,3)， ∴3a＝3，a＝1. ∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)， 即f(x)＝x2－4x＋3. 考点三二次函数的图象与性质(常考常新型考点——多角探明) [命题分析] 高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函数的图象与性质的应用． 常见的命题角度有： (1)二次函数的单调性问题； (2)二次函数的最值问题； (3)二次函数中恒成立问题． [题点全练] 角度一：二次函数的单调性问题 1．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 解：(1)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. 所以实数a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3， ∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]， 且f (x )＝???? ? x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]， ∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]． 角度二：二次函数的最值问题 2．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， ∴1－a ＝2，∴a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1， ∴a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0， ∴a ＝1±5 2 (舍去)． 当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (x )，求g (x )． 解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1， 当－2 －2a ； 当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1. 综上，g (x )＝? ????