广东省高考数学(理科)
2020年广东省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）（2010?广东）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则集合A∩B=（）
A ．{x|﹣1＜x＜
1}
B
．
{x|﹣2＜x＜
1}
C
．
{x|﹣2＜x＜
2}
D
．
{x|0＜x＜1}
2．（5分）（2010?广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1?z2=（）A
．
4+2i B
．
2+i C
．
2+2i D
．
3
3．（5分）（2010?广东）若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x）=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则（）A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
4．（5分）（2010?广东）已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，若a2?a3=2a1且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）
A
．
35 B
．
33 C
．
31 D
．
29
5．（5分）（2010?广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（）
A．充分非必要条件B．充分必要条件
C．必要非充分条件D．非充分非必要条件
6．（5分）（2010?广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图）是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
7．（5分）（2010?广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）
A
．
﹣
B
．
C
．
D
．
﹣
8．（5分）（2010?广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是（）
A1205秒B1200秒C1195秒D1190秒
．．．．
二、填空题（共7小题，满分30分）
9．（5分）（2011?上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是_________．
10．（5分）（2010?广东）若向量，，，满足条件
，则x=_________．
11．（5分）（2010?广东）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinC=_________．
12．（5分）（2010?广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是_________．
13．（5分）（2010?广东）某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…，x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s为_________．
14．（5分）（2010?广东）如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，，∠OAP=30°，
则CP=_________．
15．（2010?广东）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为_________．三、解答题（共6小题，满分80分）
16．（14分）（2010?广东）已知函数f（x）=Asin（3x+ρ）（A＞0，x∈（﹣∞，+∞），0＜ρ＜π）在时取得最大
值4．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若，求sinα．
17．（12分）（2010?广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．
18．（14分）（2010?广东）如图，是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，点B和点C为线段AD
的三等分点，平面AEC外一点F满足，．
（1）证明：EB⊥FD；
（2）已知点Q，R为线段FE，FB上的点，，，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．
19．（12分）（2010?广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
20．（14分）（2010?广东）已知双曲线的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x1，y1），Q（x1，﹣y1）是
双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值．
21．（14分）（2010?广东）设A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρ（A，B）为ρ（A，B）=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|
对于平面xOy上给定的不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
（1）若点C（x，y）是平面xOy上的点，试证明ρ（A，C）+ρ（C，B）≥ρ（A，B）；
（2）在平面xOy上是否存在点C（x，y），同时满足
①ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）②ρ（A，C）=ρ（C，B）若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明．
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．D 2．A3．D 4. C
5. 解：由x2+x+m=0知，?．
（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），
反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有，
因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A．
6. 解：△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，
且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，
CC′必为虚线，排除B，C，
3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．
故选D
7. 解：sin7°cos37°﹣sin83°cos53°
=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°
=cos（83°+37°）
=cos120°
=﹣，
8. 解：由题意知共有5！=120个不同的闪烁，
每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；
每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×（120﹣1）=595秒．
那么需要的时间至少是600+595=1195秒．
故选C
二、填空题（共7小题，满分30分）
9．（2，+∞
10．2
11. 1．
12．（x+2）2+y2=2
13. 解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：
第一（i=1）步：s1=s1+x i=0+1=1
第二（i=2）步：s1=s1+x i=1+1.5=2.5
第三（i=3）步：s1=s1+x i=2.5+1.5=4
第四（i=4）步：s1=s1+x i=4+2=6，s=×6=第五（i=5）步：i=5＞4，输出s=故答案为：14. 解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．
在Rt△OPA中，．
由相交弦定理知，BP?AP=CP?DP，
即，所以．
故填：
15. 解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．
解得
由
得点（﹣1，1），极坐标为．
故填：
三、解答题（共6小题，满分80分）
16．解：（1）由周期计算公式，可得T=
（2）由f（x）的最大值是4知，A=4
，即sin（）=1
∵0＜ρ＜π，∴∴，∴
∴f（x）=4sin（3x+）
（3）f（）=4sin[3（）+]=，即sin[3（）+]=
，，，，
17. 解：（1）重量超过505克的产品数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；
（2）Y的所有可能取值为0，1，2；
，，，
Y的分布列为
（3）从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率服从二项分布
∴从流水线上任取5件产品，恰有2件产品合格的重量超过505克的概率为=
18. 1）证明：连接CF，因为是半径为a的半圆，AC为直径，点E为的中点，所以EB⊥AC．在RT△BCE中，．
在△BDF中，，△BDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点，故CF⊥BD．
在△CEF中，，所以△CEF为Rt△，且CF⊥EC．
因为CF⊥BD，CF⊥EC，且CE∩BD=C，所以CF⊥平面BED，
而EB?平面BED，∴CF⊥EB．
因为EB⊥AC，EB⊥CF，且AC∩CF=C，所以EB⊥平面BDF，
而FD?平面BDF，∴EB⊥FD．
（2）解：设平面BED与平面RQD的交线为DG．
由，，知QR∥EB．
而EB?平面BDE，∴QR∥平面BDE，
而平面BDE∩平面RQD=DG，
∴QR∥DG∥EB．
由（1）知，BE⊥平面BDF，∴DG⊥平面BDF，
而DR，DB?平面BDF，∴DG⊥DR，DG⊥DB，
∴∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．
在Rt△BCF中，，，
．
在△BDR中，由知，，
由余弦定理得，=
由正弦定理得，，即，．
故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为．
19. 解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，
设费用为F，则F=2.5x+4y，
由题意知约束条件为：
画出可行域如下图：
变换目标函数：
20. 解：（1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知，，
则，，
两式相乘得，
因为点P（x1，y1）在双曲线上，所以，即，
所以，即，
故直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）
（2）设l1：y=kx+h（k＞0），则由l1⊥l2知，．
将l1：y=kx+h代入得，
即（1+2k2）x2+4khx+2h2﹣2=0，
若l1与椭圆相切，则△=16k2h2﹣4（1+2k2）（2h2﹣2）=0，即1+2k2=h2；
同理若l2与椭圆相切，则．
由l1与l2与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：
[1]直线l1与l2都与椭圆相切，即1+2k2=h2，且，消去h2得，即k2=1，
从而h2=1+2k2=3，即；
[2]直线l1过点，而l2与椭圆相切，此时，，解得；
[3]直线l2过点，而l1与椭圆相切，此时，1+2k2=h2，解得；
[4]直线l 1过点，而直线l2过点，此时，，∴．
综上所述，h的值为．
21. （1）证明：由绝对值不等式知，
ρ（A，C）+ρ（C，B）=|x﹣x1|+|x2﹣x|+|y﹣y1|+|y2﹣y
≥|（x﹣x1）+（x2﹣x）|+|（y﹣y1）+（y2﹣y）|
=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|
=ρ（A，B）
当且仅当（x﹣x1）?（x2﹣x）≥0，且（y﹣y1）?（y2﹣y）≥0时等号成立．
（2）解：由ρ（A，C）+ρ（C，B）=ρ（A，B）得
（x﹣x1）?（x2﹣x）≥0且（y﹣y1）?（y2﹣y）≥0 （Ⅰ）
由ρ（A，C）=ρ（C，B）得|x﹣x1|+|y﹣y1|=|x2﹣x|+|y2﹣y|（Ⅱ）
因为A（x1，y1），B（x2，y2）是不同的两点，则：1°若x1=x2且y1≠y2，
不妨设y1＜y2，由（Ⅰ）得x=x1=x2，且y1≤y≤y2，
由（Ⅱ）得，
此时，点C是线段AB的中点，即只有点满足条件；
2°若x1≠x2且y1=y2，
同理可得：只有AB的中点满足条件；
3°若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1＜x2且y1＜y2，
由（Ⅰ）得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，
由（Ⅱ）得，
此时，所有符合条件的点C的轨迹是一条线段，即：过AB的中点，斜率为﹣1的直线夹在矩形AA1BB1之间的部分，
其中A（x1，y1），A1（x2，y1），B（x2，y2），B1（x1，y2）．