北师大版版高考数学一轮复习平面解析几何抛物线教学案理解析版
[考纲传真] 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.理解数形结合思想.3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F )的距离相等的点的集合叫作抛物线.点F 叫作抛物线的焦点,直线l叫作抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准y2=2px(p>0)y2=—2px
(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=—2py
(p>0)
方程p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点O(0,0)
对称轴y=0x=0
焦点F错误!F错误!F错误!F错误!
离心率e=1
准线方程x=—错误!x=错误!y=—错误!y=错误!
范围x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R
焦半径
(其中
P(x0,
y0))
|PF|=x0+错误!|PF|=—x0+错误!|PF|=y0+错误!|PF|=—y0+错误!
1.y2=ax(a≠0)的焦点坐标为错误!,准线方程为x=—错误!.
2.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),
B(x2,y2),则
(1)x1x2=错误!,y1y2=—p2.
(2)弦长|AB|=x1+x2+p=错误!(α为弦AB的倾斜角).
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.
(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长度等于2p,通径是过焦点最短的弦.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.
(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()
(3)若一抛物线过点P(—2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p>0).()
(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()
[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×
2.抛物线y=错误!x2的准线方程是()
A.y=—1B.y=—2
C.x=—1D.x=—2
A[∵y=错误!x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=—1.]
3.(教材改编)顶点在原点,对称轴为坐标轴,且过点P(—4,—2)的抛物线的标准方程是()A.y2=—xB.x2=—8y
C.y2=—8x或x2=—yD.y2=—x或x2=—8y
D[若焦点在y轴上,设抛物线方程为x2=my,由题意可知16=—2m,∴m=—8,即x2=—8y.若焦点在x轴上,设抛物线方程为y2=nx,由题意,得4=—4n,∴n=—1,
∴y2=—x.
综上知,y2=—x或x2=—8y.故选D.]
4.(教材改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.错误!B.错误!
C.错误!D.0
B[M到准线的距离等于M到焦点的距离,又准线方程为y=—错误!,设M(x,y),则y+错误!
=1,∴y=错误!.]
5.(教材改编)过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于________.
8 [|PQ|=x1+x2+p=6+2=8.]
抛物线的定义及应用
【例1】(1)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()
A.错误!B.1
C.错误!D.错误!
(2)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,A(3,2),则|PA|+|PF|的最小值为________,取最小值时点P的坐标为________.
(1)C(2)错误!(2,2)[(1)如图所示,设抛物线的准线为l,
AB的中点为M,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,MM1⊥l于M1,由抛物线的定
义知p=错误!,|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则点M到y轴的距离为|MM1|—
错误!=错误!(|AA1|+|BB1|)—错误!=错误!.故选C.
(2)将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±错误!.因为错误!>2,所
以点A在抛物线内部,如图所示.
过点P作PQ⊥l于点Q,则|PA|+|PF|=|PA|+|PQ|,
当PA⊥l,即A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|最小,
最小值为错误!,即|PA|+|PF|的最小值为错误!,此时点P的纵坐标为2,代
入y2=2x,得x=2,所以所求点P的坐标为(2,2).]
[规律方法] 应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.
(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|=|x0|+错误!或|PF|=|y0|+错误!.
(2)(2017· 全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y 轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.
(1)y2=4x(2)6 [(1)设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=—1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2=
4x.
(2)如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,过
点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.
由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.
∵点M为FN的中点,PM∥OF,
∴|MP|=错误!|FO|=1.
又|BP|=|AO|=2,
∴|MB|=|MP|+|BP|=3.
由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,故|FN|=2|MF|=6.]
抛物线的标准方程及其性质
【例2】(1)如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依
次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,则抛物线的方程
为()
A.y2=8x
B.y2=4x
C.y2=2x
D.y2=x
(2)在平面直角坐标系xOy中,设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的倾斜角为120°,那么|PF|=________.
(1)B(2)4[(1)如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于
点E,D,设准线与x轴交于点G,设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,由定义得|BD|
=a,故∠BCD=30° ,则在R t△ACE中,2|AE|=|AC|,又|AF|=4,∴|AC|=4
+3a,|AE|=4,∴4+3a=8,从而得a=错误!,∵AE∥FG,
∴错误!=错误!,即错误!=错误!,p=2.∴抛物线的方程为y2=4x.故选B.
(2)法一:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=—1.因为直线AF的倾斜角为120°,所以∠AFO=60°.又ta n 60°=错误!,所以y A=2错误!.因为PA⊥l,所以y P=y A=2错误!.将其代入y2=4x,得x P=3,所以|PF|=|PA|=3—(—1)=4.
法二:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=—1.因为PA⊥l,所以|PA|=|PF|.又因为直线AF的倾斜角为120°,所以∠AFO=60°,所以∠PAF=60°,所以△PAF为等边三角形,所以|PF|=|AF|=错误!=4.]
[规律方法] (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
2
△POF的面积为()
A.错误!B.错误!
C.2D.3
(2)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为()
A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x
(1)B(2)C[(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线为直线x
=—1.设点P(x,y),由抛物线的定义,得|PF|=x+1=4,所以x=3.把x
=3代入y2=4x,得y=±2错误!,故△POF的面积S=错误!×|OF|×|y|=错误!×
1×2错误!=错误!.故选B.
(2)如图所示,抛物线y2=2px的焦点F坐标为错误!,准线方程为l:x=
—错误!.由|MF|=5,可得点M到准线的距离为5,则点M的横坐标为5—错误!,可设M错误!,则
MF 中点B 的坐标为B 错误!,∵以MF 为直径的圆过点A (0,2),∴|AB |=错误!|MF |=错误!,则有错误!
2
+错误!2=错误!2
,解得m =4,由点M 在抛物线上可得m 2=42=2p 错误!,解得p =2或p =8,∴所求抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x ,故选C.]
直线与抛物线的位置关系
【例3】 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C :y 2=2x ,点A (2,0),B (—2,0),过点A 的直线
l 与C 交于M ,N 两点.
(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程; (2)证明:∠ABM =∠ABN .
[解] (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x =2,可得点M 的坐标为(2,2)或(2,—2). 所以直线BM 的方程为y =错误!x +1或y =—错误!x —1. (2)证明:当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线, 所以∠ABM =∠ABN .
当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y =k (x —2)(k ≠0),
M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.
由错误!得ky 2—2y —4k =0, 可知y 1+y 2=错误!,y 1y 2=—4. 直线BM ,BN 的斜率之和为
k BM +k BN =错误!+错误!=错误!.1
将x 1=错误!+2,x 2=错误!+2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入1式分子,可得
x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=错误!=错误!=0.
所以k BM +k BN =0,可知BM ,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM =∠ABN . 综上,∠ABM =∠ABN .
[规律方法] 解决直线与抛物线位置关系问题的三种常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB |=x 1+x 2+p ,若不过焦点,则必须用弦长公式.
(3)涉及抛物线的弦长、弦中点等相关问题时,一般采用“设而不求,整体代入”的解法.
提醒:涉及弦的中点、弦所在直线的斜率时一般用“点差法”求解.
2
条.
(2)(2019·临沂模拟)已知点A(m,4)(m>0)在抛物线x2=4y上,过点A作倾斜角互补的两条直线l1和l2,且l1,l2与抛物线的另一个交点分别为B,C.
1求证:直线BC的斜率为定值;
2若抛物线上存在两点关于BC对称,求|BC|的取值范围.
(1)3[结合图形分析可知(图略),满足题意的直线共有3条:直线x=0,过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x=0).]
(2)[解] 1证明:∵点A(m,4)在抛物线上,
∴16=m2,∴m=±4,又m>0,∴m=4.
设B(x1,y1),C(x2,y2),
则k AB+k AC=错误!+错误!=错误!=0,
∴x1+x2=—8.
∴k BC=错误!=错误!=错误!=—2,
∴直线BC的斜率为定值—2.
2设直线BC的方程为y=—2x+b,P(x3,y3),Q(x4,y4)
关于直线BC对称,设PQ的中点为M(x0,y0),则
k PQ=错误!=错误!=错误!=错误!,∴x0=1.
∴M(1,—2+b).
又点M在抛物线内部,∴—2+b>错误!,即b>错误!.
由错误!得x2+8x—4b=0,
∴x3+x4=—8,x3x4=—4b.
∴|BC|=错误!|x3—x4|=错误!·错误!
=错误!×错误!.
又b>错误!,∴|BC|>10错误!.
∴|BC|的取值范围为(10错误!,+∞).
1.(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(—2,0)且斜率为错误!的直线与C交于M,N两点,则错误!·错误!=()
A.5B.6
C.7 D.8
D[过点(—2,0)且斜率为错误!的直线的方程为y=错误!(x+2),由错误!得x2—5x+4=0,解得x=1或x=4,所以错误!或错误!不妨设M(1,2),N(4,4),易知F(1,0),所以错误!=(0,2),错误!=(3,4),所以错误!·错误!=8.故选D.]
2.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4错误!,|DE|=2错误!,则C的焦点到准线的距离为()
A.2B.4
C.6 D.8
B[设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.
∵|AB|=4错误!,|DE|=2错误!,
抛物线的准线方程为x=—错误!,
∴不妨设A错误!,D错误!.
∵点A错误!,D错误!在圆x2+y2=r2上,
∴错误!∴错误!+8=错误!+5,
∴p=4(负值舍去).
∴C的焦点到准线的距离为4.]
3.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(—1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=________.
2[由题意知抛物线的焦点为(1,0),则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x—1)(k≠0),由错误!消去y,得k2(x—1)2=4x,即k2x2—(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=错误!,x1x2=1.由错误!消去x得y2=4错误!,即y2—错误!y—4=0,则y1
+y2=错误!,y1y2=—4.由∠AMB=90°,得错误!·错误!=(x1+1,y1—1)·(x2+1,y2—1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2—(y1+y2)+1=0,将x1+x2=错误!,x1x2=1与y1+y2=错误!,y1y2=—4代入,得k=2.]
4.(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
[解] (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x—1)(k>0).
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由错误!得k2x2—(2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0,故x1+x2=错误!.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=错误!.
由题设知错误!=8,解得k=—1(舍去)或k=1.因此l的方程为y=x—1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y—2=—(x—3),即y=—x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则
错误!
解得错误!或错误!
因此所求圆的方程为(x—3)2+(y—2)2=16或(x—11)2+(y+6)2=144.