2017年度上海地区嘉定区高考数学一模试卷解析版

2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷

一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B= ．2．（4分）函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= ．3．（4分）设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．

4．（4分）若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a= ．

5．（4分）已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= ．

6．（4分）甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有种．

7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．

8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）= ．

9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．

10．有以下命题：

①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；

②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；

③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；

④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f （x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；

其中真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）

11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为．12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为cm．

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．“x＜2”是“x2＜4”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）

A．S n单调递增B．S n单调递减 C．S n有最小值 D．S n有最大值

15．给出下列命题：

（1）存在实数α使．

（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．

（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．

（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．

其中正确命题的题号为（）

A．（1）（2）B．（2）（3） C．（3）（4）D．（1）（4）

16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，] B．[3，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣3，3]

三、解答题（共5小题，满分76分）

17．（14分）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；

（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；

（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18．（14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（I）求角A的大小；

（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．

19．（14分）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N （点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个公共点P，四边形MABN为绿化风景区：

（1）求证：b=﹣；

（2）设点P的横坐标为t，①用t表示M、N两点坐标；②将四边形MABN的面积S表示成关于t的函数S=S（t），并求S的最大值．

20．（16分）已知函数f（x）=9x﹣2a?3x+3：

（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；

（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；

（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．

21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项都是正数，其前n项和为S n，且满足：a1=a，rS n=a n a n+1﹣1，其中a≠1，常数r∈N；

（1）求证：a n+2﹣a n是一个定值；

（2）若数列{a n}是一个周期数列（存在正整数T，使得对任意n∈N*，都有a n+T=a n 成立，则称{a n}为周期数列，T为它的一个周期，求该数列的最小周期；（3）若数列{a n}是各项均为有理数的等差数列，c n=2?3n﹣1（n∈N*），问：数列{c n}中的所有项是否都是数列{a n}中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例．

2017年上海市嘉定区高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．设集合A={x||x﹣2|＜1，x∈R}，集合B=Z，则A∩B= {2} ．

【考点】交集及其运算．

【分析】利用交集定义求解．

【解答】解：|x﹣2|＜1，即﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即A=（1，3），集合B=Z，

则A∩B={2}，

故答案为：{2}

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意定义法的合理运用．

2．函数y=sin（ωx﹣）（ω＞0）的最小正周期是π，则ω= 2 ．

【考点】正弦函数的图象．

【分析】根据三角函数的周期性及其求法即可求值．

【解答】解：∵y=sin（ωx﹣）（ω＞0），

∴T==π，

∴ω=2．

故答案是：2．

【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．

3．设i为虚数单位，在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：复数===对应的点到原点的距离==．

故答案为：．

【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

4．若函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），则实数a= 3 ．

【考点】反函数．

【分析】由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．

【解答】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），

∴4=log2（1+1）+a

∴4=1+a，

a=3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．

5．已知（a+3b）n展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，则n= 6 ．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值．

【解答】解：令二项式中的a=b=1得到展开式中的各项系数的和4n

又各项二项式系数的和为2n

据题意得，解得n=6．

故答案：6

【点评】求二项展开式的系数和问题一般通过赋值求出系数和；二项式系数和为2n．属于基础题．

6．甲、乙两人从5门不同的选修课中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有60 种．

【考点】排列、组合及简单计数问题．

【分析】间接法：①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，作差可得答案．

【解答】解：根据题意，采用间接法：

①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C52C52=100，

②两人所选两门都相同的有为C52=10种，都不同的种数为C52C32=30，

故只恰好有1门相同的选法有100﹣10﹣30=60种．

故答案为60．

【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用间接法是解决本题的关键，属中档题．

7．若圆锥的侧面展开图是半径为2cm，圆心角为270°的扇形，则这个圆锥的体积为cm3．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．

【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得底面半径，进而求出圆锥的高，代入圆锥体积公式，可得答案．

【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得：

2πr=π×2，

解得r=．

故圆锥的高h==，

∴圆锥的体积V=πr2h=cm3．

故答案为：．

【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解．

8．若数列{a n}的所有项都是正数，且++…+=n2+3n（n∈N*），则（）= 2 ．

【考点】数列的求和；极限及其运算．

【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用等差数列的求和公式、极限的运算性质即可得出．

【解答】解：∵++…+=n2+3n（n∈N*），∴n=1时，=4，解得a1=16．

n≥2时，且++…+=（n﹣1）2+3（n﹣1），可得：=2n+2，∴a n=4（n+1）2．

=4（n+1）．

∴（）==2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、极限运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．

【考点】余弦定理．

【分析】先根据余弦定理求出∠ADC的值，即可得到∠ADB的值，最后根据正弦定理可得答案．

【解答】解：在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，

由余弦定理得cos∠ADC==﹣，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°

在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，

由正弦定理得，

∴AB=

故答案为：．

【点评】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，在解决问题的过程中要灵活运用正弦定理和余弦定理．属基础题．

10．有以下命题：

①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）的值域为{0}；

②若函数f（x）是偶函数，则f（|x|）=f（x）；

③若函数f（x）在其定义域内不是单调函数，则f（x）不存在反函数；

④若函数f（x）存在反函数f﹣1（x），且f﹣1（x）与f（x）不完全相同，则f （x）与f﹣1（x）图象的公共点必在直线y=x上；

其中真命题的序号是①②．（写出所有真命题的序号）

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】①函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0．②利用偶函数的定义和性质判断．③利用单调函数的定义进行判断．④利用反函数的性质进行判断．

【解答】解：①若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，为常数函数，所以f（x）的值域是{0}，

所以①正确．

②若函数为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（|x|）=f（x）成立，所以②正确．

③因为函数f（x）=在定义域上不单调，但函数f（x）存在反函数，所以③错误．

④原函数图象与其反函数图象的交点关于直线y=x对称，但不一定在直线y=x 上，

比如函数y=﹣与其反函数y=x 2﹣1（x≤0）的交点坐标有（﹣1，0），（0，1），

显然交点不在直线y=x上，所以④错误．

故答案为：①②．

【点评】本题主要考查函数的有关性质的判定和应用，要求熟练掌握相应的函数的性质，综合性较强．

11．设向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A、B、C三点共线，则+的最小值为8 ．【考点】基本不等式．

【分析】A、B、C三点共线，则=λ，化简可得2a+b=1．根据+=（+）（2a+b），利用基本不等式求得它的最小值

【解答】解：向量=（1，﹣2），=（a，﹣1），=（﹣b，0），其中O 为坐标原点，a＞0，b＞0，

∴=﹣=（a﹣1，1），=﹣=（﹣b﹣1，2），

∵A、B、C三点共线，

∴=λ，

∴，

解得2a+b=1，

∴+=（+）（2a+b）=2+2++≥4+2=8，当且仅当a=，b=，取等号，

故+的最小值为8，

故答案为：8

【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，基本不等式的应用，属于中档题．

12．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为13 cm．

【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．

【分析】将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．

【解答】解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，

在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．

由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13故答案为：13．

【点评】本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，体现了转化（空间问题转化为平面问题，化曲为直）的思想方法．

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．“x＜2”是“x2＜4”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．

【解答】解：由x2＜4，解得：﹣2＜x＜2，

故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，

故选：B．

【点评】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．

14．若无穷等差数列{a n}的首项a1＜0，公差d＞0，{a n}的前n项和为S n，则以下结论中一定正确的是（）

A．S n单调递增B．S n单调递减 C．S n有最小值 D．S n有最大值

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】S n=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．

【解答】解：S n=na1+d=n2+n，

∵＞0，∴S n有最小值．

故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．给出下列命题：

（1）存在实数α使．

（2）直线是函数y=sinx图象的一条对称轴．

（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．

（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．

其中正确命题的题号为（）

A．（1）（2）B．（2）（3） C．（3）（4）D．（1）（4）

【考点】正弦函数的定义域和值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的对称性；余弦函数的定义域和值域．

【分析】（1）利用辅助角公式将可判断（1）；

（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；

（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；

（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．

【解答】解：（1）∵，∴（1）错误；

（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为，k=﹣1，，∴（2）正确；

（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y max=cos0=1，y min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；

（4）不妨令，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；

故选B．

【点评】本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．

16．如果对一切实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立，则实数a的取值范围是（）

A．（﹣∞，] B．[3，+∞）C．[﹣2，2] D．[﹣3，3]

【考点】函数恒成立问题．

【分析】将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y）=+，利用基本不等式可求得f（y）min=3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx=0三类讨论，

可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．

【解答】解：?实数x、y，不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立?+≥asinx+1﹣sin2x恒成立，

令f（y）=+，

则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，

当y＞0时，f（y）=+≥2=3（当且仅当y=6时取“=”），f（y）

=3；

min

当y＜0时，f（y）=+≤﹣2=﹣3（当且仅当y=﹣6时取“=”），f（y）max=﹣3，f（y）min不存在；

综上所述，f（y）min=3．

所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．

①若sinx＞0，a≤sinx+恒成立，令sinx=t，则0＜t≤1，再令g（t）=t+（0＜t≤1），则a≤g（t）min．

由于g′（t）=1﹣＜0，

所以，g（t）=t+在区间（0，1]上单调递减，

因此，g（t）min=g（1）=3，

所以a≤3；

②若sinx＜0，则a≥sinx+恒成立，同理可得a≥﹣3；

③若sinx=0，0≤2恒成立，故a∈R；

综合①②③，﹣3≤a≤3．

故选：D．

【点评】本题考查恒成立问题，将不等式﹣cos2x≥asinx﹣恒成立转化为+

≥asinx+1﹣sin2x恒成立是基础，令f（y）=+，求得f（y）min=3是关键，也是难点，考查等价转化思想、分类讨论思想的综合运用，属于难题．

三、解答题（共5小题，满分76分）

17．（14分）（2017?上海一模）如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD 与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2；

（1）求三棱锥A﹣BCD的体积；

（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．

【分析】（1）由AB⊥平面BCD，得CD⊥平面ABC，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积．

（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出异面直线AD与CM所成角的大小．

【解答】解：（1）如图，因为AB⊥平面BCD，

所以AB⊥CD，又BC⊥CD，所以CD⊥平面ABC，

因为AB⊥平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30°，故∠ADB=30°，

由AB=BC=2，得AD=4，AC=2，

∴BD==2，CD==2，

则V A﹣BCD===

=．

（2）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，2，2），D（2，0，0），C（0，0，0），B（0，2，0），M（），=（2，﹣2，﹣2），=（），

设异面直线AD与CM所成角为θ，

则cosθ===．

θ=arccos．

∴异面直线AD与CM所成角的大小为arccos．

【点评】本题考查了直线和平面所成角的计算，考查了利用等积法求点到面的距离，变换椎体的顶点，利用其体积相等求空间中点到面的距离是较有效的方法，此题是中档题．

18．（14分）（2017?上海一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的

对边，且8sin2．

（I）求角A的大小；

（II）若a=，b+c=3，求b和c的值．

【考点】余弦定理；解三角形．

【分析】（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，解方程求得cosA 的值，即可得到A的值．

（II）由余弦定理及a=，b+c=3，解方程组求得b和c 的值．

【解答】解：（I）在△ABC中有B+C=π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2=7，（1分）

又∵cos（B+C）=﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1=0．（4分）

解得，∴．（6分）

（II）由．（8分）

又．（10分）

由．（12分）

【点评】本题主要考查余弦定理，二倍角公式及诱导公式的应用，属于中档题．

19．（14分）（2017?上海一模）某地要建造一个边长为2（单位：km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为（1，2），曲线OD是函数y=ax2图象的一部分，对边OA上一点M在区域OABD内作一次函数y=kx+b（k＞0）的图象，与线段DB交于点N（点N不与点D重合），且线段MN与曲线OD有且只有一个