浙江省余姚中学自主招生模拟考试数学试卷1
2012年余姚中学自主招生模拟考试数学试卷1
本卷满分120分，时间90分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、设71a =
-，则32312612a a a +--=（ ）
A ．24
B ．25
C ．4710+
D ．4712+
2、如图，△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，被一平行于BC 的 矩形所截成三等分，则图中四边形EFGH 的面积为（ ）
A ．2
4cm B ．2
23cm C ．2
33cm D ．2
43cm
3、将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为
,,a b c ，则,,a b c 正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
A ．
1216 B ．172 C ．136 D ．112
4、5个连续整数(从小到大排列)前三个的平方和等于后两个的平方和，这样的整数组共有（ ）
A ．0组
B ．1组
C ．2组
D ．无数组
5、在直角坐标系中，若一点的纵、横坐标都是整数，则称该点为整点。设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为为整点时，k 的值可以取（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个
6、如果12,10=-+=++y x y y x x ,那么=+y x （ ）
A ．2-
B ．2
C ．
518 D ．3
22
7、如图，ABC ?的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，点是O
ABC ?的外心，，
于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥ ，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（ ）
A ．a b c ∶∶
B ．c
b a 1
:1:1
C ．C B A cos :cos :cos
D ．C B A sin :sin :sin
8、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,7,384==S S 则12S 的值是（ ） A ．8
B ．11
C ．12
D ．15
9、我们将123n ???
?记作!n ，如：5!12345=????；100!123100=????；
若设!20122012!33!22!11?++?+?+?= S ，则S 除以2012的余数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1006 D ． 2011
第2题图
第7题图
第13题图
E
C
O
B
A
D
F
第15题图
10、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n 个，则n 的最大值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．12 二、填空题（每小题4分，共32分）
11、在实数范围内分解因式2
2x y xy y --=__________． 12、已知3=xy ，那么y
x
y
x y x
+的值是__________． 13、如图，G 是边长为4的正方形ABCD 边上一点，矩形DEFG 的
边EF 经过点A ，已知GD=5，则矩形DEFG 的面积为__________．
14、若一直角梯形的两对角线长分别为9和11，上、下两底长都是整数，则该梯形的高
为__________．
15、如图，射线AO 交⊙O 于B 、C 两点，AB=1cm, BC=3cm ，
AD 切⊙O 于点D ，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AE 交⊙O 于点F ，则线段DF 的长= cm ．
16、已知方程a x x =-52有且只有两个不同实数根，
则a 的取值范围是__________．
17、如图，⊙O 的直径AB 与弦EF 相交于点P ，交角为45°，
若2
2
PF PE +=8，则AB 等于__________．
18、在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，设能完全
覆盖△ABC 的圆的半径为R ，则R 的最小值是__________． 三、解答题
19、已知实数c b a 、、，满足不等式c b a +≥、c a b +≥、b a c +≥，
求证：0=++c b a ．
20、如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴于
点A ，交y 轴的正半轴于点B ，求△AOB 面积的最小值．
第17题图
B
y P
21、如图，直线3
3
3
+
-
=x
y分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点，C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，∠COD＝∠CBO，
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，说明理由．
22、已知AB是⊙O的直径，弦AB
CD⊥于E，F是DC延长线上的一点，FA、FB与⊙O分别交于M、G，GE与⊙O交于N.
（1）求证：AB平分MAN
∠；
（2）若⊙O的半径为5，26
FE CE
==，求线段AN的长.
G
M
F
E B
A O
D
C
23、已知a b c >>，且2340a b c ++= . （1）a b c ++是正数吗？为什么？
（2）若抛物线2
y ax bx c =++在x 轴上截得的线段长为6
，求抛物线的对称轴.
2012年余姚中学自主招生模拟考试数学 答 案
二、填空题（每小题4分，共32分）
11、)21)(21(+--
-x x y 12、3232-或 13、
5
16 14、15、13136 16、0=a 或4
25
>a 17、4 18、865或2
15
三、解答题
19、（8分）已知实数c b a 、、，满足不等式c b a +≥、c a b +≥、b a c +≥， 求证：0=++c b a ．
证明：∵|a|≥
|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|
∴a 2≥（b+c ）2，b 2≥（c+a ）2，c 2≥（a+b ）2
∴a 2+b 2+c 2≥（b+c ）2+（c+a ）2+（a+b ）2=2（a 2+b 2+c 2）+2ab+2bc+2ca ∴a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca ≤0 ∴（a+b+c ）2≤0，而（a+b+c ）2≥0 ∴a+b+c=0．
20、（8分）如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．
解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+， 得32b k =-，令0y =得b x k =-
，则OA ＝b k
-． 令0x =得y b =，则OA ＝b ．
222
1()21(32)214129
21[(2)24]212.
AOB b
S b k
k k
k k k
k k ?=
?-?-=?--+=?
-=?--+-≥ ∴三角形AOB 面积的最小值为12．
21、（10分）如图，直线33
3
+-
=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点，C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，∠COD ＝∠CBO ， （1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：
（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理
由．
解：简解(1) ∵33
3
+-
=x y ，∴A(3，0)，B(0，3)， ∵∠COD ＝∠CBO ，∴点C 为OA 弧中点，∴C(
2
3,23-) （2）3
3
29322-=
x y (3) ∵BC=3，BD=2，DP ＝2，∴DP=4，则,122
=?=BP BC AB ∴BCA ?∽BAP ? ∴
90=∠=∠BAP BCA
22、（10分）已知AB 是⊙O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，F 是DC 延长线上的一点，FA 、
FB 与⊙O 分别交于M 、G ，GE 与⊙O 交于N .
（1）求证：AB 平分MAN ∠；
（2）若⊙O 的半径为5，26FE CE ==，求线段AN 的长.
G
M
F
C
证明：（1）连结AG ，则090=∠=∠AEF AGF ，
∴点A 、E 、G 、F 四点共圆， ∴NGB FAE =
∠
NGB BAN ∠=∠
∴NAB MAB ∠=∠
即AB 平分MAN ∠
（2）连结OC 、BM ，5=OC ，3=CE ，
∴在OEC Rt ?中得4=OE ，9=∴AE
在AEF Rt ?，6=EF ，∴133=AF
10=AB ，由ABM Rt ?∽AFE Rt ?得 AF AB AE AM =，1313
30=?=∴AF AE AB AM AB 平分MAN ∠，13
13
30=
=∴AM AN
23、（12分）已知a b c >>，且2340a b c ++= . （1）a b c ++是正数吗？为什么？
（2）若抛物线2
y ax bx c =++在x
轴上截得的线段长为
6
，求抛物线的对称轴. 解：（1）c b a ++是正数
c a >. 0>-∴c a ()031343
2
>-=+??? ??--+=++∴c a c c a a c b a
（2）由题意可得 691
42=-a ac b
()3691
3242
222=++=-∴a b a a b a ac b
036
19
32
=-??? ??+??? ??∴a b a b 解得 619-=a b 或61
c b a >> ，且0432=++c b a 0>∴a ，0 当619-=a b ，即a b 6 19-=时， 06 13 619<+-=+-=++c a c a a c b a 619 -=∴a b 舍去 当61=a b 时，满足0>++c b a 综上所述 6 1=a b ∴对称轴为直线12 1 -=x