【附加15套高考模拟】2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题含答案

2019-2020学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线24y x =的焦点F 且倾斜角为60?的直线交抛物线于A 、B 两点，以AF 、BF 为直径的圆分别与y 轴相切于点M ，N ，则MN =（）

A ．3

B ．23

C ．23

D ．43

2．若,a b 是从集合{}1,1,2,3,4-中随机选取的两个不同元素，则使得函数()5a

b f x x x =+是奇函数的概

率为（ ）

A ．320

B ．310

C ．925

D ．35

3．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上，且

OM a =，若直线MF 的斜率为b

a

，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）

A ．y x =±

B ．2y x =±

C ．3y x =±

D ．4y x =±

4．已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，准线为l ，O 为坐标原点，点P 在C 上，直线PF 与l 交于点T ．若2

3

PFO ∠=

π，则PF PT = A ．14 B ．13 C ．12 D ．2

3

5．已知点A 是函数()sin()(0,0)f x x ω?ω?π=+><<的图像上的一个最高点，点B 、C 是函数()f x 图像上相邻两个对称中心，且三角形ABC 的周长的最小值为222+.若0m ?>，使得

()()f x m mf x +=-，则函数()f x 的解析式为

A ．sin(

)24

y x π

π

=+ B ．sin(

)23

y x π

π

=+

C ．sin()4y x ππ=+

D ．

sin()

3y x π

π=+ 6．执行如图所示的程序框图，则输出的

（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

7．已知椭圆22

:143

x y C +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 且斜率为1的直线l 交椭圆C 于A 、B 两

点，则1F AB ?的内切圆半径为( )

A ．27

B ．22

7

C ．327

D ．427

8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知19a =，2a 为整数，且5n S S ≤，则数列1

1

{}n n a a +?前n 项和的

最大值为（ ）

A ．4

9 B ．1

C ．41

81 D ．151315

9．已知函数()2

ln f x x x =-与()()()

()2

1

222g x x m m R x =-+

-∈-的图象上存在关于()1,0对称的

点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．

(),1ln2-∞- B ．(],1ln2-∞- C ．()1ln2,-+∞ D ．[)1ln2,-+∞

10．奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()2

2g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的

取值范围是（ ） A ．

(),1-∞

B ．

()1,+∞

C ．

(]0,1

D ．

()0,1

11．已知边长为1的等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦 3

A 、

B 、

C 、

D 、

E 在同一球面上，则此球的体积为（ ） A ．2π B ．82

3 C 2π

D ．23

12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x …

时，()

2()ln 1f x x x =++，则不等式(21)1ln 2f x +>+的解集为（ ）

A ．{|0}x x >

B ．{|0}x x <

C ．{|1}x x >

D ．{|1}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若4

2S 4S =，则64S S =

______．

14．在等腰梯形中，AB//CD ，AB 2=，AD 1=，DAB 60∠=o

，若BC 3CE =u u u r u u u r ，AF λAB =u u u r u u u r

，且

AE DF 1?=-u u u r u u u r

，则λ=__．

15．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11,AA P =为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论：

①若PD=3，则满足条件的P 点有且只有一个； ②若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧； ③若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2；

④若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得图形的面

积为

94

π． 其中所有正确结论的序号为_____．

16．已知实数x ，y 满足342y x x y x ≥??

+≤??≥?，则3z x y =+的最大值是__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某汽车公司为调查

店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的

四座城市的

店

一季度汽车销量进行了统计，结果如下：

根据统计的数据进行分析，求关于的线性回归方程；现要从三座城市的10个店中选取3个做深

入调查，求城市中被选中的店个数的分布列和期望.

附：回归方程

中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

；.

18．（12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知

2121

22n S n n =-+.求{}n a 的通项公式；设12222

1

,n n n

n n b T b b b a a +=

=+++L ，求n T .

19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ??=+??

=?（?为参数，

[)

0,2?∈π）．以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．写出曲线12,C C

的极坐标方程；

在极坐标系中，已知点A 是射线

()

:0l θαρ=≥与

1

C 的公共点，点B 是l 与

2

C 的公共点，当α在区间

0,2π??

????上变化时，求OB OA 的最大值．

20．（12分）已知直线l 的方程为2y x =--，点P 是抛物线

2

:4C x y =上到直线l 距离最小的点.求点P 的坐标；若直线m 与抛物线C 交于A

B 、两点，ABP ?的重心恰好为抛物线

C 的焦点F .求ABP ?的面积. 21．（12分）已知点为圆：上任意一点，定点的坐标为

，线段

的垂直平分线交

于点.

求点的轨迹方程；若动直线与圆

相切，且与点的

轨迹交于点、，求证：以

为直径的圆恒过坐标原点.

22．（10分）已知椭圆

22

:24C x y +=．求椭圆C 的离心率；设O 为原点，若点A 在直线2y =上，点B 在椭圆C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 长度的最小值．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。 1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．D 12．A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13

．

13

4

14．

1

4

15．①②④

16．8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）；（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）直接利用最小二乘法求关于的线性回归方程；（2）先求出的可能取值为：0，1，2，3.再求出它们对应的概率和分布列，最后求出其期望.

【详解】

（1）；，

.

.

所以回归直线方程为.

（2）的可能取值为：0，1，2，3.

；；

；.

的分布列为

0 1 2 3

所以的期望为.

【点睛】

本题主要考查回归直线方程的求法，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18．（1）11

n

a n

=-+（2）

11

18418

n

T

n

=--

-

【解析】

【分析】

（1）当2

n≥时，

1

11

n n n

a s s n

-

=-=-+，检验1

n=成立即可求解；（2）由

2221n n n b a a +=

+=111221129n n ??

- ?--??

裂项相消求和即可

【详解】

（1）当2n ≥时，()2

2112111222n n n a s s n n n -=-=-

++- ()211112

n n --=-+ 当1n =时，满足上式，11n a n ∴=-+ （2）由11n a n =-+ 可得()()2221121129n n n b a a n n +=

=+-- 111221129n n ??

=- ?--??

1

2

n T ∴=

11111

1977521129n n ????????-+-++- ? ?

???------?

???????L 1112929n ??

=

- ?--??

1118418

n =-

-- 【点睛】

本题考查数列通项公式，裂项相消求和，考查计算能力，熟记求和的基本方法，准确计算是关键，是基础题

19．（1

）sin 42

πρθ?

?

+= ?

?

?，4cos ρθ=（2

）2+ 【解析】

【试题分析】（1）对于曲线1C 直接代入公式即可得到极坐标方程，对于2C 先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示,OA OB ，然后利用辅助角公式化简求得最大值. 【试题解析】

（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=

，即sin 42

πρθ??

+

= ?

?

?． 曲线2C 的普通方程为()2

224x y -+=，即22

40x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．

（2） 由（1）知1

,4cos cos sin A B OA OB ρρθθθ

==

==+，

()(

)4cos cos sin 21cos2sin2224OB

OA παααααα?

?∴

=+=++=++ ??

?… 由02

π

α≤≤

知

52+

4

4

4π

π

πα≤≤

，当242

ππ

α+=， 即

8π

α=

时，OB

OA

有最大值2+．…

20． (1) P 点坐标为()2,1-，（2）3

32

【解析】 【分析】

()1设点P 的坐标，运用点到直线距离求出最小值时的结果

()2设()()1122A x y B x y ，，，结合已知焦点F 是ABP ?的重心计算出直线m ，求出点到直线的距离为

高，从而计算出面积 【详解】

(1)设点P 的坐标为()00,x y ，则2

004x y =，所以，点P 到直线l 的距离：

()

20

2

00002

24

2

4

22

2

2

42

x x x x y d ++++++=

=

=

≥

，得当且仅当02x =-时取最小值，此时P 点坐标为()2,1-.

(2)抛物线C 的焦点F 的坐标为()0,1，设线段AB 的中点为()00,Q x y ，由三角形重心的性质知

2PF FQ =，又()2,1P -，所以()()002,02,1x y =-，古得001,1x y ==，即Q 的坐标为()1,1，设

()()1122,,,A x y B x y ，则122x x +=，且2114x y =，2224x y =，以上两式相减得

()()()1212124x x x x y y -+=-，所以1212121

42AB y y x x k x x -+=

==-，故直线m 的方程为()1112

y x -=-，

经检验，符合题意， 即直线m 的方程为：11

22

y x =

+，联立抛物线2:4C x y =得2220x x --=， 所以()()2

2

2

121215AB x x y y =-+-=，且点P 到直线m 的距离为

221

5

5

--+=

， 所以ABP ?的面积为1315322

5S =??=. 【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，在计算过程中需要运用点到直线的距离公式计算点线距的最小值及

三角形面积时的高，本题较为综合 21．（1）（2）见证明

【解析】 【分析】

（1）先由题意得到，再由

，结合椭圆的定义，即可得出结

果；

（2）先设直线的方程为，由直线与相切，得到的关系式，再设

，联立直线与椭圆方程，只需验证

即可证明结论成立.

【详解】

解：（1）圆的圆心为

，半径

，

连接

，由已知得：，

由椭圆的定义知：点的轨迹是中心在原点，以为焦点，长轴长为的椭圆

即

点的轨迹方程为.

（2）设直线

的方程为

，

与

相切，

，即

设

，

联立代入消元得：，

，,代入（*）式得

又

以

为直径的圆恒过定点.

【点睛】

本题主要考查椭圆的定义、椭圆方程、以及直线与椭圆位置关系，熟记椭圆的定义与标准方程，以及椭圆的简单性即可，属于常考题型. 22．（1）2

2

c e a ==

（2）22【解析】

试题分析：（1）由椭圆C 的方程可以求椭圆C 的离心率（2）设椭圆C 的椭圆方程，结合OA OB ⊥，得出结果.

（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22

142

x y +=，

所以22

4,2a b ==，从而2222c a b =-=，

因此2,2a c ==，故椭圆C 的离心率2

2

c e a =

=

. （2）设点A ，B 的坐标分别为00(,2),(,)t x y ，其中00x ≠，

因为OA OB ⊥，所以0OA OB u u u r u u u r ?=，即00

20tx y +=，解得00

2y t x

=-，又22

0024x y +=， 所以2

2

2

00||()(2)AB x t y =-+-=2200002()(2)y x y x ++-=222

00020

44y x y x +++ =222

0002042(4)42x x x x --+++=22

002

84(04)2x x x ++<≤， 因为

220020

8

4(04)2x x x +≥<≤，且当204x =时间等号成立，所以2||8AB ≥， 故线段AB 长度的最小值为22.

考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

高考模拟数学试卷

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）已知集合11,2,2A ?

?=???

?，{}

2,B y y x x A ==∈，则A B =I

（A ）12??

????

（B ）{}2 （C ）{}1 （D ）?

（2）在复平面内，复数2i

12i

z =

-+的共轭复数的虚部为 （A ）25- （B ）25 （C ）25i （D ）2

5

-i

（3）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1，2，…1000．适当分组后

在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8，抽到的50人中，编号落入区间[]1400，的人做问卷A ，编号落入区间[]401750，

的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽

到的人中，做问卷C 的人数为 （A ）12 （B ）13

（C ）14

（D ）15

（4）在等差数列{}n a 中，首项10a =，公差0d ≠，若

1237k a a a a a =++++L ，则k =

（A ）22 （B ）23

（C ）24 （D ）25

（5）执行如图所示的程序框图，输出的T ＝

（A ）29 （B ）44

（C ）52 （D ）62

（6）已知直线,m n 和平面α，则m ∥n 的必要不充分条件是

（A ）直线,m n 和平面α成等角 （B ）m α⊥且n α⊥ （C ）m ∥α且n α? （D ）m ∥α且n ∥α （7）将函数()y f x =的图像向右平移

2

π

个单位得到函数cos2y x =的图像，再将函数()y f x =的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，则()g x = （A ）sin 4x - （B ）cos4x （C ）sin x （D ）cos x - （8）已知函数(2),2

()1()1,22

≥x a x x f x x -??

=?-

成立，则实数a 的取值范围为 （A ）()2-∞，

（B ）13

]8

∞(-，

（C ）(]2-∞，

（D ）13

[2)8

，

（9）已知3(,2)2

π

βπ∈，满足()tan 2tan 0αββ+-=，则tan α的最小值是 （A

（B

） （C

） （D

（10）已知11a =，131

n

n n a a a +=+，则数列{}n a 的通项为n a =

（A ）

121n - （B ）21n - （C ）1

32

n - （D ）32n - （11）变量,x y 满足线性约束条件320,

2,1,x y y x y x +-??

-??--?

≤≤≥目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值

范围是 （A ）3k <-

（B ）1k >

（C ）31k -<<

（D ）11k -<<

（12）对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表： {}

n x 满

数列11x =，且

足：

对于任意n *∈N ，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++???+=

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y

3

7

5

9

6

1

8

2

4

（A ）7539 （B ） 7546 （C ）7549 （D ）7554

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）若双曲线22

221y x a b

-=的离心率为3，则其渐近线方程为 ．

（14）经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ．

（15）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体

积是 ．

（16）在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆

()2220x y r r +=>交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足

5344

，则OC OA OB r =+=uuu r uu r uu u r

．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分）

在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c ．已知2BA BC ?=u u u r u u u r

，tan 22B =，3b =．

（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求cos()B C -的值．

（18）（本小题满分12分）

为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表：平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖．

排队人数 0 1 2 3 4 ≥5 概率

0.1

0.16

0.3

0.3

0.1

0.04

常喝 不常喝 合计 肥胖 2 不肥胖

18

已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415

． （Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；

（Ⅱ）是否有99.5％的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；

（Ⅲ）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的

概率是多少？ 参考数据：

（参考公式：22

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）

（19）（本小题满分12分）

如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，1,,,

,AA AB AC AB AC M N Q ==⊥ 分别是1,,CC BC AC 的中点，点P 在线段11A B 上运动． （Ⅰ）证明：无论点P 在线段11A B 上的任何位置，

总有AM ⊥平面PNQ ；

（Ⅱ）若1AC =，试求三棱锥P MNQ -的体积．

（20）（本小题满分12分）

已知以C 为圆心的动圆过定点()30，

A -，且与圆()2

2:364B x y -+=（B 为圆心）相切，点C 的轨迹为曲线T ．设Q 为曲线T 上（不在x 轴上）的动点，过点A 作OQ （O 为坐标原点）的平行线交曲线T 于M ，N 两点．

（Ⅰ）求曲线T 的方程；

A 1

B 1

C 1 A

B

C

N

M Q

P

（Ⅱ）是否存在常数λ，使2

AM AN OQ λ?=u u u r u u u r u u u r 总成立？若存在，求λ；若不存在，请说明理由．

（21）（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x ax =-在2x =处的切线l 与直线230x y +-=平行． （Ⅰ）求实数a 的值；

（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x m x x +=-在1

[,2]2

上恰有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；

（Ⅲ）记函数2

1()()2

g x f x x bx =+

-，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32≥b ，且

12()()≥g x g x k -恒成立，求实数k 的最大值．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆O 的两弦AB 和CD 相交于点E ，FG 是圆O 的切线， G 为切点，EF ＝FG ． 求证：（Ⅰ）DEF EAD ∠=∠；

（Ⅱ）EF ∥CB ．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆1C ：ρ＝4 cos θ 与直线l ：θ＝π

4 (ρ∈R)交于A ，B 两点．

（Ⅰ）求以AB 为直径的圆2C 的极坐标方程；

（Ⅱ）在圆1C 上任取一点M ，在圆2C 上任取一点N ，求线段MN 的最大值．

（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a =--+∈R ． （Ⅰ）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；

（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()4≤f x ，求a 的取值范围．

数学（文）答案

· A

B

C

D

E

O F G

一选择题：

二、填空题：

（13）2y x =± （14）0.74 （15）22

3

（16三、解答题

（17）【解】（Ⅰ）由tan B =得：1

cos 3

B =，

由2BA BC ?=u u u r u u u r

得cos 2ac B =，所以6ac =，

由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即22

293

a c ac +-=，

∵a c >，∴3,2a c ==．

（Ⅱ）sin 3B =

，由正弦定理得sin 9C =，∴7cos 9C =，23

cos()27

B C -=． （18）【解】（Ⅰ）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x 人，x ＝6

（Ⅱ）由已知数据可求得：2≈8.522＞7.879

因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．

（Ⅲ）设常喝碳酸饮料的肥胖者男生为A 、B 、C 、D ，女生为E 、F ，则任取两人有AB ，AC ，AD ，

AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，共15种．其中一男一女有AE ，AF ，BE ，BF ，CE ，CF ，DE ，DF ．抽出一男一女的概率是

8

15

． （19）【解】（Ⅰ）连接1A Q ．

∵1AA AC =，,M Q 分别是1,CC AC 的中点，∴△AA 1Q ≌△CAM ，∴1MAC QA A ∠=∠ ∴11190MAC AQA QA A AQA ∠+∠=∠+∠=?即AM ⊥1A Q ……① ∵,N Q 分别是,BC AC 的中点，∴NQ ∥AB ， 又AB ⊥AC ，所以NQ ⊥AC ， 在直三棱柱中，1AA ⊥面ABC ，

∴NQ ⊥1AA ，又1AC AA A =I ，所以NQ ⊥平面11ACC A ， ∴NQ ⊥AM ……②，由①②及1

NQ AQ Q =I 得AM ⊥平面PNQ ．

（Ⅱ）设P 点到平面MNQ 的距离为h ，由11A B ∥AB ∥NQ 可得11A B ∥平面MNQ ，

∴动点P 到平面MNQ 的距离为定值，

由11P MNQ A MNQ N A MQ V V V ---==,得11

3

P MNQ A MQ V S NQ -?=?．

131,,82

A MQ S NQ ?==1

16P MNQ V -=

（20）【解】（Ⅰ）∵(3,0)A -在圆B 的内部，∴两圆相内切，所以8BC AC =-， 即8BC AC AB +=>．

∴C 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且长轴长28a =，4a =，3c =，

2

1697b =-=∴曲线T 的方程为：22

1167

x y +=.

（Ⅱ）当直线MN 斜率不存在时，74

AN AM ==u u u r u u u u r ，27OQ =u u u

r ．

∴||||cos 7AM AN AM AN πλ?=??=u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则7

16

λ=-；

当直线MN 斜率存在时，设),(11y x M ，),(22y x N ，MN (3)y k x =+，则OQ y kx =， 由22716112,(3),

x y y k x ?+=?=+?得2222(716)961441120k x k x k +++-=， 则2

2

2116796k k x x +-=+，2221167112144k k x x +-=?，

∴()()[]()[]2

2

21212

212

21167499333k

k x x x x k x x k y y +-=+++=++=. ()()212122

49(1)

33716k AM AN x x y y k -+?=+++=+u u u u r u u u r 由22716112 x y y kx ?+=?=?

得222716112x k x +=，则22

112716x k =+， ∴2222222

112(1)(1)716k OQ x y k x k +=+=+=+u u u r ，由2AM AN OQ λ?=u u u u r u u u r u u u r 可解得716λ=-. 综上，存在常数λ=7

16

-，使2AM AN OQ λ?=u u u u r u u u r u u u r 总成立．

21．【解】（Ⅰ）1

()f x a x

'=

- ， ∵函数在x ＝2处的切线l 与直线x ＋2y －3＝0平行， ∴11

22

k a =

-=-，解得a ＝1 （Ⅱ）由（1）得f （x ）＝lnx －x ，∴f(x)＋m ＝2x －x 2，即x 2－3x ＋lnx ＋m ＝0，

法1：设h(x)＝x 2－3x ＋lnx ＋m ，（x ＞0）

则h′(x)＝2x －3＋1

x

＝2231(21)(1)x x x x x x -+--=

， 令h′(x)＝0，得x 1＝1

，x 2＝1，列表得：

∴当x ＝1时，h(x)的极小值为h(1)＝m －2， 又h(

12)＝5

ln 24

m --，h(2)＝m －2＋ln2， ∵方程f(x)＋m ＝2x －x 2在1

[,2]2上恰有两个不相等的实数根，

∴(1)0(2)1()02h h h ??

204

m m m ??-

ln 224≤m +<

法2：∴f(x)＋m ＝2x －x 2，即m ＝－x 2+3x －lnx ，1

[,2]2

x ∈ 法1：设h(x)＝－x 2+3x －lnx ，1[,1]2

x ∈，

则h′(x)＝－2x+3－1

x

＝2231(21)(1)x x x x x x -+----=

， 令h′(x)＝0，得x 1＝

1

，x 2＝1，列表得：

∴当x ＝1时，h(x)的极大值为h(1)＝2， 又h(

12)＝5

ln24+，h(2)＝2－ln2，h(12)－h(2)＝2ln2－34

>0，h(12)>h(2)

∵方程f(x)＋m ＝2x －x 2在1[,2]2

上恰有两个不相等的实数根，5

ln 224m ∴+<≤

（Ⅲ）∵2

1()ln (1)2

g x x x b x =+-+，∴21(1)1()(1)x b x g x x b x x -++'=+-+=，

由()0g x '=得2(1)10x b x -++=∴12121,1x x b x x +=+=，

∴211x x =，又32≥b ，∴11

1

11521

0≥x x x x ?

+????<

解得：1102≤x <

∴222122*********

111()()ln

()(1)()2ln ()22x g x g x x x b x x x x x x -=+--+-=--，

22111

()2ln ()(0)

22 ≤F x x x x x =--<

则2233

21(1)()0x F x x x x x --'=--=<，∴F （x ）在1

(0,]2上单调递减； ∴当112x =时，min 115()()2ln 228F x F ==-，∴15

2ln 28

≤k -

∴k 的最大值为

15

2ln 28

-． 22．【解】（Ⅰ）由切割线定理得2FG FA FD =?．

又EF FG =，所以2EF FA FD =?，即

EF FD

FA EF

=

． 因为EFA DFE ∠=∠，所以△FED ∽△EAF ， 所以DEF EAD ∠=∠．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得DEF EAD ∠=∠，因为FAE DAB DCB ∠=∠=∠，

所以FED BCD ∠=∠，所以EF ∥CB ．

23．【解】（Ⅰ） 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系， 则由题意，得圆1C 的直角坐标方程 x 2＋y 2－4x ＝0，

直线l 的直角坐标方程 y ＝x ．

由???x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ， 解得???x ＝0，y ＝0，或 ???x ＝2，

y ＝2．

所以A(0，0)，B(2，2)．

从而圆2C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ． 将其化为极坐标方程为：ρ2－2ρ(cos θ＋sin θ)＝0，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．

（Ⅱ）∵1122(2,0),2,(1,1),C r C r ==

∴ 12||||22MN C C =++=最大值．

24．【解】（Ⅰ）当1a =-时，不等式为131≤x x +-+

当3≤x -，不等式转化为(1)(3)1≤x x -+++，不等式解集为空集； 当31x -<<-，不等式转化为(1)(3)1≤x x +++，解之得512

≤x -<-；

当1≥x -时，不等式转化为(1)(3)1≤x x +-+，恒成立； 综上不等式的解集为5

[,)2

-+∞.

（Ⅱ）若[0,3]x ∈时，()4≤f x 恒成立，即||7x a x -+≤，亦即77a x -+≤≤2恒成立，

又因为[0,3]x ∈，所以77≤≤a -，所以a 的取值范围为[7,7]-.

高考模拟数学试卷

(满分160分，考试时间120分钟)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．

1. 已知集合M ＝{－2，－1，0}，N ＝??????

???

?x ???????12x >2，则M ∩N ＝________．

2. 已知i 是虚数单位，且复数z 满足(1＋i)z ＝2，则||z ＝________．

3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是________． Read x If x ≥0 Then y ←sin x Else y ←x 2－1 End If

5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值y 为3，则输入值x 为________．

6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为a ，乙抽出的卡片上的数字记为b ，则a 与b 的积为奇数的概率为________．

7. 若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________． 8. 已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________．

9. 已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，则该双曲线的离心率为

________．

10. 已知直线l ：y ＝－x ＋4与圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相交于P ，Q 两点，则CP →·CQ →

＝________. 11. 已知正实数x ，y 满足x ＋4y －xy ＝0，若x ＋y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 12. 设a ，b 是非零实数，且满足asin π7＋bcos

π

7acos π7－bsin

π7

＝tan 10π21，则b

a ＝________．

13. 已知函数f(x)＝a ＋3＋4

x －||x ＋a 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a 的

值为________．

14. 若存在正实数x ，y ，z 满足3y 2＋3z 2≤10yz ，且ln x －ln z ＝ey z ，则x

y 的最小值为________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)

已知函数f(x)＝cos 2x ＋23sin xcos x －sin 2x ，x ∈R. (1) 求函数f(x)的单调增区间；

(2) 求方程f(x)＝0在(0，π]上的所有解．

16. (本小题满分14分)

如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为矩形，平面AA 1B 1B ⊥平面ABC ，E ，F 分别是侧面AA 1B 1B ，BB 1C 1C 对角线的交点．求证：

(1) EF ∥平面ABC ； (2) BB 1⊥AC.

17. (本小题满分14分)

为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ，其中AB ＝3百米，AD ＝5百米，且△BCD 是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD(路的宽度忽略不计)，设∠BAD ＝

θ，θ∈

???

?π2，π. (1) 当cos θ＝－

5

5

时，求小路AC 的长度； (2) 当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度．

18. (本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆M ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的离心率

为

1

2

，左、右顶点分别为A 、B ，线段AB 的长为4.点P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C.

(1) 若点C 的横坐标为－1，求点P 的坐标；

(2) 直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC →＝λAQ →

，求λ的取值范围．