传染病的传播及控制分析数学建模

传染病的传播

及控制分析

摘要 为进一步探索传染病的传播和流行规律及其与防治措施的关系，本文通过建立传染病的传播模型，了解传染病的扩散传播规律，为预测和控制传染病提供可靠、足够的信息。

本文针对该问题建立了SEIR 微分方程模型，对病毒的传播过程进行了模拟分析，得出了患者人数随时间的变化规律。我们将人群分为五类：患者、疑似患者、正常人、治愈者和死亡者。前三者作为传染系统。我们认为治愈者获得终身免疫，和死亡者一样移出传染系统，即后两者合并为移出者。 本模型将病毒的传染与扩散分为两个部分：控制前和控制后。在控制前，相当于没有对病毒扩散做任何限制，患者数量短时间内大量增长，并以死亡的形式退出传染系统；在控制后，由于对潜伏者进行了一定强度的隔离，与此同时，确诊患者得到有效的治疗，使得传染源数量减少，患者平均每天接触的人数减少，治愈者增多，并作为主要的移出者移出传染系统。

在模型建立的基础上，通过Matlab 软件拟合出患者人数随时间变化的曲线关系图，得到如下结果：控制前，患者人数呈指数增长趋势；控制后，在=0.4p 时，患者人数大致在7天时到达最大值，在25天时基本没有患者；在=0.3p 时，患者人数大概在第8天到达最大值186383，大概在28天之后基本没有患者；在=0.6p 时，大概在第5天患者人数到达峰值为47391，在21天时基本没有患者。综上分析，对隔离强度的处理是控制传染病的一个重要手段。针对所得结果，对H7N9的传播控制时提出了医院、政府和个人应有的一些控制措施。

关键词：隔离强度潜伏期SEIR 模型

一、问题重述：

2013年中，H7N9是网上的热点，尤其是其高致死率，引起了人们的恐慌，最近又有研究显示，H7N9有变异的可能。假设已知有一种未知的现病毒[1]潜伏期为12a a :天，患病者的治愈时间为3a 天，假设该病毒可以通过人与人之间的直接接触进行传播，患者每天接触的人数为r ，因接触被感染的概率为λ(λ为感染率)。为了控制疾病的传播与扩散，将人群分成五类，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。潜伏期内的患者被隔离的强度为p （为潜伏期内患者被隔离的百分数）。

在合理的假设下建立该病毒扩散与传播的控制模型，利用所给数据值生成患者人数随时间变化的曲线，增强或者减弱疑似患者的隔离强度，比较患者人数发生的变化，并分析结果的合理性。最后结合该模型的数据对控制H7N9的传播做出一些科学的建议。

二、问题假设：

1、假设单位时间内感染病毒的人数与现有的感染者成比例；

2、假设单位时间内治愈人数与现有感染者成比例；

3、假设单位时间内死亡人数与现有的感染者成比例；

4、假设患者治愈恢复后不会再被感染同种病毒，有很强的免疫能力，即被移除出此传染系统；

5、假设正常人被传染后，进入一段时间的潜伏期，处于潜伏期的人群不会表现症状，不可传染健康人，不具有传染性；

6、假设患者入院即表示患者被隔离治疗，被视为无法跟别人接触，故不会传染健康人；

7、假设实际治愈周期过后，如果患者没有治愈，则认为患者死亡，即实际治愈周期过后，患者都被移出此感染系统；

8、假设考察地区内疾病传播期间忽略人口的出生，死亡，流动等种群动力因素对总人数的影响。即：总人口数不变，记为N ；

三、符号说明：

符号

解释说明 S(t)

t 时刻正常人（易受感染）人数 E(t) t 时刻疑似患者的人数

Q(t)

t 时刻处于潜伏期的人数 I(t)

t 时刻确诊患者的人数 R(t)

t 时刻退出传染系统的人数（包括治愈者和死亡者） β1

潜伏期的人数中转化为确诊患病的人数占潜伏期人数的比例 β2

每日退出传染系统的人数比例 a 3 确诊患者的治愈时间

患者的人均日接触人数

因接触被感染的概率

潜伏期内的患者被隔离的强度 四、问题分析：

根据题意，这是一个传染性病毒随着时间演变的过程，需要研究传染病在传播过程中各类人群的人数变化，特别是通过研究患者和疑似患者的人数变化，预测传染病的传染的高峰期和持续时间长度，从而我们可以采取相应隔离措施达到控制传染病传播的效果。

我们要分析、预测、研究它就得建立动态模型，查阅相关资料可知，关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程模型最具代表性，因题目中把人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人，所以我们采用微分方程中的SIER 模型，将死亡者和治愈者都归于系统移出者统称为恢复人群。在此基础上，我们找出单位时间内这五类人群人数的变化来建立微分方程，得出模型。再利用matlab 编程画出图形，改变其隔离强度后重新作图进行比较，对结果进行分析，并利用此模型对控制H7N9的传播做出建议。

五、模型的建立和求解：

5.1传染病模型的准备

不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，因此我们不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按一般的传播机理建立模型。

查阅相关资料可知，目前关于传染病的模型已有不少，其中以微分方程建立的模型比较具有代表性，模型复杂程度有区别，故适合的情形也不同，包括I 模型、SI 模型、SIR 模型、SEIR 模型等[2]。

I 模型是最简单的模型，从已感染人数和有效接触率出发构建模型，但未区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)，结果发现，随着时间增加，病人人数会无限增长，这显然不符合实际；SI 模型是I 模型的改进模型，它区分了已感染者和未感染者，但是该模型没有考虑到病人可以治愈，导致人群中的健康者只能变成病人，病人不能变成健康者，这也是不符合实际的；在考虑病人治愈后有较强免疫力的情况下，SIR 模型对SI 模型进行了改进，即增加了移除者（包括死亡者和治愈者），但在实际情况下，传染病会出现疑似患者，故需要考虑隔离的情况。SEIR 模型[3]-[4]对SIR 模型进行了改进，增加了疑似患者，考虑到了隔离强度，故我们选择SEIR 模型进行此次建模。 根据题目所给的条件，人群分为五类：确诊患者、疑似患者、治愈者、死亡和正常人。根据SEIR 模型重新归类，得到以下结果：

（1）健康人群，即易感染（Susceptibles ）人群。记其数量为S(t)，表示t 时刻未感染病但有可能感染该疾病的人数；

（2）确诊患者，即被感染（Infection ）该疾病的人群，记其数量为I(t)，表示t 时刻已经确诊为患者入院的人数；

（3）疑似病患，即被入院隔离的人群，包括一部分正常人一部分处于潜伏期的感染者，记其数量为E(t)，表示t 时刻可能感染该疾病的入院被隔离的人数；

（4）潜伏期感染者，即已感染病毒但处于潜伏期的人群，记起数量为Q(t)表示t 时刻已经感染病毒但没有表现症状即处在潜伏期的人数。

（5）恢复人群（Recovered ），记其数量为R(t)，表示t 时刻已从感染病者中移出的人数，包括死亡者和治愈者，这部分人数既不是已感染者，也不是非感染者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已经推出了传染系统。

该传染病的传播流程图如下：

图1传染病传播流程图

5.2传染病模型的建立[5]

传播过程中每一个群体都处于动态的变化中。对S 来说，一部分未被隔离的潜伏期感染者能感染正常人，使其成为潜伏期感染者流出S ；对于E 来说，流入者包括一部分潜伏期的感染者和一部分正常人，流出者包括一部分没有被感染的正常人和隔离后被确诊患者；对于I 来说，它既有从包括隔离和未被隔离的H 中确诊的流入者，也有已经治愈的流出者；对于R 来说，它只有从I 中治愈转化而来的流入者。以上过程在传染的每一时刻都是相同的。为此我们可将时间假定的非常小，在某一时刻对S 、E 、I 、R 取其对时间的微分，这样既可建立传染病控制模型的微分方程组如下：

1、控制前阶段：

前两天，患者没有住院，疑似患者没有被隔离，患者可以随意接触和感染正常人。分析控制前t V 阶段时间内，疫情的发展与变化。

（1）正常人-----疑似患者：

控制前阶段病人尚未被隔离，所以疫情发展比较迅速，此时病人人均每天接触r 个正常人，假设t 时刻病人人数为()I t ，则新增疑似患者人数为E ?，()()E I t r t r I t t ?=???=???。

（2）疑似患者-----潜伏期：

疑似患者中包括病毒携带者和非病毒携带者，病毒携带者会进入潜伏期，而非病毒携带者最终还是正常人。

设疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例为λ，假设t 时刻疑似患者人数为()E t ，潜伏期患者人数为()Q t ，则()()Q t E t λ=?，故新增潜伏期人数为Q E λ?=??。

（3）潜伏期-----确诊患者：

因为每日潜伏期病人变为确诊患者的数量呈指数增长，用1β表示这一特性。那么新增确诊患者人数为()1I Q t t β?=???，现在要确定1β，如果潜伏期天数为1a 到2a ，假设其变化到了一个稳定阶段，那么随着天数的增加潜伏期的病人越来越多，其概率分布呈指数稳步增长，则每天有()()21111/t a a e ----概率的人变为猪流感患者，即()()121111/e t a a β-=---。所以新增患者人数：()()()

21111/e t I a a Q t -?=---????。

（4）确诊患者-----治愈、死亡：

设T 为退出系统人数（治愈者和死亡者），如果治愈天数设为3a ，那么3a 天后病人要么死亡要么被治愈，而被治愈的人产生抗体，不再会被传染，所以被治愈的人和死亡的人都算作退出系统的人。设系统退出率为3a ，则有退出人数()2T I t t β?=???。2β的求解方法与1β相同，即随着天数的增加退出传染系统的人数也越来越多，则()23111/t a e β-=--?。故新退出传染系统的人数()()311/e t T a I t t -?=-???。

根据上述:（1）（4）的式子可进一步得出：

所以得出以下：

2、控制后阶段：

两天之后，患者全部住院，疑似患者全部被隔离，剩下一部分未被隔离的感染者变成患者后可以接触和感染正常人。分析控制后阶段t ?时间内，疫情的发展与变化。

（1）正常人-----疑似患者：

控制后阶段，病人开始被隔离，所以疫情发展开始变慢，并受隔离强度p 影响，此时病人每天接触的()'E r I t ?=???正常人数目'r 也在变小，假设病人的数目为()I t ，则疑似患者数目。又因为

接触率'r 与隔离强度p 有关，也呈指数分布，所以'pt r r e -=?，故新增疑似患者的数目

()pt E r e I t t -?=????。

（2）疑似患者-----潜伏期：

控制后阶段，疑似患者中病毒携带者占疑似患者的比例λ不会改变。假设t 时刻疑似患者人数为()E t ，潜伏期患者人数为()()Q t E t u =?，故新增潜伏期人数为Q E u ?=??。

（3）潜伏期-----确诊患者：

潜伏期患者变为确诊患者的过程与控制前时刻相同，所以新增患者人数

()()()21111/e t I a a Q t -?=---?????。

（4）确诊患者-----治愈者、死亡者：

同样退出传染系统的人数不变，则新增退出传染系统的人数()()311/e t T a I t t -?=-???。

根据上述:（1）（4）可进一步求得出：

()()()()()()

()()()21111/e (1(1(1/3))t t I t t I t a a Q t t a e I t t --+?-=---????---????整理后得：

5.3传染病模型的求解：

1、控制前：

通过对模型的推导，我们发现不能给出每个函数的解析解，因此考虑利用Matlab 中的ode 系列函数进行求解。

首先，对传染病模型进行标准化，再带入参数，并由此建立微分方程组函数文件，随后用ode 函数对该文件进行调用，即可得到微分方程组的解向量，然后利用plot 函数画出此解向量即可得到各类人群岁时间变化的曲线图。

控制前患者人数随时间变化的关系如下图所示： 图2控制前患者的人数随时间的变化

由上图可以看出控制前还未采取任何措施时，患者的人数迅速增加，类似于指数型增长曲线。这是由于在开始的两天，患者两天后才入院，疑似患者两天后才被隔离缺乏。一方面，他们将病原体迅速地传染给了健康人；另一方面，他们由于缺乏治疗，无法被治愈。当时，患者的数量越来越多，增长速度越来越快。基本符合实际情况，可见模型的合理性。

2、控制后：

（1）当0.4p =隔离强度时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：

图3控制后0.4p =时患者人数随时间的变化

由上图分析可知，两天后，对患者进行入院隔离，对疑似患者进行部分隔离，使得新进入潜伏期的人数在减少。因此，由于时间的延迟，患者人数的迅速增长，并在接下来的几天内达到峰值，随后逐渐下降最后平缓的趋于零。患者人数在增长趋于缓慢的几天后到达一个峰值。我们求得当隔离率为p=0.4时，患者人数大致在7天时到达最大值93701，在25天时基本没有患者。

（2）改变隔离强度=0.3p 为时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：

图4控制后=0.3

p时患者人数随时间的变化

由上图分析可知，当p=0.3时，即隔离强度有所下降时，患者人数在前8天属于迅速增长趋势，但增长趋势慢慢减缓。大概在第8天，患者人数到达最大值186383，其后由于大量的患者被治愈且受感染的人数越来越少，导致患者人数显着下降，大概在28天之后基本没有患者。

（3）改变隔离强度=0.6

p为时，患者人数随时间变化的关系如下图所示：

图5控制后=0.6

p时患者人数随时间的变化

由上图分析可知，当=0.6

p时，患者人数在前四天增长迅速，但由于隔离率很高，病情很快得到有效的控制，使增长人数越来越少，在第5天患者人数到达峰值为47391，其后患者由于治愈人数越来越多，人数逐渐减少，在21天时基本没有患者。

3、控制前后模型总体：

上图皆为总体模型的分图，在进行总体分析时，可以进行进一步的表示。

为更直观的比较不同隔离强度引起的患者人数变化情况，我们作图6将不同强度的隔离强度情况相结合。同时，为了贴合题意，我们在图像上将控制前的两天和控制后的情况结合起来，得到总图如下所示：

图6患者人数随时间的变化

由上图分析可知，控制前，患者人数的增长速度远高于控制后患者人数的增长速度，说明实行疑似患者隔离政策对控制传染病传播的效果是很明显的；三条曲线比较可知，当隔离强度不同时，对患者人数最高峰出现的天数和传染病传播的持续时间（即患者全部痊愈没有再出现患者）有极大的影响。在隔离强度较小时，患者人数的最高峰出现时间靠后，传染病持续的传播时间较长；在隔离强度较大时，患者人数能较快的出现最高峰再较迅速的下降，因此传染病持续的时间比较短，更有利于传染病的控制。所以，在实际的传染病控制过程中，对传染病进行有效的控制，加大疑似患者隔离的强度是很有必要的。

六、模型评价：

优点：本模型中采用微分方程中的SEIR模型，对传染病传播做出合理假设，对人群进行了合理的分类，并对其进行数据拟合，得出传染病传播过程中，各类人群的人数发展趋势，采用数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识，再用特殊点进行理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。比较全面地达到了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律,可以有效预报传染病高潮到来的时刻和传染病将持续的时期，对群众接受传染病的预防知识起到很好的警示作用。通过这些数据，政府可以更好的探索制止蔓延的手段和措施。

缺点：所建立的模型中，没有考虑不同年龄段病毒的抵抗力不同，且将治愈者和死亡者当作一类人进行了处理，题目只给出了患者治愈所需的天数，没有给出患者死亡的概率，于是我们暂且认为其患者住院达到治愈天数时即被移出系统，可能是治愈也可能是死亡。其所得的结果存在一定的误差，只能粗略的反应此传染病的传播情况。要准确反映，需对模型进行进一步的改进。

七、模型应用：

根据建立的SEIR模型和计算所得的数据，我们发现，人群接触的人数r值越大，正常人被感染的几率越大，疫情扩散得越快，因此在疫情期间，应减少公共活动，降低病毒的传播率；通过改变隔

离强大的大小后比较可知，p值越小病情越难控制，所以要保证患者能及时住院治疗，从而遏制病毒的扩散；综上所述，结合实际情况我们可以对控制H7N9传播提供一些建议：医院方面：医院应提高医院的医疗水平和卫生水平，提高医疗工作人员的工作效率，加强医院的合理化管理，加大对感染者的隔离力度，这样有助于传染病的治疗和控制工作有序的展开：（1）根据人感染H7N9禽流感的流行病学特点，针对传染源、传播途径和易感人群，结合实际情况，建立预警机制，制定应急预案和工作流程。

（2）医院应当规范消毒、隔离和防护工作，为医务人员提供充足、必要、符合要求的消毒和防护用品，确保消毒、隔离和个人防护等措施落实到位，并加大隔离疑似病患的力度，这有利于传染病的快速控制。

政府方面：应具有敏锐的警觉性，在传染病开始广泛传播之前，应迅速采取一定的方法进行控制：（1）根据H7N9病毒的特点，加强医院、学校、家禽养殖厂、活禽市场等这些重点区域的疫情防控，确保一旦发生疫情能及时应对和有效控制。

（2）应对地方医疗保障措施进行完善，防止患者不能及时就医的情况出现，增加传染病蔓延的趋势。

（3）一方面应加大传染病的宣传力度，使公众对传染病有一定的警觉和预防意识；另一方面应进行科学的引导，不造成公众的恐慌心理，日常生活不受影响。

个人方面：应加强对传染病的认识，提高自身的科学知识，不盲从，不恐慌，以正确的态度进行预防：

（1）保持良好的个人卫生习惯，减少与家禽类的直接接触，减少去禽流感疫区。

（2）加强体育锻炼，注意补充营养，保证充足的睡眠和休息，增强抵抗力。

（3）不要轻视重感冒，禽流感的病症与其他流行性感冒病症相似，如发烧、头痛、咳嗽及喉咙痛等，在某些情况下，会引起并发症，导致患者死亡。因此，若出现发热、头痛、鼻塞、咳嗽、全身不适等呼吸道症状时，应戴上口罩，尽快到医院就诊，并务必告诉医生自己发病前是否与病禽类接触等情况，并在医生指导下治疗和用药。

八、参考文献：

[1]张彤.一类具潜伏期和非线性饱和接触率的流行病模型[J],浙江工程学院学

报,2004,21(2):136-140.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.高等教育出版社，2003.135-144

[3]AndersonRM,MayRM.Infectiondiseasesofhumans:dynamicsandcontrol.OxfordUnivpress,Oxfo rd,1991.

[4]张娟.马知恩各仓室均有常数输入的SEIR流行病模型的全局分析

2003(06).

[5]PagillaPR.Robustdecentralizedcontroloflarge-scaleinterconnectedsystems:generalinte rconnections[C]//ProceedingsoftheAmericanControlConference,SanDiego,California,1999:4 527-4531.

九、附录：

附录一：程序

function dy=ill1(t,y)

a1=1;a2=10;a3=30;r=10;c=0.5;

dy=zeros(2,1);

dy(1)=(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y(2)-(1-(1-1/a3)*exp(-t))*y(1);

dy(2)=c*y(1)*r-(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y(2);

function dy=ill2(t,y)

a1=1;a2=10;a3=30;r=10;c=0.5;p=0.4;

dy=zeros(2,1);

dy(1)=(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y(2)-(1-(1-1/a3)*exp(-t))*y(1); dy(2)=c*y(1)*r*exp(-p*t)-(1-(1-1/(a2-a1))*exp(-t))*y(2);

[T1,Y1]=ode45('ill1',[0,2],[900,1050]);

a(1)=Y1(end,1);a(2)=Y1(end,2);

[T2,Y2]=ode45('ill2',[0,30],a);

plot(T1,Y1(:,1),'r',T2+2,Y2(:,1))

xlabel('时间/天'),ylabel('患者/人')

title('患者随人数变化')

hold on

[y_max,i_max]=max(Y2(:,1));

x_text=['t=',num2str(T2(i_max)+2)];

y_text=['ymax=',num2str(y_max)];

max_text=char('maxp=0.4',x_text,y_text);

plot(T2(i_max)+2,y_max,'.')

text(T2(i_max)+3,y_max,max_text);