《数理统计》考试题及参考答案

《数理统计》考试题及参考答案

一、填空题（每小题3分，共15分）

1，设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2

(0,3)N ，而12

9(,,)X X X 和129(,,)Y Y Y 是分

别来自X 和Y

的样本，则U =

服从的分布是_______ .解：(9)t ．

2，设1?θ与2?θ都是总体未知参数θ的估计，且1?θ比2?θ有效，则1?θ与2?θ的期望与方差满足_______ .

解：1212

????()(), ()()E E D D θθθθ=<． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___.解：秩和检验、游程总数检验．

4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性．

5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计是?β

=_______ .解：1?-''X Y β=()X X ． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1，设12(,,,)(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则

____D___ .

（A ）(0,1)nX

N ； （B ）22()nS n χ；

（C ）

(1)()n X

t n S

-； （D ）

2

122

(1)(1,1)n

i

i n X F n X

=--∑.

2，若总体2(,)X

N μσ，其中2σ已知，当置信度1α-保持不变时，如果样本容量n 增大，则μ的置

信区间____B___ .

（A ）长度变大； （B ）长度变小； （C ）长度不变； （D ）前述都有可能.

3，在假设检验中，分别用α，β表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n 一定时，下列说法中正确的是____C___ .

（A ）α减小时β也减小； （B ）α增大时β也增大； （C ）,αβ其中一个减小，另一个会增大； （D ）（A ）和（B ）同时成立.

4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .

（A ）T e A S S S =+； （B ）

22

(1)A

S r χσ

-；

（C ）

/(1)(1,)/()

A e S r F r n r S n r ----； （D ）A S 与e S 相互独立.

5，在一元回归分析中，判定系数定义为2

T

S R S =

回

，则___B____ . （A ）2R 接近0时回归效果显著； （B ）2R 接近1时回归效果显著； （C ）2R 接近∞时回归效果显著； （D ）前述都不对. 三、（本题10分）设总体21(,)X

N μσ、22(,)Y N μσ，112(,,

,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别

是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和2

2

X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明

12)(2)X Y t n n +-，其中22

2

1212(1)(1)2

X Y

n S n S S n n ω-+-=+-.

证明：易知

2

2

121

2

(,

)X Y

N n n σσμμ--+

，

(0,1)X Y U N =

．

由定理可知

2

2

112

(1)(1)X

n S n χσ

--，

2

2222

(1)(1)Y

n S n χσ

--．

由独立性和2

χ分布的可加性可得

2

2

212122

2

(1)(1)(2)X

Y

n S n S V n n χσ

σ

--=

+

+-．

由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得

12(2)X Y t n n =

+-．

四、（本题10分）已知总体X 的概率密度函数为1,

0(),0, x

e x

f x θ

θ-?>?=???

其它其中未知参数0θ>,

12(,,,)n X X X 为取自总体的一个样本，求θ的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量．

解：（1）()10

1

()x

v E X xf x dx xe dx θ

θθ

-

∞

∞

-∞

==

==?

?

，用111n

i i v X X n ===∑代替，所以

∑===

n

i i

X X

n

1

1?θ．

（2）1

1?()()()()n

i i E E X E X E X n θθ=====∑，所以该估计量是无偏估计．

五、（本题10分）设总体X 的概率密度函数为(;)(1),01f x x x θ

θθ=+<<，其中未知参数1θ>-，

12(,,

)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．

解：

1 (1)() , 01

() 0 , n

n i i i x x L θ

θθ=?+∏<

当01i x <<时，1

ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑，令

1ln ()ln 01n

i i d L n

x d θθθ==+=+∑，得 1

?1ln n

i

i n

x

θ

==--∑．

六、（本题10分）设总体X 的密度函数为e ,>0;

(;)0,

0,x x f x x λλλ-?=?≤? 未知参数0λ>，

12(,,

)n X X X 为总体的一个样本，证明X 是

1

λ

的一个UMVUE ． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

222211

()ln (;)I E f x E λλλλλ???-??=-=-= ????????

，

1

λ的的无偏估计方差的C-R 下界为

2

2212

2

1[()]11()nI n n λλλλλ

-??

??'??==． 另一方面

()1E X λ=， 21

V a r ()

X n λ=，

即X 得方差达到C-R 下界，故X 是1

λ

的UMVUE ．

七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为007.0=S 公斤, 试问：（1）在显著性水平05.0=α下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平0.025α=，结果会怎样？

参考数据: 023.19)9(2025.0=χ, 919.16)9(205.0=χ, 535.17)8(2025.0=χ, 507.15)8(2

05.0=χ．

解：（1）()()2

2

2202

1:0.005,

~8n S H σχχσ

-≤=，则应有：

()()222

0.050.05

80.005,(8)15.507P χχχ>=?=，

具体计算得：2

2

2

80.00715.6815.507,0.005

χ?==>所以拒绝假设0H ，即认为苹果重量标准差指标未达到要求．

（2）新设 2

0:0.005,H σ≤ 由2

22

0.025

2

80.00717.535,15.6817.535,0.005χ

χ?=?==< 则接受假设，

即可以认为苹果重量标准差指标达到要求．

八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，2

22~(,)Y μσ，22

1212, , , μμσσ未知，

112(,,

,)n X X X 和2

12(,,

,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2

122

σσ的置信度为1α-的置信区间.

解：设22

, X Y S S 分别表示总体X Y ，的样本方差，由抽样分布定理可知

2

2

112

1(1)(1)X

n S n χσ--，

2

22222

(1)(1)Y

n S n χσ--，

由F 分布的定义可得

2

112221

212222

21

222

(1)(1)(1,1)(1)(1)

X

X Y

Y n S n S F F n n n S

S n σ

σσσ--=

=----．

对于置信度1α-，查F 分布表找/212(1,1)F n n α--和1/212(1,1)F n n α---使得 []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-， 即

22222

121/2122/212//1(1,1)(1,1)X Y X Y S S S S P F n n F n n αασασ-??<<=- ?----??

，

所求222

1σσ的置信度为α-1的置信区间为 2222

1/212/212//, (1,1)

(1,1)X Y X Y S S S S F n n F n n αα-?? ?----??．

九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．

解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测．