计算方法复习题
计算方法复习题
一、判断正误
1．若73()1,f x x x =++则017
2,2,,2f ???????=0。
2．牛顿-柯特斯（Newton-Cotes ）数值求积公式∑?=-≈n
i i n i b
a x C f a
b dx x f 0
)()()()(，当n 为奇数时，至
少具有n 次代数精确度。
3．形如?∑=≈b
a n
i i i x f dx x f 1)()(ω的高斯（Gauss ）求积公式具有最高代数精度12+n 次。
4．若A 是n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使A ＝LU 成立。 5．对任意初始向量X )0(及右端向量g ，一般迭代过程g B X X +=+)()1(m m 收敛于方程组的精确解x *的充要条件是1)(
6.区间［a ,b ］上的三次样条插值函数S （x ）在［a ,b ］上具有直到三阶的连续导数。 7．对于迭代过程)(1x x k k ?=+，如果迭代函数)(x ?在所求根x *的邻近有连续的二阶导数，且
1)(0<'≠*x ?，则迭代过程为线性收敛。
8．区间［a ,b ］上的三次样条插值函数S （x ）在［a ,b ］上具有直到二阶的连续导数。 9．若A 是n 阶方阵，对足标i ＝1，2，…，n 均有∑≠=≥n
i j j ij ii a a 1，则解线性代数方程组b AX =的
高斯-赛德尔（G-S ）迭代法一定收敛。
10．为使两点的数值求积公式：)()()(11
10x x f f dx x f ?-+≈具有最高的代数精确度，则其求积节点应为3
3
,3321=
-=x x 。
二、选择
1．解非线性方程0)(=x f 的牛顿迭代法具有（ ）。
A. 线性收敛
B. 局部线性收敛
C. 平方收敛
D. 局部平方收敛 2
A. 二次
B. 三次
C. 四次
D. 五次 3．求解常微分方程初值问题的中点公式：
???
?
?
????
++==+=+)
21,21()
,(12121k y x k y x k k y y h h f f h n n n n n n 的局部截断误差为（ ）。
A. O （h ）
B. O （h 2）
C. O （h 3）
D. O （h 4）
4．若线性方程组b AX =的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则（ ）。
A. 可比迭代和高斯-赛德尔迭代都收敛
B. 可比迭代和高斯-赛德尔迭代都发散
C. 可比迭代收敛而高斯-赛德尔迭代发散
D. 可比迭代发散而高斯-赛德尔迭代收敛 5．已知)2,1(-=T
X ，???
?
??--=1 32 7A ，则=A 1( )。
A. 16
B. 26
C. 36
D. 46
6．对任意初始向量X )0(及右端向量g ，一般迭代过程g B X X +=+)()1(m m 收敛于方程组的精确解x *的充要条件是（ ）。
A. 11 B. 1<∞B C. 1)( D. 1 三、综合 1．在区间［-1,1］上取基函数x x x x x 2210)(,)(,1)(===???，求14)(3+=x x f 在［-1,1］上带权1)(=x ρ的最佳平方逼近多项式。 2．用迭代加速公式求方程x e x -=在x ＝0.5附近的根*x ，要求精度510-=ε。 3．已知函数)(x f y =的如下数据 求)(x f 的插值多项式)(x P 。 4．试构造Gauss 型求积公式 )()()()(2211001 1x f A x f A x f A dx x f ++≈?- 并由此计算积分（精确到10－4） 5．用牛顿法求115的近似值，要求精度610-=ε。 6．给定求积节点0113 ,44 x x ==，试推出计算积分()10f x dx ?的插值型求积公式，并写出它的截 断误差。 7．设有n 级方阵A ，若存在矩阵范数?，使得1 A A I -≤ --11 )(1 8．设A ，B 为n 阶矩阵，求证 )()()(B Cond A Cond AB Cond ?≤ 9．用三角分解法解 ??? ? ? ?????=????????????????????201814513252321321x x x 10．求一个形如2210x a x a a ++的最小二乘拟合公式，使它与下列数据相拟合。