微积分--课后习题答案
习题1—1解答 1． 设y x xy y x f +
=),(，求)
,(1),,(),1,1(),,(y x f y x xy f y x f y x f -- 解y
x
xy y x f +
=--),(；x xy y y x f y x y x xy f x y xy y x f +=+=+=222),(1;),(;1)1,1(
2． 设y x y x f ln ln ),(=，证明：),(),(),(),(),(v y f u y f v x f u x f uv xy f +++=
)
,(),(),(),(ln ln ln ln ln ln ln ln )ln )(ln ln (ln )ln()ln(),(v y f u y f v x f u x f v y u y v x u x v u y x uv xy uv xy f +++=?+?+?+?=++=?=
3． 求下列函数的定义域，并画出定义域的图形： （1）;11),(22-+-=y x y x f
（2）;)
1ln(4),(222y x y x y x f ---=
（3）;1),(22
2222c
z b y a x y x f ---=
（4）.1),,(2
2
2
z
y x z y x z y x f ---++=
解（1）
（2） （3） （4）
4（1）1
lim
y x →→（2）lim
1→→y x
（3）41
)42()42)(42(lim 42lim
000-=+++++-=+-→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x
（4）2)
sin(lim )sin(lim
202=?=→→→→x xy xy y xy y x y x
5．证明下列极限不存在：
（1）;lim 0
0y
x y x y x -+→→ （2）22
22200)(lim y x y x y x y x -+→→ （1）证明 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0( 则322lim lim
00
20-=-+=-+→→=→x x x
x y x y x x x y x ；
如果动点),(y x P 沿y x 2=趋向)0,0(，则33lim lim 00
20==-+→→=→y y
y x y x y y x y
所以极限不存在。
（2）证明 如果动点),(y x P 沿x y =趋向)0,0(
则1lim )(lim 44
022
2220
0==-+→→=→x x y x y x y x x x y x ； 如果动点),(y x P 沿x y 2=趋向)0,0(，则044lim )(lim 244
0222220
20=+=-+→→=→x x x y x y x y x x x y x 所以极限不存在。
6．指出下列函数的间断点：
（1）x
y x
y y x f 22),(2-+=； （2）y x z -=ln 。
解 （1）为使函数表达式有意义，需022
≠-x y ，所以在022
=-x y 处，函数间断。 （2）为使函数表达式有意义，需y x ≠，所以在y x =处，函数间断。 习题1—2 1．（1）x y y x z +=
,21x y y x z -=??，2
1y x
x y z -=??. (2)
)]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy y xy xy y xy y x
z
-=-=?? )]2sin()[cos()sin()cos(2)cos(xy xy x xy xy x xy x y
z
-=-=??
(3)
121)1()1(--+=+=??y y xy y y xy y x
z
, lnz=yln(1+xy)，两边同时对y 求偏导得
,1)1ln(1xy
x
y xy y z z +++=??]1)1[ln()1(]1)1[ln(xy
xy xy xy xy xy xy z y z
y ++++=+++=??; (4))
(22133
23y x x y x x y x x y x z +-=+-=??,;11
3
22y x x y x x y z +=+=?? (5)x x z
y z u
x x z y u x z y x u z y
z y
z y
ln ,ln 1,21-=??=??=??-; (6)z z y x y x z x u 21)(1)(-+-=??-, z z y x y x z y u 21)(1)(-+--=??-,z
z y x y x y x z u 2)
(1)ln()(-+--=??; 2.(1)
0,1,0,,=====yy xy xx y x z z z x z y z ;
(2) ),(2sin ),(2sin by ax b z by ax a z y x +=+=
)(2cos 2),(2cos 2),(2cos 222by ax b z by ax ab z by ax a z yy xy xx +=+=+=.
3 2
222,2,2x yz f z xy f xz y f z y x +=+=+=,,2,2,2z f x f z f yz xz xx ===
0)0,1,0(,2)2,0,1(,2)1,0,0(=-==yz xz xx f f f .
4
)2
(2cos ),2(2cos 2),2(2sin ),2(2sin 2t
x z t x z t x z t x z tt xt t x --=-=-=--=
0)2
(2cos 2)2(2cos 22=-+--=+t
x t x z z xt tt .
5.(1) x y
x e x y z 2-=, x y y e x z 1=,=dz +-dx e x
y x y 2dy e x x y
1
;
(2) )ln(21
22y x z +=
,2
2y
x x z x +=,22y x y z y +=,dy y x y dx y dz 2222x x +++=;
(3)2222)(1y x y x y x y z x +-=+-
= , 222
)(11y x x x
y x z y +=+= ,22y x xdy ydx dz ++-=; (4) ,1
-=yz x yzx
u x zx u yz y ln =,x yx u yz z ln =, =du xdz yx xdy zx dx yzx yz yz yz ln ln 1++-.
6. 设对角线为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
,2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++
当1.0,05.0,8,6-=?=?==y x y x 时,2
2
8
6)
1.0(805.06+-?+?=
≈?dz z =-0.05(m).
7. 设两腰分别为x 、y,斜边为z,则,22y x z +=
2
2
y
x x z x +=
，2
2
y
x y z y +=
, =
dz 2
2
y
x ydy xdx ++,
设x 、y 、z 的绝对误差分别为x δ、y δ、z δ,
当1.0,1.0,24,7=≤?=≤?==y x y x y x δδ时, 2524722=+=z
2
2
24
71
.0241.07+?+?≤
≤?dz z =0.124,z 的绝对误差124.0=z δ
z 的相对误差
≈?z z %496.025
124.0=. 8. 设内半径为r ，内高为h ，容积为V ，则
h r V 2π=,rh V r π2=,2r V h π=,dh r rhdr dV 22ππ+=,
当1.0,1.0,20,4=?=?==h r h r 时,
)(264.551.0414.31.020414.3232cm dV V =??+????=≈?.
习题1—3
1.
=??+??+??=dx
dz z f dx dy y f dx dx x f dx du ++2)(1z xy z y +?+ax ae z
xy z x
2)
(122
)(1z xy z xy +-)1(2+?ax a