高中数学竞赛讲义-同余

§27同余

1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作)(mod m b a ≡，显然，)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质：

1).反身性：)(mod m a a ≡；

2).对称性：)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡； 3).若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡则)(mod m c a ≡;

4).若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ±≡± 特别是)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡；

5).若)(m od 11m b a ≡，)(m od 22m b a ≡，则)(m od 2121m b b a a ≡； 特别是)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则 )(m od ),(m od m b a N n m b a n

n

≡?∈≡则； 6).)(mod )(m ac ab c b a +≡+；

7).若)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当 )(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d

m

b a d m

c ≡?≡≡=特别地，时，当； 8).若)(m o

d 1m b a ≡，

)(m od 2m b a ≡ )(mod 3m b a ≡

………………

)(mod n m b a ≡，且)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则

例题讲解

1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数0≥k ,1532

6161

6+++++k k k 能被7整除；

3．试判断2827

26

197319721971++能被3整除吗？

4．能否把1，2，……，1980这1980个数分成四组，令每组数之和为4321S S S S ，，，，

且满足；＝，＝，，＝101010342312S S S S S S ---

5．在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干数之和，能被11整除

的数组共有多少组。

6．设n n n n n a x a x

a x a x a x f +++++=---112

2110)( 是整系数多项式， 证明：若没有整数根；整除，则都不能被)(1992)1992(,),1(),0(x f f f f

7．试求出一切可使12+?n

n 被3整除的自然数n ；

8．在每张卡片上各写出11111到99999的五位数，然后把这些卡片按任意顺序排成一列，证明所得到的444445位数不可能是2的幂；

9．设 ,,,21n a a a 是任意一个具有性质)1(,1≥<+k a a k k 的正整数的无穷数列，求证可以把这个数列的无穷多个m a 用适当的正整数)(,,q p a y a x a y x q p m ≠?+?=表示为

例题答案：

1．证明：;,122Z k k n k n n ∈+==或者是任一整数，则设

);4(m od 04222≡==k n k n 时，当);4(m od 1)12122

2≡+=

+=k n k n （时，当 所以原命题成立；

1

5332

21532.266661616++?+?=∴+++=++k

k k

k k k M M 证：令

)

7(mod 0)7)(mod 1132(1173732721

)122327()11047(3)197(21

156257293642=+++=++?++??++??=++?++??++??=++?+?=C B A k k k k k k

,,0Z k k ∈≥?∴且对于153261616+++++k k k 都能被7整除；

注：+

∈≡?≡Z k b a b a k

),(m od 1)(m od 1

整除；

不能被又即：解：3197319721971)3(mod 2)21(),3(mod 142)3)(mod 21(197319721971)3)(mod 210(197319721971)3(mod 21973),3(mod 11972),3(mod 01971.328272628142828282726282726282726++∴≡+∴≡=+≡++++≡++∴≡≡≡

不能这样分组；

产生矛盾，又＝解：依题意可知：∴∴≡?=?=++++=≡+=∴+++++++++=)

4(mod 219819902

198119801980321)

4(mod 0604302010.4111114321 T S T S S S S S S S S T

组

：，则满足条件的数组有时，相邻项之和，且当是数列由于由此可得：、、、、、、、、、除的余数依次为：它们被、、、、、、、，、依次为，并记解：记数列各对应项为7313|11)11(mod }{)11(mod )11(mod ),11(mod ),11(mod )11(mod 1

25236125111177134104795839231351,,,10,2,1,.5973821041102121=++-≡-≡≡≡≡≡∴+++==j k j k i j k k k i S S S S a S S S S S S S S S S S S S a a a S i a

没有整数根

产生矛盾，、、、、、、、、又则整除，不能被由题意，且有整数根证：假设)()()()(|1992321),1992(mod 0321),1992(mod )

1992(mod )()()()()()

()()(,0)(1992)(19920),1992(mod )(.611110x f r f m f r f n i r m n i r m r m m r a m r a m r a m f r f r f m f r f m f r f r r m m x f i i i i n n n n n ∴∴=-∴=≡-∴=≡∴≡-++-+-=-=-=<≤≡---

整除；

能被时，，由上可知当且仅当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当、、、时，当，则

及考虑到，则解：若322616)

3(mod 02)66(2)210(66)3(mod 1)13()160326(2)56(2)

210(56)3(mod 1)13()6496(2)46(2)

210(46)3(mod 02)36(2)210(36)3(mod 2)13()824(2)26(2)

210(26)3(mod 2)13()212(2)16(2)

210(162)3(mod 22n 12n |3.7665646362616n n n k n k k n k k n k n k k n k k n n n k k n k n k k n k k n k k n k k n k k n k n k k n k k n k k n k k n k k n n ?++=≡?+=?=+=≡+?+?=?+=?=+=≡+?+=?+=?=+=≡?+=?=+=≡+?+=?+=?=+=≡+?+=?+=?=+=≡?+?++++++ 的幂；

不可能是即：又注意到＝、、、＝，则：排成的数为、、、证：记由2)11111(mod 08888951111188889

2

99999

11111999991111211111)

11111(mod ),11111(mod 110)11111(mod 11010101010}

999991111211111{,999991111211111.888889888882188889888882188889888882155888895888884444303444435244444018888921A A a a a a a a a a a a a a A Z k a a a a a A a a a a A A k i ∴≡∴??=++++?+=+++=++++++++≡∴∈≡∴≡+?++?+?+?∴∈

是无限多个是满足题意的要求，且

，＝令属于该子数列，且，同时还有无限多个小的该子数列中必有一个最

为严格递增的

又现考虑这个无穷数列穷多项至少有一个子数列有无是有限多个为无限集，而子数列却若干个子数列为模的不同剩余类分成按证：将m m q

p m q p m p m p m m p p n n n a a xa ya a a a y Z x xa a a a a a a a a a a a a a a a ∴+=?=∈+=?≡>>∴∴222221,)(mod ,}{}{}{.9