整式的乘除专题
整式的乘除专题
一、 同底数幂的乘法
同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=?(m,n 都是正数)
①底数a 可以是一个具体的数字式字母，也可以是 一个单项或多项式；
②a 的指数是1时，不要误以为没有指数；
③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；
④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a
++=??（其中m 、n 、p 均为正数）； ⑤公式还可以逆用：n m n m a a a
?=+（m 、n 均为正整数）
二．幂的乘方与积的乘方
1. 幂的乘方法则： ),()()(都为正数n m a a a mn m n n m ==.
2. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3
???-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n
3．底数有时形式不同，但可以化成相同。
4．注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、b 均不为零）。
5．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n
n n b a ab =)(（n 为正整数）。
6．强调公式的逆向运用。 三. 同底数幂的除法
1. 同底数幂的除法法则: n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n 都是正数, 且m>n).
2. 在应用时需要注意以下几点:
①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.
②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.5)0=1,而 00无意义.
③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1
=-( a ≠0,p 是
正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,8
1)2(3-=--
【例2】
四、 整式的乘法
1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字
母，连同它的指数作为积的一个因式。
2．单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3．多项式与多项式相乘：先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘时要注意以下几点：
①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多 项式项数的积；
②多项式相乘的结果应注意合并同类项；
③ab x b a x b x a x +++=++)())((2，
ab x ma mb mnx b nx a mx +++=++)())((2
五．平方差公式： 22))((b a b a b a -=-+
六．完全平方公式： 2222)(b ab a b a +±=±
七．立方公式
?
?
?
【例1】（1）如果a ＋b=6，a 3＋b 3=72，求a 2＋b 2的值
（2）已知(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，求a ，b ，c 的关系
【例】若x+1x =3, 则33441713x x x x +
+++=_____
【例】已知a 是实数，且使a 3＋3a 2＋3a ＋2＝0，那么（a ＋1）1996＋（a ＋1）1997＋（a ＋1）1998的值是______．
【例】已知a －b ＝3，那么a 3－b 3－9ab 的值______
【例】已知x 是实数，并且x 3+2x 2+2x+1=0，求x
1994+x 1997+x 2000的值．
【例】当1≤x≤2时，化简代数式
【例】已知＝a, ＝b，则用a、b表示为______。
八、整式的除法
1．单项式除法单项式:单项式相除把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；
2．多项式除以单项式:多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商
相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。
【典例讲解】
（一）填空题
1．x 10＝（－x 3）2·_________＝x 12÷x （ ）
2．4（m －n ）3÷（n －m ）2＝___________．
3．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________．
4．（2a －b ）（ ）＝b 2－4a 2．
5．（a －b ）2＝（a ＋b ）2＋_____________．
6．（31
）－2＋π0＝_________；4101×0.2599＝__________．
7．若n 满足(n-1994)2+(1995-n)2=1，则(1995-n)·(n-1994)_____．
8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．
9．（x －2y ＋1）（x －2y －1）2＝（ ）2－（ ）2＝_______________． 10.已知25x =2000, 80y =2000，则y 1
x 1+＝_______________．
（二）选择题
11．下列计算中正确的是………………………………………………………………（
） （A ）a n ·a 2＝a 2n （B ）（a 3）2＝a 5 （C ）x 4·x 3·x ＝x 7 （D ）a 2n －3÷a 3－n ＝a 3n －6
12．x 2m ＋1可写作…………………………………………………………………………（
） （A ）（x 2）m ＋1 （B ）（x m ）2＋1 （C ）x ·x 2m （D ）（x m ）m ＋1
13．下列运算正确的是………………………………………………………………（ ）
（A ）（－2ab ）·（－3ab ）3＝－54a 4b 4
（B ）5x 2·（3x 3）2＝15x 12
（C ）（－0.16）·（－10b 2）3＝－b 7
（D ）（2×10n ）（21×10n
）＝102n
14．若23.0-=a ，23--=b ，21()3c -=-，0
)31(-=d ，则（ ）
A 、a ＜b ＜c ＜d
B 、b ＜a ＜d ＜c
C 、a ＜d ＜c ＜b
D 、c ＜a ＜d ＜b
15．若a ≠b ，下列各式中不能成立的是………………………………………………（
） （A ）（a ＋b ）2＝（－a －b ）2 （B ）（a ＋b ）（a －b ）＝（b ＋a ）（b －a ）
（C ）（a －b ）2n ＝（b －a ）2n （D ）（a －b ）3＝（b －a ）3
16．下列各组数中，互为相反数的是…………………………………………………（
） （A ）（－2）－3与23 （B ）（－2）－2与2－2
（C ）－33与（－31
）3 （D ）（－3）－3与（31
）3
17．下列各式中正确的是………………………………………………………………（
） （A ）（a ＋4）（a －4）＝a 2－4 （B ）（5x －1）（1－5x ）＝25x 2－1
（C ）（－3x ＋2）2＝4－12x ＋9x 2 （D ）（x －3）（x －9）＝x 2－27
18．如果x 2－kx －ab ＝（x －a ）（x ＋b ），则k 应为…………………………………（
）
（A ）a ＋b （B ）a －b （C ）b －a （D ）－a －b
（三）计算
19．（1）（－3xy 2）3·（61
x 3y ）2；
（2）4a 2x 2·（－52
a 4x 3y 3）÷（－21
a 5xy 2）；
（3）（2a －3b ）2（2a ＋3b ）2；
（4）（2x ＋5y ）（2x －5y ）（－4x 2－25y 2）；
（5）（20a
n －2b n －14a n －1b n ＋1＋8a 2n b ）÷（－2a n －3b ）；
（6）（x －3）（2x ＋1）－3（2x －1）2．
20．用简便方法计算
（1）982； （2）899×901＋1；
（3）（7
10）2002·（0.49）1000． （4）已知4·2a ·2a+1=29，且2a+b=8，求a b 的值．
（四）解答题
21．已知a 2＋6a ＋b 2－10b ＋34＝0，求代数式（2a ＋b ）（3a －2b ）＋4ab 的值．
22．已知a ＋b ＝5，ab ＝7，求2
2
2b a +，a 2－ab ＋b 2的值．
23．（1） 若n +1=20102+20112，求12+n
（2）已知实数a 满足丨1992-a 丨+1993a -=a,求a-19922
的值
24．已知a 2＋b 2＋c 2＝ab ＋bc ＋ac ，求证a ＝b ＝c ．
（五）解方程组与不等式
25．???+=-+=+-++.
3)3)(4(0)2()5)(1(xy y x y x y x
26．（x ＋1）（x 2－x ＋1）－x （x －1）2＜（2x －1）（x －3）．
27．已知P=2)1989(11991199019891988-++???，求P 的值
28．已知：a ≠0，14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c) 2，求a ∶b ∶c ．
29已知是三个互不相同的非零实数，设
；
的
大小关系 是 。
30.若a,b,c 是实数,且32+b 2+c 2=4,求(a-2b+c)1994.