二次函数单元测试题含答案-人教版

第I卷（选择题）

1．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是

。

2．二次函数图象的顶点坐标是（）

A．B．C．D．

3．抛物线的顶点坐标为（）

A．（5 ，2）B．（－5 ，2）C．（5，－2）D．（－5 ，－2）4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=2，且经过点p(3?0).则a+b+c 的值为（）

A、 1

B、 2

C、–1

D、 0

5．将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（）

A．y=(x－2) 2+1 B．y=(x－2) 2－1 C．y=(x+2) 2+1 D．y=(x+2) 2－1

6．已知，，是抛物线上的点，则（）A． B． C． D．

7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥其中正确的个数是( ）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

8．二次函数的图象如图所示．当＜0时，自变量的取值范围是（

A．－1＜＜3 B．＜－1

C．＞3 D．＜－1或＞3

9．抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正

确的是( )

A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位

10．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是

A．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是( )

(A)ab＜0

(B)ac＜0

(C)当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小

(D)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c

＝0的根

12． 抛物线的部分图象如上图所示，若

，则的取值

范围是(

)

A ．

B ．

C ．或

D ．或 13．如图,二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点(-1,2)，与y 轴交于点（0，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中-2< x 1<-1，0< x 2<1，下列结论：①4a-2b+c<0，②2a-b 0，

③a<-1 ，④b 2+8a<4ac ，其中正确的有（ ）.

A.①②④

B. ①③④

C. ①②③

D. ②③④

14．二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点( ) A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,1) 15．汽车匀加速行驶路程为，匀减速行驶路程为

，

其中

、为常数. 一汽车经过启动、匀加速行驶、匀速行驶、匀减速行驶之

后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是（ ）

。

。

。 。 。 。 。 -1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 3 -2 3 -1 -4 1

x

y -3 1 -4 -2 -5

2 4 -

3 2 o 。

A C

D

B

16．函数﹣2，当

x 时，函数值y 随x 的增大而减小.

17．已知二次函数

(

均为常数，且

)，若与

的

部分对应值如下表所示，则方程

的根为 ．

18．已知二次函数

的图象如图所示，

有以下结论：①

；②； ③；④；⑤

其中所有正确结论的序号是

______________________ 19．抛物线的顶点是C(2，

)，它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是

方程x 2

－4x+3=0的两个根，则AB= ，S △ABC = 。

20．已知=次函数y ＝ax +bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，

2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为 个

21．平移抛物线，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解

析式_______ 22．已知函数

图像上点（2，n ）与（3，m ），则 n ▼

m. （填“>,<，或无法确定”）

1

1 O

x y

23．小颖同学想用“描点法”画二次函数的图象，取

自变量x 的5个值，分别计算出对应的y 值，如下表：

… 0 1 2 …

… 11 2 －1 2 5 … 由于粗心，小颖算错了其中的一个y 值，请你指出这个算错的y 值所对应的x= 24．函数

的图象上有两点

,

，则

（填“

<”

或“=”或“>”）.

25．炮弹从炮口射出后,飞行的高度h （m ）与飞行的时间t （s ）之间的函数关系是h=v0tsin α—5t2,其中v0是炮弹发射的初速度, α是炮弹的发射角,当

v0=300（）, sin α=时，炮弹飞行的最大高度是___________。

26．如图（5），A 、B 、C 是二次函数y=ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图像上三点,根据图中给出的三点的位置,可得a_______0，c________0, ⊿________0.

27．抛物线y ＝2x 2

－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为_____

28．老师给出一个函数,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质: 甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。 丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，

已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数___________________。

29．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意

图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，

在该抛物线上距水面高为8米的点、处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 （精确到1米）

30．已知二次函数

，当x ＝_________时，函数达到最

O

A

E F

B

小值

三、计算题（题型注释）

设函数y＝kx＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．

31．写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象

32．根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明

33．对任意负实数k，当x

四、解答题（题型注释）

34．如图，顶点为P（4，－4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON．

（1）求该二次函数的关系式；

（2）若点A的坐标是（6，－3），求△ANO的面积；

（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：

①证明：∠ANM＝∠ONM；

②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如

果不能，请说明理由．

如图，二次函数与x 轴交于点B 和点A （-1,0），与y 轴交于点C ，与一次函数

交于点A 和点D 。

35．求出的值；

36．若直线AD 上方的抛物线存在点E ，可使得△EAD 面积最大，求点E 的坐标； 37．点F 为线段AD 上的一个动点，点F 到（2）中的点E 的距离与到y 轴的距离之和记为d ，求d 的最小值及此时点F 的坐标。

评卷人 得分

五、判断题（题型注释）

A B O

x

C

y D

参考答案

1．C

【解析】∵图象开口向上，∴＞0；∵抛物线与y轴的交点为负，∴c＜0; ∵抛物线的对称轴在y轴的左边，∴∵＞0，∴b＞0∴2+ b＞0；当x=-1时，y＜0，即-b+c

＜0.故选C.

2．B

【解析】

试题分析：根据解析式，顶点的横坐标为1，纵坐标为3，即坐标为（1,3）

考点：二次函数的顶点坐标

点评：二次函数的顶点式为，顶点坐标即为（a,h）

3．A

【解析】因为y=3（x-5）2+2是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，2）．故选A

4．D

【解析】因为对称轴是x=2，所以，又因为经过点p(3?0)，所以把代入得，所以a+b+c=，故选D

5．C

【解析】原抛物线的顶点为（0，0），向左平移两个单位，再向上平移一个单位，那么新抛物线的顶点为（-2，1）；

可设新抛物线的解析式为y=（x-h）2+k，代入得：y=（x+2）2+1，

故选C．

6．D

【解析】分析：此题可以把图象上三点的横坐标代入求得纵坐标y值，再比较大小．

解答：解：由于三点（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y=x2-4x上的点，，

则y1=1-4=-3；y2=4-8=-4；y3=16-16=0

∴y3＞y1＞y2．

故选D．

7．D

【解析】

试题分析：根据图像，抛物线开口向下说明a＜0，①正确

其与y轴交于正半轴，由于抛物线与y轴交点为（0，c）所以c＞0，③正确

又∵对称轴

∴b>0，②错误

当x=2时y=4a+2b+c

结合分析可知，x=2在图像和x轴右交点的左侧

结合图像看到此时图像在x轴上方即y＞0

∴4a+2b+c＞0，所以④错误

因为，得到

也就是，故⑤正确

根据图像可知，抛物线与x轴有两个交点，所以，⑥正确

综上，有4个正确的，所以选D

考点：二次函数的图像与系数

点评：难度中等，关键在于分析二次函数的图像、系数之间的关系。

8．A

【解析】

试题分析：根据二次函数的性质得出，y＜0，即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围．

∵二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示．

∴图象与x轴交在（-1，0），（3，0），

∴当y＜0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：-1＜x＜3，

故选A.

考点：此题主要考查了二次函数的性质

点评：利用数形结合得出图象在x轴下方部分y＜0是解题关键．

9．B

【解析】

试题分析：二次函数图像平移，上下平移是y变化，“上加下减”，左右平移是x变化，“左

加右减”，所以，即为向下平移3个单位，即为向左平移2个单位，

答案为B

考点：二次函数图像的平移

点评：图像平移要明确是x轴变化，还是y轴变化，先化为顶点式，在看是在括号内还是在括号外，括号内是x轴变化，括号外是y轴变化.

10．D

【解析】根据二次函数特点，图像开口向下，a＜0,交y轴在原点上方，c＞0,排除答案B 和C，对称轴x＞0,而a＜0，则b＞0,图像与x轴有两个交点，必须保证△>0，综上，选D 11．B

【解析】解：A、图象开口向下，对称轴在y轴右侧，能得到：a＜0，＞0，b＞0，

所以ab＜0，正确；

B、图象开口向下，与y轴交于负半轴，能得到：a＜0，c＜0，∴ac＞0，错误；

C、a＜0，对称轴为x=2，根据二次函数的增减性可知，当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小，正确；

D、由二次函数与一元二次方程的关系可知，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根，正确．

故选B．

12．B

【解析】分析：根据抛物线的对称性可知，图象与x轴的另一个交点是-3，y＞0反映到图象上是指x轴上方的部分，对应的x值即为x的取值范围．

解答：解：∵抛物线与x轴的一个交点是（1，0），对称轴是x=-1，

根据抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点是（-3，0），

又图象开口向下，

∴当-3＜x＜1时，y＞0．

故选B．

【答案】C

【解析】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），与y轴交于（0，2）点，且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，下列结论

①4a-2b+c＜0；当x=-2时，y=ax2+bx+c，y=4a-2b+c，

∵-2＜x1＜-1，∴y＜0，故①正确；

②2a-b＜0；

∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），

∴a-b+c=2，与y轴交于（0，2）点，c=2，

∴a-b=0，二次函数的开口向下，a＜0，

∴2a-b＜0，故②正确；

③根据-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，可以估算出两根的值，

例如x1=-1.5，x2=0.5，图象还经过点（-1，2），得出函数的解析，

解得：a=-＜-1，b=-故③a＜-1正确；

④b2+8a＞4ac．

根据③中计算结果，可以得出：b2+8a＞4ac，

（-）2+8×（-）-4×（-）×2=＞0，

故④b2+8a<4ac，不正确．

故选：C．

14．D

【解析】分析：此题可将b+c=0代入二次函数，变形得y=x2+b（x-1），若图象一定过某点，则与b无关，令b的系数为0即可．

解答：解：对二次函数y=x2+bx+c，将b+c=0代入可得：y=x2+b（x-1），

则它的图象一定过点（1，1）．

故选D．

【答案】A

【解析】第一段匀加速行驶，路程随时间的增大而增大，且速度越来越大，即路程增加的速度不断变大．则图象斜率越来越大，则C错误；

第二段匀速行驶，速度不变，则路程是时间的一次函数，因而是倾斜的线段，则D错误；第三段是匀减速行驶，速度减小，倾斜程度减小．故B错误．

故选A．

16．＞-1

【解析】

试题分析：先判断出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向即可得到结果.

∵抛物线的对称轴为，，即抛物线开口向下

∴当时，函数值y随x的增大而减小.

考点：二次函数的性质

点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的性质，即可完成.

17．，

【解析】将（-1，0），（0，-3），（1，-4）代入y=ax2+bx+c得，

a-b+c=0， c=-3 ,a+b+c=-4 ，

解得 a=1 b=-2 c=-3 ，

代入ax2+bx+c=0得，

x2-2x-3=0，

即（x+1）（x-3）=0，

解得x1=-1，x2=3．

18．①②③⑤

【解析】根据函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，再结合图象判断各结论．解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，

则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；

②当x=-1时，y=a-b+c＞1，正确；

③abc＞0，正确；

④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；

⑤对称轴x=-=-1，b=2a，又x=-1时，y=a-b+c＞1，代入b=2a，则c-a＞1，正确．

故所有正确结论的序号是①②③⑤．

19．

【解析】此题考查二次函数与三角形

，

答案

20．2

【解析】由图可知，a＜0，c＜0，所以ac＞0；

因为当x=1时的函数值大于0，所以a+b+c＞0；

因为当x=-2时的函数值小于0，所以4a－2b+c＜0；

因为对称轴x=-b/2a＜1,所以-b＞2a，因此2a+b＜0；

因为对称轴x=-b/2a＞-1，所以b＞2a，因此2a－b＜0。

故，其值大于0的个数为 2 个.

21．答案不唯一，如

【解析】

试题分析：可设这个函数的解析式为，根据（0，0）适合这个解析式求解即可.

可设这个函数的解析式为，那么（0，0）适合这个解析式，解得c=0

故平移后抛物线的一个解析式（答案不唯一）.

考点：二次函数的图象与几何变换

点评：解题的关键是熟练掌握抛物线在平移过程中不改变a的值.

22．＜

【解析】分别把点（2，n）与（3，m）代入函数y=ax2-2ax+3，然后比较即可得出答案．解：令x=2，则n=4a-4a+3=3，

令x=3，则m=9a-6a+3=3a+3，

∵a＞0，

∴m=3a+3＞3，

∴m＞n．

故答案为：＜．

23．2

【解析】由表格给出的信息可以看出，该函数的对称轴为直线x=0，则x=2与x=-2时应取值相同．

解：根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x=0，

求得函数解析式为y=3x2-1，

则x=2与x=-2时应取值相同．

故这个算错的y值所对应的x=2．

【答案】m

【解析】本题考查二次函数的性质

因点,在函数的图象上，则有，

所以

25．1125m

【解析】

考点：二次函数的应用．

分析：本题需先根据题意求出当v0=300（m/s），sinα= 时，飞行的高度h（m）与飞行的时间t（s）之间的函数关系式，再求出函数的最大值即可．

解；∵当v0=300（m/s），sinα=时

h=300×t-5t2，

=150t-5t2

∴炮弹飞行的最大高度是：=1125m．

故答案为：1125．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据函数的解析式求出最大值是本题的关键．

26．<、<、>

【解析】

分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

解：画草图得，此函数开口向下，所以a＜0；

与与y轴的交点为在y轴的负半轴上，所以c＜0；

抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0．

故a＜0，c＜0，△＞0．

点评：考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．

27．4

【解析】

试题考查知识点：抛物线y＝ax2+bx＋c(a≠0)的对称轴是直线

思路分析：直接套用对称轴解析式即可得到关于系数b的方程

具体解答过程：

∵抛物线y＝ax2+bx＋c(a≠0)的对称轴是直线，抛物线y＝2x2－bx＋3的对称轴是直线x＝1

∴

解之得：b=4

试题点评：抛物线的顶点坐标、对称轴是一般解析式、开口方向与系数a（a≠0）的关系等等要作为常识牢记在心。

28．略

【解析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x=2，开口向上的二次函数．函数的图象不经过第三象限，经过第一象限，且x＜2时，y＞0，二次函数的顶点可以在x轴上方．顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．

∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以．

∵函数的图象不经过第三象限．

∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，

设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．

如y=（x-2）2，答案不唯一．

解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．

29．

【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就

是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．

故有，

即，，．

所以两盏警示灯之间的水平距离为：

30．2

【解析】本题考查二次函数最值

已知二次函数

化简可得=

化为标准式为，开口向上，顶点坐标

所以当时，有最小值为2

31．当k=1时，y= x2＋3x+1;当k=0时y=x+1, 图象略

32．见解析

33．只要m的值不大于-1即可

【解析】

（1）当k=1时，y= x2＋3x+1;当k=0时y=x+1, 图象略

(2) 对任意实数k, 函数的图象都经过点（-2，-1）和点（0,1）

证明；把x=-2代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y=-1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1的图像经过点（-2，-1）；把x=0代入函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1，得y=1，即函数y＝kx2＋(2k＋1)x ＋1的图像经过点（0,1）

（3）当k为任意负实数，该函数的图像总是开口向下的抛物线，其对称轴为

，当负数k所取的值非常小时，正数靠近0，所以

靠近-1，所以只要m的值不大于-1即可。

34．（1）

（2）12

（3）相似三角形的基本知识推出该角度的相等，不能

【解析】

试题分析：（1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。

又∵二次函数图象经过原点（0，0），∴，解得。

∴二次函数的关系式为，即。（2分）

（2）设直线OA的解析式为，将A（6，－3）代入得，解得。

∴直线OA的解析式为。

把x=4代入得y=-2。∴M（4，－2）。

又∵点M、N关于点P对称，∴N（4，－6），MN=4。

∴。（3分）

（3）①证明：过点A作AH⊥于点H，，与x轴交于点D。则

设A（）,

则直线OA的解析式为。

则M（），N（），H（）。

∴OD=4，ND=，HA=，NH=。

∴。

∴。∴∠ANM=∠ONM。（2分）

②不能。理由如下：分三种情况讨论：

情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450，

∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。

整理，得，解得。

∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

情况2，若∠AON是直角，则。

∵，

∴。

整理，得，解得，。

∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。

情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON，∴。

∵OD=4，MD=，ND=，∴。

整理，得，解得。

∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。

综上所述，当点A在对称轴右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。（3分）

考点：二次函数的综合题

点评：在解题时要能灵运用二次函数的图象和性质求出二次函数的解析式，利用数形结合思想解题是本题的关键．

35．：a=1；b=3；c=4.（解题过程略）

36．设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为。过点E作x轴的垂线l，交x 轴于点G，交AD于点H，则点H的坐标为。过点D作l的垂线，垂足为T。

将与联立组成方程组，解得点D的坐标为（3,4）。

所以

∵a= ＜0，∴有最大值。当m=1时，最大值为6，此时点E的坐标为（1,6）

37．过A作y轴的平行线AS，过F作FG⊥y轴交AS于点M，过F作FN⊥x轴于N,

∵点D的坐标为（3,4），点A坐标为（-1,0）∴∠DAB=45°∴AD平分∠SAB，∴FM=FN ∴d =FE+FM-1=FE+FN-1

显然，当N、F、E所在直线与x轴垂直时，d=FE+FN-1最小，最小值为6-1=5.

此时点F的横坐标为1，带入得F点的坐标为（1，2）。

【解析】略