大物b课后题08-第八章电磁感应电磁场

习题

8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。

解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为

02m i

d B dS ldx x

μφπ=?=

通过矩形面积CDEF 的总磁通量为

0000ln ln sin 222b

m a

i il I l b b

ldx t x a a

μμμφωπππ===?

由法拉第电磁感应定律有

00ln cos 2m d I l b

t dt a

φμωεωπ=-

=- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt

，球

小线圈中感应的电动势。

解 无限长直螺线管内部的磁场为

0B nI μ=

通过N 匝圆形小线圈的磁通量为

2

0m NBS N nI r φμπ==

由法拉第电磁感应定律有

20m d dI

N n r dt dt

φεμπ=-

=- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。

解 通过小线圈的磁通量为

0m BS niS φμ==

由法拉第电磁感应定律有

000cos m d di

nS nSi t dt dt

φεμμωω=-

=-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在1

6.010B T -=?的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=?，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。若令AB 边以速率

15.0v m s -=?向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。

解 利用动生电动势公式

0.20

()50.6sin(60)0.30()2

B A

v B dl dl V π

ε=??=??-?=??

感应电流的方向从A B →.

8-10 如图所示，两段导体AB 和BC 的长度均为10cm ，它们在B 处相接成角30?；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为2

2.510B T -=?。若使导体在均匀磁场中以速率

11.5v m s -=?运动，方向与AB 段平行，试问AC 间的电势差是多少 哪一端的电势高

解 导体AB 段与运动方向平行，不切割磁场线，没有电动势产生。BC 段产生的动生电动势为

1.10

230

() 1.5 2.510cos 60 1.910()C B

v B dl dl V ε--=??=????=???

AC 间的电势差是

3

1.910()AC U V ε-=-=-?

C 端的电势高。

8-11 长为l 的一金属棒ab ，水平放置在均匀磁场B 中，如图所示，金属棒可绕O 点在水平面内以角速度ω旋转，O 点离a 端的距离为l k 。试求a,b 两端的电势差，并指出哪端电势高（设k>2）

解 建立如图所示的坐标系，在Ob 棒上任一位置x 处取一微元dx ，该微元产生的动生电动势为

()d v B dx xBdx εω=??=-

Ob 棒产生的动生电动势为

220

11

(1)2l l k

Ob xBdx Bl k

εωω-=-=--?

同理，Oa 棒产生的动生电动势为 2

1220

12Oa l xBdx Bl k

εωω=-=-?

金属棒a,b 两端的电电势差

2

2222211112(1)(1)222ab ab Oa Ob

l U Bl Bl Bl k k k

εεεωωω=-=-=---=- 因k>2，所以a 端电势高。

8-12 如图所示，真空中一载有稳恒电流I 的无限长直导线旁有一半圆形导线回路，其半径为r ，回路平面与长直导线垂直，且半圆形直径cd 的延长线与长直导线相交，导线与圆心O 之间距离为l ，无限长直导线的电流方向垂直纸面向内，当回路以速度v 垂直纸面向外运动时，求：

（1）回路中感应电动势的大小；

（2）半圆弧导线cd 中感应电动势的大小。

解 （1） 由于无限长直导线所产生的磁场方向与半圆形导线所在平面平行，因此当导线回路运动时，通过它的磁通量不随时间改变，导线回路中感应电动势0ε=。

（2）半圆形导线中的感应电动势与直导线中的感应电动势大小相等，方向相反，所以可由直导线计算感应电动势的大小

选取x 轴如图所示，在x 处取线元dx,dx 中产生感应电动势大小为 ()d v B dl ε=??

其中02I

B x

μπ=

导线cd 及圆弧cd 产生感应电动势的大小均为

00ln

22l r

l r l r

l r Iv Iv dx l r

vBdx x l r

μμεππ++--+===-?

? 8-13 在半径0.50R m =的圆柱体内有均匀磁场，其方向与圆柱体的轴线平行，且

211.010dB dt T s --=??，圆柱体外无磁场，试求离开中心O 的距离分别为

0.1,0.25,0.50,1.0m m m m 和各点的感生电场的场强。

解 变化的磁场产生感生电场线是以圆柱轴线为圆心的一系列同心圆，因此有

L

S

B

E dl dS t

??=-?????

感 而

2

2,L

S

B dB E dl E r dS r t dt

ππ??=-?=-????

感感 当r R <时， 2

2dB E r r dt

ππ=-感 12dB

E r dt

=-

感 所以0.1r m =时，415.010E V m --=??感；0.25r m =时，。31

1.310E V m --=??感

当r R >时 22dB

E r R dt

ππ=-

感 22R dB

E r dt

=-感

所以0.50r m =时， 31

2.510E V m --=??感; 1.0r m =时

311.2510E V m --=??感

8-14 如图所示，磁感应强度为B 的均匀磁场充满在半径为R 的圆柱体内，有一长为l 的金属棒ab 放在该磁场中，如果B 以速率dB dt 变化，试证：由变化磁场所产生并作用于

棒两端的电动势等于

12dB dt 证明 方法一 连接Oa,Ob,设想Oab 构成闭合回路，由于Oa,Ob 沿半径方向，与通过

该处的感生电场处垂直，所以Oa,Ob 两段均无电动势，这样由法拉第电磁感应定律求出的闭合回路Oab 的总电动势就是棒ab 两端电动势。根据法拉第电磁感应定律

12ab Oab

dB dB S dt dt εε==-= 方法二 变化的磁场在圆柱体内产生的感生电场为 12dB E r dt

=-

感 棒ab 两端的电动势为

11cos 22l l l

ab dB E dx E dx dt εθ=?==-=???感感8-15 如图所示，两根横截面半径为a 的平行长直导线，中心相距d ，它们载有大小相

等、方向相反的电流，属于同一回路，设导线内部的磁通量可以忽略不计，试证明这样一对导线长为l 的一段的自感为0ln

l d a

L a

μπ-=

。 解 两根平行长直导线在它们之间产生的磁感应强度为 ()

0022I I

B x d x μμππ=

+- 穿过两根导线间长为dx 的一段的磁通量为

()00022ln d a

d a

m a

a

I I B dS ldx x d x lI d a

a

μμφππμπ--??

=?=+??-??-=

?

?

所以，一对长为的一段导线的自感为 0ln

m

l d a

L I

a

φμπ-=

=

8-16一均匀密绕的环形螺线管，环的平均半径为R ，管的横截面积为S ，环的总匝数为N ，管内充满磁导率为μ的磁介质。求此环形螺线管的自感系数L 。

解 当环形螺线管中通有电流I 时，管中的磁感应强度为 2IN

B nI R

μμπ==

通过环形螺线管的磁链为

22m m IN S

N R

μψφπ==

则环形螺线管的自感系数为

22m

N S L I R

ψμπ== 8-17由两薄圆筒构成的同轴电缆，内筒半径1R ,外筒半径为2R ，两筒间的介质1r μ=。设内圆筒和外圆筒中的电流方向相反，而电流强度I 相等，求长度为l 的一段同轴电缆所储

磁能为多少

解 有安培环路定理可求得同轴电缆在空间不同区域的磁感应强度为

1r R <时， 10B = 12R r R <<时， 022I

B r

μπ=

2r R >时， 30B =

在长为L ，内径为r ，外径为r dr +的同轴薄圆筒的体积2dV rldr π=中磁场能量为

22

02

0124m I l B dW dV dr r

μμπ==

所以，长度为l 的一段同轴电缆所储能为 2

1

22002

1

ln 44R m R I r I l R W dr r R μμππ=

=?

补充

在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P 的电场强度为E ，磁感应强度为B ，此空间区域介质的介电常数0εε≈，磁导率0μμ≈。求P 点处电场和磁场的总能量体密度

w 。

解 电场能量密度为 201

2

e w E ε=

磁场能量密度为

2

12m B w μ=

总能量密度为

22

00

1122e m B w w w E εμ=+=+

8-19 一小圆线圈面积为2

1 4.0S cm =，由表面绝缘的细导线绕成，其匝数为150N =，

把它放在另一半径220R cm =，2100N =匝的圆线圈中心，两线圈同轴共面。如果把大线圈在小线圈中产生的磁场看成是均匀的，试求这两个线圈之间的互感；如果大线圈导线中的

电流每秒减少50A ，试求小线圈中的感应电动势。

解 当大圆形线圈通有2I 时，它在小圆形线圈中心处的磁感应强度大小为 02

22

2

2I B N R μ=

若把大圆形线圈在小圆形线圈中产生的磁场看成是均匀的，则通过小圆形线圈的磁链为 02

1211212

2m I N B S N N S R μψ==

两个线圈之间的互感为

74

612012250100410 4.010 6.2810()220.2

m

N N S M H I R ψμπ---?????====??

如果大线圈导线中的电流每秒减少50A ，则小线圈中的感应电动势为

646.281050 3.1410()di

M

V dt

ε--=-=??=? 8-20 一螺线管长为30cm 。由2500匝漆包导线均匀密绕而成，其中铁芯的相对磁导率

100r μ=，当它的导线中通有2.0A 的电流时，求螺线管中心处的磁场能量密度。

解 螺线管中的磁感应强度为 00r r

N B nI I l

μμμμ== 螺线管中的磁场能量密度为

2

53

01 1.7410/2m r

B w J m μμ==? 8-21 一根长直导线载有电流I ，且I 均匀地分布在导线的横截面上，试求在长度为l 的一段导线内部的磁场能量。

解 有安培环路定理可得长直导线内部的磁感应强度为 02

2Ir

B R μπ=

在长度为l 的一段导线内部的磁场能量

222

2

002400122416R m I r I l B W dV rldr R μμπμππ

===????

8-22一同轴线由很长的直导线和套在它外面的同轴圆筒构成，它们之间充满了相对磁导率为1r μ=的介质，假定导线的半径为1R ，圆筒的内外半径分别为2R 和3R ，电流I 由圆筒流出，由直导线流回，并均匀地分布在它们的横截面上，试求：（1）在空间各个范围内的磁能密度表达式;(2)当12310, 4.0, 5.0,10R mm R mm R mm I A ====时，在每米长度的

同轴线中所储存的磁场能量。

解 （1）有安培环路定理可得在空间各个范围内的磁感应强度为

1r R <时 01212Ir B R μπ=

；12R r R << 时02

2I

B r

μπ= 23R r R <<时22

03322

322I R r B r R R μπ-=-；3r R >时 40B =

相应地，空间各个范围内的磁能密度为

1r R <时22

2012201

128m I r B w R μμπ==；12R r R <<时20228m I w r μπ=；

23R r R <<时2

222032222328m I R r w r R R μπ??

-= ?-??

；3r R >时0m w =。

（2） 每米长度的同轴线中所储存的磁场能量为

()()()12

3

1

2

12342

2222

22000

3222222220

13242

244

332033222222222213232322220888ln 1ln 444m m m m m m R R R R R W w dV w dV w dV w dV w dV I r I I R r rdr rdr rdr R r r R R R R R I R R R R R R R R R R R μμμππππππμπ

==+++=??-=+++ ?-??

??-??=++-+?---??

????????????????

??51.710()J -=??

8-23证明电容C 的平行板电容器，极板间的位移电流强度d dU

I C dt

=，U 是电容器两极板间的电势差。

证明 由于平行板中D σ=，所以穿过极板位移电位移通量

D S

D dS S q CU φσ=?===??

平行板电容器中的位移电流强度 ()D d d CU d dU

I C dt dt dt

φ=

== 8-24 设圆形平行板电容器的交变电场为(

)5

1720sin 10

E t V m π-=?，电荷在电容器

极板上均匀分布，且边缘效应可以忽略，试求：（1）电容器两极板间的位移电流密度；（2）在距离电容器极板中心连线为 1.0r cm =处，经过时间5

2.010t s -=?时的磁感应强度的大小。

解 （1）电容器两极板间的位移电流密度为

()3520 2.0010cos 10d d E j t A m t t

επ-??===??? （2）以电容器极板中心连线为圆心，以 1.0r cm =为半径做一圆周。由全电流安培环

路定律有

D

L

d H dl dt

φ?=

? 所以

20

212dE H r r dt

dE H r dt

ππεε==

经过时间时5

2.010t s -=?，磁感应强度的大小为 ()11000 1.26102

r dE

B H T dt

μεμ-==

=?

8-25 试确定哪一个麦克斯韦方程相当于或包括下列事实： （1）电场线仅起始或终止与电荷或无穷远处； （2）位移电流;

(3) 在静电平衡条件下，导体内部可能有任何电荷； （4）一变化的电场，必定有一个磁场伴随它； （5）闭合面的磁通量始终为零；

（6）一个变化的磁场，必定有一个电场伴随它； （7）磁感应线是无头无尾的；

（8）通过一个闭合面的净电通量与闭合面内部的总电荷成正比； （9）不存在磁单极子； （10）库仑定律；

（11）静电场是保守场。

解

1N

i

i s

D ds q =?=∑??相当于或包括事实：

（1），（3），（8），（10）； L

S

B

E dl dS t

??=-?????

相当于或包括事实：（6），（11）； 0S

B dS ?=??相当于或包括事实：

（5），（7），（9）； 1

N

D

i i L

d H dl I dt

φ=?=+

∑?相当于或包括事实：（2），（4）；