人教版数学必修四模块综合测试题

人教版数学必修四模块综合测试题 (满分150分，时间120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列叙述中正确的是( )

A.三角形的内角必是第一象限或第二象限的角

B.角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点

C.终边相同的角必相等

D.终边在第二象限的角是钝角

思路解析：由正弦线、正切线的定义可知B 正确,A 中漏了直角的情况，直角终边在y 轴上，不属于第一象限也不属于第二象限. 答案：B

2.若α、β的终边关于y 对称，则下列等式正确的是( )

A.sinα=sinβ

B.cosα=cosβ

C.tanα=tanβ

D.cotα=cotβ

思路解析：因为α、β的终边关于y 对称，所以β=2kπ+π-α,k ∈Z ，sinβ=sin(2kπ+π-α)=sinα.或者通过定义sinα=r

y

,也可判断. 答案：A

3.函数y=2sin2xcos2x 是( )

A.周期为2π的奇函数

B.周期为2π

的偶函数 C.周期为4π的奇函数 D.周期为4

π

的偶函数

思路解析：y=

22sin4x,T=42π=2π,又f （-x ）=22sin （-4x ）=-2

2

sin4x=-f （x ），它是奇

函数.

答案：A

4.已知向量a =(3,2)，b =(x,4),且a ∥b ，则x 的值为( ) A.6 B.-6 C.38-

D.3

8

思路解析：因为a ∥b ，所以3×4-2x=0，解得x=6.

答案：A

5.下面给出四种说法，其中正确的个数是( ) ①对于实数m 和向量a 、b ，恒有m(a-b)=ma-mb ；②对于实数m 、n 和向量a ，恒有(m-n)a=ma-na ；③若ma=mb(m ∈R)，则a=b ；④若ma=na(a≠0)，则m=n. A.1 B.2 C.3 D.4 思路解析：正确的命题有①②④，③当且仅当m≠0时成立. 答案：C

6.已知|a|=1,|b|=2,a 与b 的夹角为60°，c=2a+3b,d=k a -b (k ∈R )，且c ⊥d ，那么k 的值为( ) A.-6 B.6 C.5

14- D.514

思路解析：a·b=1×2×cos60°=1.∵c ⊥d,

∴c·d=(2a+3b)·(ka-b)=2ka 2-2a·b+3ka·b-3b 2=2k-2+3k-12=0. ∴k=

5

14

. 答案：D

7.函数y=3cos 2x+sinxcosx-2

3

的周期是( ) A.

4π B.2

π

C.π

D.2π 思路解析：y=212322sin 22cos 13=-++?x x sin2x+

2

3

cos2x=sin(2x+3π)， T=

2

2π

=π. 答案：C 8.若α∈(0,2π),且tanα＞cotα＞cosα＞sinα,则α的取值范围是( ) A.(

4π,2

π) B.(43π,π) C.(45π,23π) D.(47π

,2π)

思路解析：排除法.

当α=3π

时，cosα＜sinα，排除A ； 当α=65π时，cotα＜cosα，排除B;

当α=6

11π时，tanα＜cosα，排除D.

答案：C

9.已知|p |=22,|q |=3,p 、q 的夹角为4

π

，如图1，若=5p +2q ,=p -3q ,D 为BC 的中点，则|AD |为( )

图1

A.

215 B.2

15 C.7 D.18 思路解析：=21(+)=21(5p+2q+p-3q)=21

(6p-q)，

∴||=22212362

1)6(21q q p p q p +?--= =

2

1

2

1534

cos

32212)22(3622=

+???-?π

.

答案：A

10.要得到函数y=sin(2x-3

π

)的图象，只要将函数y=sin2x 的图象( ) A.向左平行移动3π个单位 B.向左平行移动6π

个单位

C.向右平行移动3π个单位

D.向右平行移动6

π

个单位

思路解析：由y=sin2x 到y=sin(2x-3π)关键是看x 的变化，即由x 到x-6

π

，所以需向右平行

移动6

π

个单位.

答案：D

11.使函数y=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)为奇函数，且在［0,4

π］上是减函数的φ的一个值为( ) A.3

π B.35π C.32π D.34π

思路解析：可考虑代入法.

y=sin(2x+φ)+3cos(2x+φ)=2sin(2x+φ+

3

π

). 当φ=3π时，y=2sin(2x+φ+3

π)=2sin(2x+32π)是非奇非偶函数，因此排除A.

当φ=35π时，y=2sin(2x+φ+3π)=2sin2x 是奇函数，但在［0, 4π］上是增函数，因此排除B.

当φ=3

2π时，符合题意，同样可排除D.

答案：C

12.函数y=Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如图2所示，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)的值等于( )

图2

A.2

B.2+2

C.2+22

D.-2-22

思路解析：由图象可知f(x)=2sin

4

π

x 的周期为8， ∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sin 4π+2sin 2

π+2sin 43π

=2+22.

答案：C

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13．已知tanx=6，那么

21sin 2x+3

1cos 2

x=________________.

思路解析：原式=.111551363136211

tan 31tan 21cos sin cos 31sin 21222222=++

?=++=

++x x x x x x 答案：111

55

14.已知AB =2e 1+k e 2,CB =e 1+3e 2,CD =2e 1-e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k=______________. 思路解析：若A 、B 、D 三点共线，则∥，设=λ. ∵=-=e 1-4e 2,

∴2e 1+k e 2=λ(e 1-4e 2)=λe 1-4λe 2. ∴λ=2,k=-4λ.∴k=-8. 答案：-8

15.若|a +b |=|a -b |，则a 与b 的夹角为_______________. 思路解析：方法一：考虑夹角公式. ∵|a +b |=|a -b |,∴(a +b )2=(a -b )2.整理得a ·b =0,∴a ⊥b .∴a 与b 的夹角为90°. 方法二：考虑平行四边形模型

.

在平行四边形OABC 中，=a ,=b , 则OB =a +b ,CA =a -b ， ∵|a +b |=|a -b |，即|OB |=|AC |， ∴平行四边形OABC 为矩形. ∴a 与b 的夹角为90°. 答案：90°

16.给出下列五种说法：

①函数y=-sin(kπ+x)(k ∈Z )是奇函数；②函数y=tanx 的图象关于点(kπ+2

π

,0)(k ∈Z )对称；③函数f(x)=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；④设θ为第二象限角，则tan 2θ＞cos 2

θ

，且

sin 2θ＞cos 2

θ

；⑤函数y=cos 2x+sinx 的最小值为-1. 其中正确的是.

思路解析：①∵f(x)=-sin(kπ+x)=?

??∈+=∈=-.,12,sin ,,2,sin Z n n k x Z n n k x f(-x)=f(x)，

∴f(x)是奇函数，①对. ②由正切曲线知，点(kπ,0)(kπ+

2

π

,0)是正切函数的对称中心，∴②对.③f(x)=sin|x|不是周期函

数，③错.

④∵θ∈(2kπ+

2π,2kπ+π),k ∈Z ，∴2θ∈(kπ+4π,kπ+2

π

).

当k=2n+1,k ∈Z 时，sin 2θ＜cos 2θ

.∴④错.

⑤y=1-sin 2x+sinx=-(sinx-21)2+4

5

，

∴当sinx=-1时，y min =1-(-1)2+(-1)=-1.∴⑤对.

答案：①②⑤

三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17.（本小题满分12分） 已知cosα=

31，且-2

π

＜α＜0, 求

α

ααππαtan )cos()

2sin()cot(-+?--的值.

解：∵cosα=

31，且-2

π

＜α＜0， ∴sinα=322-

,cotα=4

2-. ∴原式=

4

2

cos sin sin cot tan )cos(sin )cot(=

-=-=--ααααααααt . 18.（本小题满分12分）

已知向量OA =(3,-4),OB =(6,-3),OC =(5-m,-(3+m)).

（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；

（2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值.

解：（1）已知向量=(3,-4),=(6,-3), =(5-m,-(3+m))，若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线.

∵=(3,1)，=(2-m,1-m)， ∴3(1-m)≠2-m. ∴实数m≠

2

1

时满足条件. （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB ⊥AC ， ∴3(2-m)+(1-m)=0，解得m=4

7. 19.（本小题满分12分） 已知f(x)=sin(2x+6π)+sin(2x-6π)+2cos 2x+a ，当x ∈［-4π,4

π

］时，f(x)的最小值为-3，求α的值.

解：∵f(x)=sin(2x+6π)+sin(2x-6

π

)+2cos 2x+a =3sin2x+cos2x+1+a=2sin(2x+6

π

)+1+a.

∵x ∈［-4π,4π］,∴-3π≤2x+6π≤3

2π

.

∴f(x)在［-

4π,4π］上的最小值为2（-2

3

）+1+a=1-3+a.

由题意,知1-3+a=-3，∴a=3-4.

20.（本小题满分12分）已知函数y=

21cos 2x+2

3

sinxcosx+1,x ∈R . （1）求它的振幅、周期和初相；

（2）用五点法作出它的简图； （3）该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ 解：y=

21cos 2x+2

3

sinxcosx+1=41cos2x+43sin2x+45 =

21sin(2x+6π)+4

5. （1）y=

21cos 2x+2

3

sinxcosx+1的振幅为A=21,周期为T=22π=π，初相为φ=6π. （2）令x 1=2x+6π，则y=21sin(2x+6π)+45=2

1sinx 1+45

，列出下表，并描出图象如下图所

示：

x -

12

π 6π 12

5π 32π 12

11π

x 1 0 2

π π 2

3π 2π y=sinx 1 0

1

-1

y=

21sin(2x+6π)+45 45

47 45 43 4

5

(3)方法一：将函数图象依次作如下变换：

函数y=sinx 的图象??

???→?个单位向左平移6

π

函数y=sin(x+6

π

)的图象

??????????→?)

(2

1

纵坐标不变的各点横坐标缩短到原来函数y=sin(2x+

6

π

)的图象 ??????????→?)

(21

横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=21sin(2x+6

π)的图象?????→?个单位向上平移4

5

函数

y=

21sin(2x+6π)+4

5

的图象, 即得函数y=

21cos 2x+2

3

sinxcosx+1的图象. 方法二：函数y=sinx 的图象??????????→?)(2

1

纵坐标不变

的各点横坐标缩短到原来函数y=sin2x 的图象

?????→?个单位

向左平移

12π

函数y=sin(2x+6π)的图象?????→?个单位向上平移25

函数y=sin(2x+6π)+25的

??????????→?)

(2

1

横坐标不变的各点纵坐标缩短到原来函数y=

21sin(2x+6π)+4

5

的图象, 即得函数y=

21cos 2x+2

3

sinxcosx+1的图象. 21.（本小题满分12分）

已知点A 、B 、C 的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα)，α∈(2π,2

3π

). （1）若|AC |=|BC |，求角α的值；

（2）若AC ·BC =-1，求

α

α

αtan 12sin sin 22++的值. 解：（1）∵AC =(cosα-3,sinα),BC =(cosα,sinα-3),

∴|AC |=αααcos 610sin )3(cos 2

2-=+-，

|BC |=αααsin 610)3(sin cos 2

2-=-+.

由||=||,得sinα=cosα. 又∵α∈(

2

π, 23π)，∴α=45π

. （2）由AC ·BC =-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1. ∴sinα+cosα=

3

2.①

又α

ααααααcos sin 1)

cos (sin sin 2tan 12sin sin 22+

+=++=2sinαcosα.

由①式两边平方,得1+2sinαcosα=

9

4

, ∴2sinαcosα=95-.∴α

ααtan 12sin sin 22++=95

-.

22.（本小题满分14分）已知=(2,1),=(1,7),=(5,1).设M 是直线OP 上的一点（其中O 为坐标原点），当?取最小值时： （1）求OM ；

（2）设∠AMB=θ，求cosθ的值.

解：设=t ，则=(2t,t),=(1-2t,7-t),=(5-2t,1-t).

MB MA ?=5t 2-20t+12=5(t-2)2-8.

∴t=2时，MB MA ?最小，这时OM =（4，2）. （2）由=(-3,5)，=(1,-1), ∴17

17

4-

=. ∴cosθ的值是17

17

4-.