高考导数压轴题 答案
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1、解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3
3±=x . )(x g '的变化情况如下表：
x
0 )3
3,
0( 33 )1,3
3(
1 )(x g '
- 0
+
)(x g
↘
极小值 ↗
所以当3
3
=
x 时，)(x g 有最小值932)33(-=g .
(2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12122x a x x +=，∴1
2
111211222x x a x x a x x x -=-+=-
∵a x >1，∴
021
2
1<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a
x x a x x a x x =?>+=+=
1
1111212222222 所以a x x >>21.
2、解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当
.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=
⑵[]
.42)2()('22x e a a x a x x f +-++=
.223
2
.220)('-≠-≠
-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论： ①a 若＞
3
2
，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： x
()a 2-∞-，
a 2-
()22--a a ，
2-a
()∞+-，2a
+
0 — 0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f
.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数
.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数
②a 若＜
3
2
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表： x
()2-∞-a ，
2-a
()a a 22--，
a 2-
()∞+-，a 2
+ 0 —
0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
内是减函数。
，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数
.3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数
3、
4、解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝1x ＋2
a
x ＝2x a x +.
∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x )＝
2
x a
x
+， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝
32，∴a ＝－3
2
(舍去). ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－
a e ＝3
2
，∴a ＝－2e (舍去).
③若－e 当1 2 ?a ＝－e . 综上可知：a ＝－e . 5、解：（Ⅰ） (1) (),(1,)1 x a ax f x x x --'= ∈-+∞+. 依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. 经检验，1 3a =时，符合题意. （Ⅱ）解：①当0=a 时，()1 x f x x '=+. 故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. ②当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21 1x a =-. 当10< x 1(1,)x - 1x 12(,)x x 2x 2(,)x +∞ ()f x ' - 0 + 0 + ()f x ↘ 1()f x ↗ 2()f x ↘ 所以，()f x 的单调增区间是1(0, 1)a -；单调减区间是)0,1(-和1 (1,)a -+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下： x 2(1,)x - 2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞ ()f x ' - 0 + 0 + ()f x ↘ 2()f x ↗ 1()f x ↘ 所以，()f x 的单调增区间是1(1,0)a -；单调减区间是1 (1, 1)a --和(0,)+∞. ③当0 1)a -，减区间是)0,1(-和1 (1,)a -+∞； 当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-； 当1a >时，()f x 的增区间是1 (1,0)a -；减区间是1 (1, 1)a --和(0,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意. 当10< (1)f a -， 由1(1)(0)0f f a ->=，知不合题意. 当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减， 可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞. 6、解：（I ）当2k =时， 2()ln(1)f x x x x =+-+，1 '()121f x x x = -++ 由于(1)ln 2f =，3'(1)2 f = ， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3 ln 2(1)2 y x -=- 即322ln 230x y -+-= （II ）(1) '()1x kx k f x x +-= +，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1x f x x =-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. 当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得10x =，210k x k -=> 所以，在区间(1,0)-和1( ,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1( ,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，2 '()1x f x x =+故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-= =+，得11(1,0)k x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 7、解：⑴ln 20x y - += ⑵因为11ln )(--+ -=x a ax x x f ， 所以211)('x a a x x f -+-=2 21x a x ax -+--=，),0(+∞∈x ， 令,1)(2a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x 8、解：（Ⅰ）()1 ()1x x f x x ?+=--11ln -+-=x x x ，()()()22 211121-?+=-+='x x x x x x ?． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ?'>∴函数()x ?的单调递增区间为()()∞+，和1 1,0． （Ⅱ）∵1 ()f x x '= ，∴001()f x x '=， ∴切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -= -, 即00 1 ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x x e ， ∵()x g x e '=，∴101x e x = ，∴10ln x x =-,∴0ln 10 1()x g x e x -==. ∴直线l 也为()00011ln y x x x x - =+， 即0000 ln 1 1x y x x x x =++， ② 由①②得 0000 ln 1ln 1x x x x -= +，∴0001 ln 1x x x +=-． 下证：在区间（1,+∞）上0x 存在且唯一. 由（Ⅰ）可知，()x ?1 1 ln -+- =x x x 在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011 e e e e e ?+-=-=<--，2222 2 213()ln 011e e e e e e ?+-=-=>--， 结合零点存在性定理，说明方程()0x ?=必在区间2(,)e e 上有唯一的根，这个根就是所 求的唯一0x ，故结论成立． 9、解：⑴221()2a f x a x x -'=+-22 2(2)1ax a x x +--=2(1)(21) ax x x +-=． 当2a <-时，112a - <，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a -，1 (,)2+∞． 当2a =-时，11 2a -=，减区间为(0,)+∞． 当20a -<<时，112a ->，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)2，1 (,)a -+∞． ⑵由⑴知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[1,3]上单调递减， ∴12,[1,3]x x ∈，12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1 (12)[(2)ln 36]3 a a a =+--++， 即12|()()|f x f x -≤ 2 4(2)ln 33 a a -+-． ∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立， ∴(ln 3)2ln 3m a +-＞24(2)ln 33a a -+-，即2 43 ma a >-， 又0a <，∴2 43m a < -． ∵(3,2)a ∈--，∴132384339a - <-<-，∴m ≤133 -． 10、解：（Ⅰ）设()2 g x ax bx c =++，于是 ()()()()2 2 11212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121. a c ?=? ??=-?， 又()11g =-，则1 2 b =- ．所以()211122g x x x =--． …………3分 （Ⅱ）() 2 191()ln ln (0). 282 f x g x m x x m x m x =+++=+∈>R ， 当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分 当m =0时，2 ()02 x f x =>对0x ?>，()0f x >恒成立； …………5分 当m <0时，由()0m f x x x m x '=+=?=-，列表： x (0)m -， m - ()m -+∞， ()f x ' － 0 ＋ ()f x 减 极小 增 []min ()()ln .2 m f x f m m m =-=-+-这时， []min ln 0()0e<0.20 m m m f x m m ?-+->?>??- 所以若0x ?>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，． 故0x ?>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．…………9分 （Ⅲ）因为对[1]x m ?∈，，(1)() ()0x x m H x x --'= ≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减． 于是21211 |()()|(1)()ln . 22H x H x H H m m m m -≤-=-- 2121113 |()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m - 记13 ()ln (1e)22h m m m m m =-- <≤，则()2 21133111()02233 2h'm m m m =-+=-+>， 所以函数13 ()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数， 所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e h m h -+≤=--=<，故命题成立． …………12分 11、解：（1）∵()() 2 3x f x x ax b e -=++ ∴()() ()()' ' 32321x x f x x a e x ax b e --=++++-()232x x a x b a e -??=-+-+-?? 由题意得：()' 30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =-- ∴()() 2 323x f x x ax a e -=+--且()()()' 331x f x x x a e -=--++ 令()' 0f x =得13x =，21x a =-- ∵3x =是函数()() ()2 3,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点 ∴12x x ≠，即4a ≠- 故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-. 当4a <-时，213x a =-->，由()' 0f x >得单增区间为：()3,1a --； 由()' 0f x <得单减区间为：(),3-∞和()1,a --+∞； 当4a >-时，213x a =--<，由()' 0f x >得单增区间为：()1,3a --； 由()' 0f x <得单减区间为：(),1a -∞--和()3,+∞； （2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，{},)32()4(),0(min )(3min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+, ∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3++-a e a . 易知()2 254x g x a e ??=+ ??? 在[]0,4上是增函数, ∴()g x 在[]0,4上的值域为2 242525,44a a e ????+ + ??????? . 由于()2 22516042a a a ????+-+=-≥ ? ???? ?， 又∵要存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-<成立， ∴必须且只须()202561 4a a a >? ? ???+-+< ??? ??解得:302a <<. 所以，a 的取值范围为30,2?? ??? . 12、解:（1）∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++ 当2,2a b ==-时，2()(22)x f x x x e =+-,则'()f x 2(4)x x x e =+. 令'()0f x =得2(4)0x x x e +=，∵0x e ≠,∴240x x +=，解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时，'()0f x >， 当(4,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时，函数()f x 有极大值，46()f x e 极大＝ ， 当0x =时，函数()f x 有极小值，()2f x =-极小． （2）由（1）知2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =-- 则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=，得11x =或23x a =-- ∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- . 当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈-- 当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知： 当4a <-时，单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，递减区间为(3,1)a --。 （3）由2）知：当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增， ∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)x be a =-+0<，4(4)(213)0f a e =+>， ∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4[(2),(213)]a e a e -++] 又24()(14)x g x a e +=+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++. ∵24(14)a e +－4(213)a e +＝24(21)a a e -+＝24(1)0a e -≥， ∴存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立只须 24(14)a e +－4(213)a e +<12424 1(1)1(1)a e a e ?- .221111a e e ?-<<+． 13、解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数 的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数. ⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222l 11 ()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+-> ①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. ②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121 1,1x x a ==-. 当1 2a = 时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当102a <<时，1 110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减； 1 (1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增； 1 (1,)x a ∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减. 当0a <时1 10a -<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减； 当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增； 当1 2 a = 时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减； 当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1 (1,1)a -递增,1(1,)a -+∞递减. ⑵当1 4 a =时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11 ()(1)2 f x f =-≥， 又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21 ()2 g x -≥，[]21,2x ∈，（※） 又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈ 当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾； 当[]1,2b ∈时，2 min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾； 当2b >时，min 117()(2)84,28 g x g b b ==-≤-≥. 综上，实数b 的取值范围是17 [ ,)8 +∞. 14、解：函数)(x f 的定义域为)0(∞+，，211)(x a a x x f ---= ' （Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ， 11 )(-='x x f ，∴000001ln 11)(x x x x x f --=-=' 解得20e x =，故点P 的坐标为)1(22 e e -， （Ⅱ）22 1)(x a ax ax x f -++-= '2 2 )1)(1()1)(1(x a a x x a x a ax x -- --=+---= ∵210< 011>--a a ∴当10< a x -<<11时，0)(>'x f 故当2 10< -； 单调递减区间为)1,0(，),1(+∞-a a （Ⅲ）当31=a 时，132 3ln )(-+ -=x x x x f 由（Ⅱ）可知函数)(x f 在)10，（上是减函数，在 )21，（上为增函数，在]2(e ，上为减函数，且32)1(-=f ，e e e f 32 3)(+-= ∵e e e e e f e f 3)1(3322)1()(22--=+-=-，又13+ <-e ， ∴)1()(f e f >，故函数)(x f 在],0(e 上的最小值为3 2- 若对于],01e x （∈ ?，]1,0[2∈?x 使)(1x f ≥)(2x g 成立?)(x g 在]1,0[上的最小值不大于 )(x f 在],0(e 上的最小值32 -（*） 又12 5)(1252)(222 ---=--=b b x bx x x g ，]1,0[∈x ①当0 2 125)0()]([min ->-==g x g 与（*）矛盾 ②当10≤≤b 时，12 5)()]([2 min --==b b g x g ， 由321252 -≤--b 及10≤≤b 得，12 1≤≤b ③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数， 3 2 12172127)1()]([min -<-<-==b g x g ，此时1>b 综上，b 的取值范围是），∞+2 1 [ 15、解：⑴ ， ()min 1 1 01 t e e f x tInt t e ?-<≤??=??> ?? 所以 ⑵由题意知 ()()()()()()()[]()()()()()()222 max max 3 23,2, 313232011,10,1,0,11max ,(),,,2, xInx x ax a Inx x x x x h x Inx x x h x x x x x x h x h x e x e h x h x h x h h e x e f x g x e e a h x ≥-+-≤+++-'=++>=+-=?? '∈ '∈>?????? =∈≥?? ????????? ≤则设则当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以因为存在使成立， 所以 11 ()23h e e e =-++，3()2h e e e =++ 而1()()h h e e >，故1 32a e e ≤+- （Ⅲ） 等价证明()()2 0,x x xInx x e e >-∈+∞ 由⑴知 ()()()()()()()1 0,1 210,,, x x f x xInx x e x e x x x x x e e e ??=∈+∞=-'=-∈+∞=的最小值是- 当且仅当取到，设则 ()()()max 1 112 0,x x e x x xInx e e ??==-=∈+∞>-易得，当且仅当x 时取到， 从而对一切都有成立， ()12 0,x Inx x e ex >-∈+∞即对一切成立． 16、解：（1）由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e =--=--1 ()()0p q e e ?-+= 而1 0e e + ≠，所以p 、q 的关系为p q =. （2）由（1）知()2ln 2ln q p f x px x px x x x =--=--， 2' 22 22()p px x p f x p x x x -+=+-=.令2 ()2h x px x p =-+， 要使()f x 在其定义域(0,)+∞内单调，只需()0()0h x h x ≥≤或恒成立. ①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，' 2 2()x f x x =- ＜0， ∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意； ②当p ＞0时，2()2h x px x p =-+，∴min 1()h x p p =- ， 只需1 0p p - ≥，即'1()0,()0p h x f x ≥≥≥时， ∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意. ③当p ＜0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为 1 (0,)x p = ?+∞，只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，故p ＜0适合题意. 综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或. （3）∵2()e g x x = 在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈， ①当0p ≤时，由（2）知()f x 在[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ?==＜2，不合题意； ②当0＜p ＜1时，由[]1 1,0x e x x ∈?- ≥， 又由（2）知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数， ∴1111 ()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e =--≤- -≤--=--＜2，不合题意； ③当1p ≥时，由（2）知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)0f =＜2，又()g x 在[]1,e 上是减函数，故只需max ()f x ＞min ()g x ，[]1,x e ∈，而max 1 ()()()2ln f x f e p e e e ==--， min ()2g x =，即1 ()2ln p e e e --＞2，解得p ＞241e e -， 综上，p 的取值范围是2 4()1 e e +∞-，. 17、解：⑴()f x 的定义域为(0,).+∞222 11 '()1a x ax f x x x x -+=+-= 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =- ①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增． ②当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故 ()(0,)f x +∞在上单调递增． ③当2a >时,>0,g(x)=0的两根为22 1244,22 a a a a x x --+-== ， 当10x x <<时，'()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． ⑵由⑴知，若()f x 有两个极值点12,x x ，则只能是情况③，故2a >． 因为12 12121212 ()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+ --， 所以1212121212 ()()ln ln 1 1f x f x x x k a x x x x x x --= =+--- 又由⑴知，121x x =，于是12 12 ln ln 2x x k a x x -=-- 若存在a ，使得2.k a =-则 12 12 ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-． 亦即2222 1 2ln 0(1)(*)x x x x - -=> 再由⑴知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以 22211 2ln 12ln10.1 x x x - ->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =- 18、解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞. 由已知得，1 (1)() 1'()1a x x a f x ax a x x -+=-+-=-. ⅰ当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ当0a <时， ①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1 0x a <<-或1x >; ∴函数()f x 在1 (0,)a -和(1,)+∞上单调递增 ②当1 1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ③当1 1a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a >- ∴函数()f x 在(0,1)和1 (,)a -+∞上单调递增. 综上所述: ⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a -和(1,)+∞上单调递增 ⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1 (,)a - +∞上单调递增. (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”. 设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =- +-，222221 ln (1)2 y x ax a x =-+-. 2121AB y y k x x -=-2221212121 1 (ln ln )()(1)() 2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1 ()(1)2 x x a x x a x x -= -++--. 曲 线 在 点 00(,) M x y 处的切线斜率 0()k f x '=12 ( )2 x x f +'=12122(1)2x x a a x x += -?+-+， 依题意得： 211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2 x x a a x x +=-?+-+. 化简可得 2121ln ln x x x x --122 x x =+， 即21ln x x =2121 2()x x x x -+2 1 2 1 2( 1)1x x x x -= +. 设 21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211 t t t t -==-++, 4ln 21t t +=+,令4()ln 1g t t t =++,214'()(1)g t t t =-+=2 2 (1)(1) t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增,显然有()2g t >恒成立. 所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4 ln 21 t t + =+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线” 19、解：⑴()21122ax f x ax x x -'=-=，0x >．令()0f x '=，则22a x a =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： x 20,2a a ?? ? ??? 22a a 2,2a a ?? +∞ ? ??? ()f x ' + - ()f x 单调递增 极大值 单调递减 所以()f x 的单调增区间是20,2a a ?? ? ??? ，单调减区间是2,2a a ??+∞ ? ???． ⑵由()()f f αβ=及()f x 的单调性知22a a αβ<<．从而()f x 在区间[],αβ上的最小值为()f α． 又由1βα-≥，[],1,3αβ∈，则123αβ≤≤≤≤． 所以()()()() ()()21,23,f f f f f f αβ≥≥???≥≥??即ln 24, ln 24ln 39.a a a a -≥-?? -≥-? 所以ln 3ln 2ln 2 53 a -≤≤． 20、解：⑴222(2)()1 ax a x f x ax +-'=+, 因为21=x 是函数)(x f 的一个极值点，所以0)2 1 (='f ，得022=--a a . 又0>a ，所以2=a . ⑵因为)(x f 的定义域是1 (, )a -+∞， 2222 2() 2(2)2()11 a ax x ax a x a f x ax ax --+-'== ++. ①当2> a 时，列表 x 1(, 0)a - 22 (0, )2a a - 22 (, )2a a -+∞ )(x f ' ＋ － ＋ )(x f 增 减 增 )(x f 在1(, 0)a -，22 (, )2a a -+∞是增函数；)(x f 在22(0, )2a a -是减函数. ②当2=a 时，222()021 x f x x '=+≥，)(x f 在2 (, )2-+∞是增函数. ③当20<