全国初中数学联赛试题及答案(修正版)

M

N

A

O

A

B

C 1996年全国初中数学联赛试题

第一试

一、选择题

1. 实数a 、ｂ满足ａb =１,记M ＝＼ｆ(1，1+a )+错误!，Ｎ＝错误!+错误!，则的关系为 [ ]

A ．M ＞N ?

B ．M ＝N Ｃ.Ｍ

2. 设正整数ａ、m 、n

则这样的a 、m 、n 的取值[ ]

Ａ．有一组 B ．有二组 C .多于二组? D .不存在

3．如图，Ａ是半径为1的圆O 外的一点，O Ａ＝2，ＡB 是圆O 的切线,B 是切点，弦B Ｃ∥OA ，连结A Ｃ，则阴影部分的面积等于?[ ]

（A ）

2

9π ???（B ）6

π （

C)6

8

π

+? ? (D)

4

8

π

-

４．设x ?、ｘ?是二次方程x 2+ｘ－3＝0的两个根,那么ｘ?3-4ｘ?2＋19的值等于 [ ]

Ａ.-４ B ．8 C .6? D .0

5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的[ ］

A ．内心 B.外心? Ｃ．重心 ?D ．垂心

６．如果20个点将某圆周２0等分,那么顶点只能在这２０个点中选取的正多边形的个数有[ ]

A .４个?

B ．８个

C ．1２个

D .24个

二、填空题

1. 已知实数x ?、y ?是方程组1||1

y x

y x ?=

???=+? 的解,则x ?+ｙ?＝__＿＿＿_．

2．如图,在△AB Ｃ中，AB =AC ，∠ABN ＝∠MBC ，ＢM =ＮM ， BN =a ,则N 点到边BC 的距离等于_＿_＿_＿．

A B

C D

D ′

B ′

C O

M P A B

C

D E

F

3.设1９９5x 3

＝１996y ３

=199７z 3,

xy ｚ＞0,且

=，则１

x +错误!+错误!＝__＿___．

4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′Ｄ′的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是__＿__＿.

第二试

1． 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和ｎ个女生的捐款总数相等，都是（m ·n +9m +11n +14５）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数.

２.设凸四边形ABC Ｄ的对角线AC 、B Ｄ的交点为M ，过点Ｍ作A Ｄ的平行线分别交A Ｂ、ＣＤ于点Ｅ、F ,交B Ｃ的延长线于点Ｏ,P 是以O 为圆心ＯＭ为半径的圆上一点(位置如图所示）,求证：∠ＯP Ｆ＝∠OEP .

3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线ｙ=ａｘ2＋ｂx ＋c 与x 轴有两个不同的交点A 、Ｂ,若A 、Ｂ到原点的距离都小于1，求a +b ＋c 的最小值．

G

O

P

M

A

B

C

D

E

F 1996年全国初中数学联赛参考答案

第一试

一、选择题

1.B

2.A ? 3．B

4.Ｄ ?

5.A

6.C

二、填空题

１

２.

2

3. 1

4. ２

第二试

1. 据题意ｍ＋11=ｎ＋9，且整除ｍn ＋9m +11n +145,

而ｍn ＋9m +11ｎ+145=(ｍ+11)(n ＋9)+４6，故m ＋11,ｎ＋9都整除46,由此得

1214m n =??=? ① 或 35

37

m n =??

=? ② 在①时，得每人捐款2５元;在②时,每人捐款4７元 综上可知，每人捐款数为2５元或47元.

２. 作AD 、ＢO 的延长线相交于G ,∵ＯE ∥ＧＡ， ∴在△CGA 中有 错误!＝错误! ，

且在△ＢGA 中 错误!＝错误! ，由此可得 错误!=错误! ，

而ＯM 是⊙O 的半径，等于OP ,∴ ＯＦOP =OP

O Ｅ ,∴ △P ＯF ∽△PO Ｅ ，

∴∠ＯPF ＝∠ＯEP

3. 据题意,方程a ｘ3+bx +c =０有两个相异根,都在（－1，0）中,故

a－b＋c＞0, 错误!<1,且b2-4ａc＞0 ①，可见ａ-ｂ+c≥1 ②,且ａ>c ③

所以a＋c≥b1,可得2>1,

∴ａ＞4 ,又b 4 现分别取a、b、ｃ的最小整数5,５,1 经检验，符合题意，∴a＋b＋c=１1最小.