正弦定理第一课时(教学设计新部编版)

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]

任教学科：_____________

任教年级：_____________

任教老师：_____________

xx市实验学校

《正弦定理》

安徽省濉溪二中吕家强2012年9月19日

§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计）

一、教学目标

1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。

3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

二、教学重点和难点

重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用

难点：正弦定理的实际应用

三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究

四、教学手段：多媒体辅助教学

五、教学过程

本节的教学过程由以下几个环节构成：

六、教学设计

1.正弦定理的建构

（1）创设情境—感知定理

①视频情境

播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量

的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。 设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。 （2）观察证明—形成定理

① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

sin a A c =，sin b

B c

=，又=sin 1C ,

A

则

sin sin sin a

b

c

c A

B

C

=

=

= b c 从而在直角三角形ABC 中，

sin sin sin a

b

c

A

B

C

=

=

C a B

(图1．1)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

方法一、利用三角形的高证明正弦定理

Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有

=sin CD a B ,sin CD b A =。

由此，得 sin sin a

b

A

B =，

同理可得

sin sin c

b

C

B

=

，

故有

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

.从而这个结论在锐角三角形中成立.

Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得

=

∠sin sin a

b

A

ABC ，

同理可得

=

∠sin sin c

b

C

ABC

故有

=

∠sin sin a

b

A

ABC

sin c

C =

.

由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中，

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

成立.

（约需2 A

B C

D

b

a a

b D

A

B

C

从而得到：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C =

.

设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考：

问题：您能用其他方法证明这一关系吗？

方法二、向量法证明正弦定理

如图，以A 为原点，以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，C 点在y 轴上的射影为c '。

因为向量AC u u u r 与BC uuu r 在y 轴上的射影均为OC 'u u u u r

,即

()0cos 90sin ,OC AC A b A '=-=u u u u r u u u r

sin sin ,OC BC B a B '==u u u u r u u u r

所以 sin sin ,a B b A =

即 .sin sin a b A B =

同理， .sin sin a c

A C =

所以 .sin sin sin a b c

A B C

==

方法三、利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD ⊥BC,垂足为 D.

则Rt △ADB

中,AB AD

B =

sin ,∴AD=AB·sinB=csinB. ∴S △ABC =B ac AD a sin 2

1

21=?.

同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21

sin 21=.

∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2

1

sin 21sin 21==.

∴absinc=bcsinA=acsinB,

在等式两端同除以ABC,可得

b

B

a A c C sin sin sin ==.即 C

c

B b A a sin sin sin ==. 方法四、外接圆证明正弦定理

在△ABC 中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 ∠BAB′=90，∠C =∠B′，∴sin C =sin B′=R

c B C 2sin sin =

'=. C y

O(A) B X

C

b D

C

B

A a

∴

R C c

2sin =. 同理,可得R B b R A a 2sin ,2sin ==.∴R C

c

B b A a 2sin sin sin ===.

这就是说,对于任意的三角形,此等式均成立。

设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，实现一问多解，充分发挥学生的主观能动性，同时提高学生运用数形结合和等价转化的思想解决问题。 （3）形式变形—深化定理

辨析1：你能用文字语言叙述这个关系吗？

三角形各边与其所对角的正弦值的比值相等。 设计意图：通过问题辨析，加深公式的理解。 辨析2：小组讨论，完成下列问题

公式的变形：

1a sin =____, bsinC=__sinB, asinC=csinA.B b 、 2::=___________.a b c 、 a ++3=2.sin sin sin __________

b c a b c

R A B C ===、

设计意图：学生小组合作探究，让学生积极参与其中，以便突破重难点。

2.公式在计算上的应用

（1）分析实例—应用公式

例1、在ABC ?中，边=10,=45,30,o

o

c A C =求边a,b 的长。 解：=,sin sin a c A C

Q

0000

sin 10sin 45==102,180(4530)105.sin sin 30

o o

c A a B C ?∴==-+= ,sin sin b c B C

=Q

00

sin 10sin10520sin 7562).sin sin 30

c B b C ?∴====g 试一试：变式：根据下列条件，解:ABC ?

()()()00

01b=4,c=8,B=30,C A a;

2=30b=2,=2,;3=,=,=,B c A C a C a A 已知 求、、已知，求、、已知b 6c 9B 45求、、。

解：

B

(

)00000sin 1sin =1.30<<150, C=90.

=180()60,c B

b

C A B C a -+===由正弦定理得 C=

又因为所以所以

(

)000000000sin 2sin =2>,0<<180,C=45135.

45105=135=15 1.

c B C b c b C C C A a C A a ===由正弦定理得因为所以或当时，，当时，，

()sin 3sin 1,.4

c B C b =

=>所以此题无解 设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学会使用公式来求值。

（2）建立模型—灵活运用

例2、台风中心位于某市正东方向300km 处，正以40/km h 的速度向西北方向移动，距离台风中心250km 范围内将会受其影响。如果台风风速不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这种影响持续多长时间(结果精确到0.1 h)?

解：设台风中心从点B 向西北方向沿射线BD 移动，该市位于点B 正西方向300 km 处的点A.

假设经过 t h,台风中心到达C ，则在ABC ?中，AB=300 km ，AC=250 km ，BC=40t km,0

45,B =由正弦定理

,sin sin sin AC AB BC

B C A

== 知

sin sin 0.8485.5

AB B C AC =

=≈

利用计算器算得角C 有两个解

012121.95,

58.05.C C ≈≈

当0

1121.95C ≈ 时，

000001180()180(45121.95)13.05,A B C =-+≈-+=

所以 11sin 79.83(),sin AC A

BC km B =≈

11 2.0()40

BC t h =≈

同理，当 0

258.05C ≈ 时，22344.4,8.6().BC km t h ≈≈

218.6 2.0 6.6().t t h -≈-=

答约2 h 后将要受台风影响，持续6.6 h.

设计意图：联系生活实际，从客观事实出发，解决实际问题，从直观认识提升到理论的水平。

合理建模，以便突破本节重点。

3.总结反思—提高认识

提出问题：

（1）通过本节课的学习，你学会了什么定理，你能用文字和符号语言描述它吗？

（2）学会了运用定理去处理什么类型的问题？

（3）你能总结本节课所用的数学思想方法吗？

设计意图：通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。

4.布置作业—自主探究

一：课本P52页习题2-1：A组1、2 B组2

七、板书设计

在板书中突出本节重点，同时给学生留有作题的地方，整个板

书充分体现了精讲多练的教学方法。

八、教学反思